第16届希望杯初二第2试
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
2005年4月17日 上午8∶30至10∶30
一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1、若a ，b 均为正整数，m=ab (a ＋b )，则（ ）
A ．m 一定是奇数
B ．m 一定是偶数
C ．只有当a ，b 均为偶数时，m 是偶数
D ．只有当a ，b 一个为偶数，另一个为奇数时，m 是偶数
2、设0< 2 = +，则 b a b a -+等于（ ） A ．31 B ．－3 1 C ．－3 D ．3 3、Given a ，b ，c are positive integers ，and a ，b are prime numbers ，20053 =++a b a c ，then the value of c b a ++ is （ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ． 11 (英汉词典 positive integers ：正整数. prime numbers ：质数)_ 4、购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（ ） A ．4.5元 B ．5元 C ．6元 D ．6.5元 5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”，如二进制数(1101)2转换成十进制数是1×23 ＋1×22 ＋0×21 ＋1×20 =13，那么二进制数21 2005)111111( 个转换成十进制数是 （ ） A ．22004＋1 B ．22005 C ．22005－1 D ．22005 ＋1 6、已知△ABC 的三个内角的比是m ∶(m ＋1) ∶(m ＋2)，其中是m 大于1的正整数，那么△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7、已知△ABC 的三条高的比是3∶4∶5，且三条边的长均为整数，则△ABC 的边长可能是（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 8、已知两位数ab 能被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有（ ） A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 9、放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a 个小球，最右端的盒子中放了b 个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ） A ．a=b=2 B ．a=b=1 C ．a=1，b=2 D ．a=2，b=1 10、已知整数x ，y ，z 满足x ≤y ＜z ，且?????=-+-+-=+++++. 2,4x z z y y x x z z y y x 那么x 2＋y 2＋z 2 得分 的值等于（ ） A ．2 B ．14 C ．2或14 D ．14或17 二、填空题（每小题5分，共50分.含两个空的小题，前空3分，后空2分.） 11、如果|a|=3，|b|=5，那么|a ＋b |－|a －b |的绝对值等于 . 12、已知 511=+y x ，则y xy x y xy x +++-2252= . 13、某汽车从A 地驶向B 地，若每分钟行驶a 千米，则11点到达，若每分钟行驶3 2 a 千米，则11∶20时距离B 地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶 4 3 a 千米，则11点到达，若每分钟行驶a 千米，则11∶20时已经超过B 地30千米。A 、B 两地的路程是 千米。 14、若321abc M =是一个六位数，其中a ，b ，c 是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M 是7的倍数，那么M 的最小值是 . 15、分解因式：=+++++2 )6)(3)(2)(1(x x x x x . 16、若在凸n (n 为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M 个锐角，最少有m 个锐角，则M= ； m= . 17、如图1，等腰Rt △ABC 的直角边长为32，从直角顶点A 作斜边BC 的垂线交BC 于D 1，再从D 1作D 1D 2⊥AC 交AC 于D 2，再从D 2作D 2D 3⊥BC 交BC 于D 3，…，则AD 1＋D 2D 3＋D 4D 5＋D 6D 7＋ D 8D 9= ；D 1D 2＋D 3D 4＋D 5D 6＋D 7D 8＋D 9D 10= . 18、如图2，将三角形纸片ABC 沿EF 折叠可得图3(其中EF ∥BC )，已知图3的面积与原三 角形的面积之比为3∶4，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为 平方厘米。 19、如图4，△ABC 中，BC ∶AC=3∶5，四边形BDEC 和ACFG 均为正方形，已知△ABC 与正方形BDEC 的面积比是3∶5，那么△CEF 与整个图形的面积比等于 . 20、如果正整数n 有以下性质：n 的八分之一是平方数，n 的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n 就称为“希望数”，则最小的希望数是 . 图1 A B C D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 A B C F E 图2 图 3 A B C D E F G 图4 三、解答题（每题10分，共30分） 要求：写出推算过程. 21、图5是一个长为400米的环形跑道，其中A 、B 为跑道对称轴上的两点， 且A 、B 之间有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A 点出发，甲按 逆时针方向以速度v 1沿跑道跑步，当跑到B 点处时继续沿跑道前进，乙按 顺时针方向以速度v 2沿跑道跑步，当跑到B 点处时沿直线通道跑回A 点处。 假设两人跑步时间足够长。求： ⑴如果v 1∶v 2=3∶2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A 点处相遇？ ⑵如果v 1∶v 2=5∶6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B 点处相遇？ 22、⑴如果a 是小于20的质数，且 a 1 可化为一个循环小数，那么a 的取值有哪几个？ ⑵如果a 是小于20的合数，且a 1 可化为一个循环小数，那么a 的取值有哪几个？ 23、如图6，正三角形ABC 的边长为a ，D 是BC 的中点，P 是AC 边上的点，连结PB 和PD 得到△PBD 。求： ⑴当点P 运动到AC 的中点时，△PBD 的周长； ⑵△PBD 的周长的最小值。 图6 A B C D P 甲 甲 图5 乙 乙 A B 第十六届“希望杯”全国数学邀请赛 参考答案及评分标准 初中二年级第2试 一、选择题（每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C A B C A A 1、解：①令a=1，b=3，则m=ab（a+b）=3×4=12， ②令a=2，b=4，则m=ab（a+b）=8×6=48， ③令a=1，b=2，则m=ab（a+b）=3×2=6， 在三种情况下，m都是偶数，故选B． 2、 3、解：∵a，b，c 为正整数其中a，b 是质数， ∴当a=2时，bc=625，b=5，c=4； 当a=3时，bc=605，没有满足条件的c值； 当a=5时，bc=505，没有满足条件的c值； 当a=7时，bc=285，没有满足条件的c值； 当a=11时，bc为负数，不符合题意． ∴a+b+c=2+5+4=11． 故选D． 4、解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元． 则由题意得 7x+3y+z=3 ① 10x+4y+z=4 ② 11x+5y+2z=a ③ 由②-①得3x+y=1 ④ 由②+①得17x+7y+2z=7 ⑤ 由⑤-④×2-③得0=5-a ∴a=5 故选B 5、 6、解：设一个角为m，则两外两个角为m+1，m+2， 则：3m+3=180°， 解得：m=59°，即可得三角分别为59°，60°，61°． 故选A． 7、 8、解：这个两位数的任意次幂的个位数字等于它的个位数字，说明个位数字为5，1或0，又因为它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且这个两位数能被3整除， 故不能为1而为5，0， 那么能被3整除且末位是0的两位数只有30，60，90，15． 故选C． 9、解：将盒子从左到右排序，设第i个盒子中放了ai个小球，则a1+a2+a3+…a12 =a2+a3+a4+…a13 =24 所以a1=a13，同理a1=a13=a25=…=a2005， 又（a1+a2+a3+…a12）+…+（a1993+a1994+a1995+…a2004）+a2005=24×167+a2005=4010所以a1=a2005=2， 即a=b=2． 故选A． 10、 二、填空题（每小题5分，含两个空的小题，前空3分，后空2分） 11、 12、 13、解：设AB两地距离为x千米，第一次出发时间为m，第二次出发时间为n，根据题意得题 号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答 案 6 7 5 54 468321 2 2)6 6 (+ +x x3；0 312；31 16 224 27 215·320·512 14、解：∵M=. abc321 是一个六位数，其中a，b，c是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍数， ∴M＞456321， ∵6321+7000×64=454321，不含题意舍去； 6321+7000×65=461321，不含题意舍去； 6321+7000×66=468321，符合题意． 故M的最小值是468321． 15、 16、解：多边形的外角和是360度，则外角中最多有3个钝角，则内角中最多有3个锐角，故M=3； 外角中可以不含钝角，即内角中的锐角是0个． 故m=0． 故答案为：3和0． 17、 18、 19、 20、解：设最小的希望数是n ，则n 能被8，9，25整除，8，9，25两两互质既然是最小的，就不应该有其它的因数了， 三、解答题 21、⑴设甲跑了n 圈后，两人首次在A 点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v 1=3m ，v 2=2m ， 由题意可得在A 处相遇时，他们跑步的时间是 m n 3400 （2分） 是 n m m n 3 800 23400=? （3分） 因为乙跑回到A 点处，所以n 3 800 应是250的整数倍，从而知n 的最小值是15， （4分） 所以甲跑了15圈后，两人首次在A 点处相遇 （5分） ⑵设乙跑了200250+p 米，甲跑了200400+q 米时，两人首次在B 点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v 1=5m ，v 2=6m ，由题意可得 m p m q 6200 2505200400+= +，即6 4 5548+= +p q ， （7分） 所以20252448+=+p q ，即p q 25448=+(p ，q 均为正整数)。 所以p ，q 的最小值为q=2，p=4， （8分） 此时，乙跑过的路程为250×4＋200=1200（米）。 （9分） 所以乙跑了1200米后，两人首次在B 点处相遇。 （10分） 22、⑴小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分） 除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， （4分） 所以a 可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分） ⑵由⑴可知，只要合数a 的因数中含有2或5以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数，（8分） 所以a 可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分） 23、⑴如图1，当点P 运动到AC 的中点时，BP ⊥AC ，DP ∥AB ， （2分） 所以 a BP 23= ，a DP 21=，a BD 2 1 =， （4分） 即△ABC 的周长为BP ＋DP ＋BD=a ?? ? ? ??+123。 （5分） ⑵如图2，作点B 关于AC 的对称点E ，连结EP 、EB 、ED 、EC ，则PB ＋PD=PE ＋PD ，因此ED 的长就是PB ＋PD 的最小值，即当点P 运动到ED 与AC 的交点G 时，△PBD 的周长最小。 （7分） 图1 A B C D P 图2 A B C D P G F E 从点D 作DF ⊥BE ，垂足为F ，因为BC=a ，所以a BD 21=，a a a BE 32122 2 =?? ? ??+=。 因为∠DBF=30°，所以a BD DF 4 1 21== ，a DF BD BF 4322=-=， a BF BE EF 4 3 3= -=， a EF DF DE 2 722= +=。 （9分） 所以△PBD 的周长的最小值是 a a a 2 712721+=+。 （10分） 第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 六年级第2试试题 2013年4月14日上午9:00-11:00 一、填空题（每题5分，共60分） 1. 计算：()()()()() 3243542012201120132012 ÷?÷?÷??÷?÷= 2. 计算： 1 1.5 3.1657.05 12 +++= 3. 地震时，震中同时向各个方向发出纵波和横波，传播速度分别是5.94千米/秒和3.87千米/秒。某次地震，地震监测点的地震仪先接收到地震的纵波，11.5秒后接收到这个地震的横波，那么这次地震的震中距离地震监测点千米。（答案取整数） 4. 宏福超市购进一批食盐，第一个月售出这批食盐的40%，第二个月又售出120袋，这时已售出的和剩下的食盐的数量比是3:1，则宏福超市购进的这批食盐有袋。 5. 把一个自然数分解质因数，若所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，则称这样的数为“史密斯数”。如：27333,33327 =??++=+，即27是史密斯数。那么，在4,32,58,65,94中，史密斯数有个。 6. 如图1，三个同心圆分别被直径AB，CD，EF，GH八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是。 7. 有两列火车，车长分别时125米和115米，车速分别是22米/秒和18米/米，两车相向行驶，从两车车头相遇到车尾分别需要秒。 8. 老师让小明在100米的环形跑道上按照如下的规律插上一些棋子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备多少面旗子？ 9. 20132013201320132013 12345 ++++除以5，余数是。（注：2013 a表示2013个a相乘） 10. 从1开始的n个连续的自然数，如果去掉其中的一个数后，余下各数的平均数是152 7 ，那么去掉的数 是。 11. 若A、B、C三种文具分别有38个,78个和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A，6个B，20个C，则学生最多有人。 12. 如图2，从棱长为10的立方体中挖去一个底面半径为2，高为10的圆柱体后，得到的几何体的表面积是，体积是。（π取3） 13. 快艇从A码头出发，沿河顺流而下，途径B码头后继续顺流驶向C码头， 到达C码头后立即反向驶回到B码头，共用10小时。若A、B相距20千米， 快艇在静水中航行的速度是40千米/时，河水的流速是10千米/时，求B、C 间的距离。 14. 王老师将200块糖分给甲、乙、丙三个小朋友。甲的糖比乙的2倍还要 多，乙的糖比丙的3倍还要多，那么甲最少有多少块糖？丙最多有多少块糖？ 全国数学邀请赛初二第一试 一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。 1．下列运动属于平移的是（） （A）乒乓球比赛中乒乓球的运动．（B）推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行． （C）空中放飞的风筝的运动．（D）篮球运动员投出的篮球的运动． 2．若x=1满足2m x2-m2x-m=0，则m的值是（） （A）0．（B）1．（C）0或1．（D）任意实数． 3．如图1，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90 后得到△A P B '''，若BP=2，那么PP'的长为( ) （A ）（B （C）2 ．（D）3． 4．已知a是正整数，方程组 48 326 ax y x y += ? ? += ? 的解满足x>0，y<0，则a的值是（） （A）4 ．（B）5 ．（C）6．（D）4，5，6以外的其它正整数． 5．让k依次取1，2，3,…等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①k+2；②k2；③2 k；④2 k 就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是（） （A）①<②<③<④．（B）②<①<③<④． (C) ①<③<②<④．(D) ③<②<①<④． 6．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（） （A）40 ．（B ）（C）20．（D ）． 7．Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( ) （A）1：1．（B）2 （C）1 （D）1：2． (英汉词典：length长度；diagonal对角线；square正方形；rhombus菱形；respectively分别地；ratio比；area面积) 8．直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（）．（A）132．（B）121．（C）120．（D）111． 9．若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零，则此三角形的周长是（）．（A）9或18．（B）12或15 ．（C）9或15或18．（D）9或12或15或18． 10．如图2，A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面D上放了写有字母“G”的纸片，某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像，则下列判断中正确的是（）（A）镜面A与B中的影像一致．（B）镜面B与C中的影像一致． （C）镜面A与C中的影像一致．（D）在镜面B中的影像是“G”． 二、A组填空题（每小题4分，共40分） 11．如图3，在△BMN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、BN、MN上，且四边形ABCD是平行四边形，∠NDC=∠MDA，则 ABCD的周长是． 12．如果实数a ≠b，且101 101 a b a b a b ++ = ++ ，那么a b +的值等于． 2007年第18届希望杯全国数学邀请赛高一（二试）试题 一．选择题（40分） 1．角cos 2007α=?在（ ） （A ）第1象限（B ）第2象限（C ）第3象限（D ）第4象限 2．在△ABC 中，若21sin ,sin 7 5 A B = = ，则sin C 的取值有（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 3．在△ABC 中，若222sin sin sin 0A B C --=，且sin 2sin sin A B C =，则△ABC 是（ ） （A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形 4．当[0,1)x ∈时，若函数22()log (1)f x x ax a =++-有意义，则a 的取值范围是（ ） （A ）1a <（B ）1a ≤（C ）1a >（D ）1a ≥ 5．设命题甲：2x >或1y ≤；乙：3x ≥且2y <。则“命题甲不成立”是“命题乙不成立”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 6．设点P 在△ABC 内，提出以下命题： （1）存在正数12,λλ，使12AP λAB λAC =+ ； （2）如果0AP BC = 且0BP AC = ，那么0CP AB = ； （3）如果3AP AB AC =+ ，那么3BP BC BA =+ ； （4）如果PA PB PC == ，那么△ABC 是锐角三角形。 在这4个命题中，正确命题的个数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 7．Let y =f(x) be a function on R , and 1()0(2) f x f x + =+,then ()f x is （ ） （A ）not aperiodic function （B ）a aperiodic function with the least period 4 （C ）a aperiodic function with the least period 8（D ）a aperiodic function with the least period 16 8．The minimum of 122007x x x x +-+-+++- is （ ） （A ）10032（B ）10042（C ）20062（D ）20072 9．O 是平面内一点，A 、B 、C 是平面内与O 不共线的三个点，P 是BC 的中点且使等式 ()AB AC λO A O P AB AC ++= 成立，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形（B ）等边三角形（C ）等腰三角形（D ）不等边三角形 第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试试题 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．2011年我国国内生产总值达47.3万亿元，将这个数据用科学记数法表示是( ) A.101073.4?元 B. 111073.4?元 C. 121073.4?元 D. 13 1073.4?元 2．某天，黑河凌晨的温度比上午9点的温度低12℃，中午12点的温度比凌晨的温度高20℃，晚上9点的温度比中午12点的温度低19℃，若当天上午9点的温度记为a ℃，则当天晚上9点的温度应记为( ) A.℃)32(-a B. ℃)11(-a C. ℃)32(a - D. ℃)11(a - 3．若09)1()1(22=+++-x y x y 是关于x 的一元一次方程，则代数式y y x y x +-+)2)(4(的值是 ( ) A.54 B.56 C.169 D.171 4．已知a 是整数，则下列代数式中，值不可能是整数的为( ) A.912-a B.223-a C.61062--a a D.3 22-a 5．如图1，取一张长方形的纸片ABCD(AB=9，AD=5)；向右上方翻折AD ，使AD 恰好落在AB 边上的D '处，压平后折痕交CD 于点E ，再将D BCE '沿E D '向左翻折压平后得D E C B '''，C B ''交AE 于点F ，则此时形成的四边形D FE B ''的面积是( ) A.20 B.16 C.12 D.8 6．△ABC 的内角分别为∠A ，∠B ，∠C ，若∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠C+∠A ，则∠1，∠2，∠3中( ) A.至少有一个锐角 B.三个都是钝角 C.至少有两个钝角 D.可以有两个直角 7．方程1|12||1|=-++x x 的整数解的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8．If represents the largest prime number not more than a ，then the value of the expression < ( <8> × <3> × <4>)> × <4> × <12> is ( ) A.1353 B.2013 C.2079 D.4608 9．公交车上显示线路号码的每个数字都是由七个同样的液晶组成，若某线路号码是两位数，并且是两个质数之积，但由于液晶条坏了一个，不能发光，显示成“51”路(如图2)，则符合要求的质数中最小的一个是( ) A.3 B.5 C.7 D.11 F C' B' E D'A D'A D A D B C C B B C 图1 第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第1试试题 (2013年3月17日 上午8:30至10:00) 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．有下列五个等式：（ ） ①13+=x y ；②12 2 -=x y ；③x y =；④x y =；⑤x y =；其中，表示“y 是x 的 函数”的有（ ） （A ）1个． （B ）2个． （C ）3个． （D ）4个． 2．点()m ，7-和点()n ，8-都在直线6 2--=x y 上，则m 和n 的大小关系是（ ） （A ）n m >． （B ）n m <． （C ）n m =． （D ）不能确定的． 3．下列命题中，正确的是（ ） （A ）若0>a ，则a a 1> ． （B ）若2 a a >，则1>a ． （C ）若10<． （D ）若a a =，则0>a ． 4．若定义“⊙”：a ⊙b a b =，如3⊙283==2，则3⊙ 2 1 等于（ ） （A ）81． （B ）8． （C ）61． （D ）2 3． 5．以下关于平行四边形的判定中，不正确的是（ ） （A ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形; （B ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （C ）对角线相等的四边形是平行四边形; （D ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 6．用一根长为a ，并且没有伸缩性的线围成面积为S 的等边三角形．在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三条边的距离之和为（ ） （A ） a S 2． （B ）a S 4． （C ）a S 6． （D ）a S 8． 7．若199199<<-x ，且100-=x m 的值为整数，则m 的值有（ ） （A ）100个． （B ）101个． （C ）201个． （D ）203个． 第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛 六年级 第2试试题 2015年4月12日 上午 9：00-----11：00 一、填空题（每小题5分，共60分） 1．计算： 111...,1212312 (10) +++++++++得_____________。 2．某商品单价先上调，再下降20%才能降回原价。该商品单价上调了_________%. 3．请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是_____________。 4．若111216 (242412) n +++>（n 是大于0的自然数），则满足题意的n 的值最小是______。 5．小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码）。那么，这本书原来有______页。 6．2015减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的1 4 ，…，最后一次减去余下的 1 2015 ，最后得到的数是________。 7．已知两位数ab 与ba 的比是5：6，则ab =______。 8．如图1，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3 个小长方形的面积分别为9，15和12，由第4个角上的小长方形的面积等于__________。 9．某项工程，开始由6人用35天完成了全部工程的1 3 ，此后，增加了6人一起来完 成这项工程。则完成这项工程共用______天。 10．将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789…20142015，这个多位数除以9，余数是______。 11．如图2，向装有1 3 水的圆柱形容器中放入三个半径都是 1分米的小球，此时水面没过小球，且水面上升到容器高度的2 5 处，则圆柱形容器最多可以装水_______立方分米。 12．王老师开车从家出发去A 地，去时，前1 2的路程以50千米/小时的速度行驶， 余下的路程行驶速度提高20%；返回时，前1 3 的路程以50千米/小时的速度行驶，余 下的路程行驶速度提高32%，结果返回时比去时少用31分钟，则王老师家与A 地相距_______千米。 二、解答题（每小题15分，共60分。）每题都要写出推算过程。 13．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下： 第十八届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第二试 2007年4月15日 上午8：30至10：30 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。）以下每题的四个选项中，仅有 一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形 2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么|||||| a b c x a b c = +- 的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种 3、ABC ?的边长分别是2 1a m =-，2 1b m =+，()20c m m =>，则ABC ?是（ ） （A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形 4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… 从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ） （A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号 5、实数 a 、b 、m 、n 满足a 2018年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一) 第一试 一、选择题 1．设S ＝{(x ，y )|xy ＞0}，T ＝{(x ，y )|x ＞0且y ＞0}，则( ) A 、S ∪T ＝S B 、S ∪T ＝T C 、S ∩T ＝S D 、S ∩T ＝Φ 2．若f (x )＝1 x 的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( ) A 、A ∪ B ＝B B 、A ≠?B C 、A ?B D 、A ∩B ＝Φ 3．已知ta nα＞1，且sinα＋cosα＜0，则( ) A 、cosα＞0 B 、cosα＜0 C 、cosα＝0 D 、cosα符号不确定 4．设a ＞0，a ≠1，若y ＝a x 的反函数的图像经过点( 22，－1 4 )，则a ＝( ) A 、16 B 、4 C 、2 D 、 2 5．已知a ≠0，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像关于原点对称的充要条件是( ) A 、b ＝0 B 、c ＝0 C 、d ＝0 D 、b ＝d ＝0 6．若△ABC 三条边长依次为a ＝sin 34，b ＝cos 34，c ＝1，则三内角A 、B 、C 的大小顺序为( ) A 、A ＜ B ＜ C B 、B ＜A ＜C C 、C ＜B ＜A D 、C ＜A ＜B 7．若实数x 满足log 2x ＝3＋2cosθ，则|x －2|＋|x －33|等于( ) A 、35－2x B 、31 C 、2x －35 D 、2x －35或35－2x 8．区间[0，m ]在映射f :x →2x ＋m 所得的象集区间为[a ，b ]，若区间[a ，b ]的长度比区间[0，m ]的长度达5，则m ＝( ) A 、5 B 、10 C 、2.5 D 、1 9．设数列{a n }(a n ＞0)的前n 项和是S n ，且a n 与2的算术平均值等于S n 与2的几何平均值，则{a n }的通项为( ) A 、a n ＝n 2＋n B 、a n ＝n 2－n C 、a n ＝3n －1 D 、a n ＝4n －2 10．函数f (x )＝－9x 2－6ax ＋2a －a 2在区间[－13，1 3 ]上的最大值为－3，则a 的值为( ) A 、－32 B 、6＋2或－ 2 C 、6＋2或2－ 6 D 、2－6或－ 2 二、A 组填空题 11．已知定义在非零自然数集上的函数f (n )＝???n ＋2 n ≤2005 f (f (n －4))，n ＞2005 ，则当n ≤2018时，n －f (n ) ＝____________；当2018＜n ≤2018时，n －f (n )＝____________. 12．若sinαcosβ＝1，则cosαsinβ＝____________. 13．化简 sin 7π 8 ＋sin 3π 8 的结果为______________. 14．There are 2018 balls lined up in a row . There are coloured to be red ，white ，blue and black in the following order :5 red ，4 white ，1 blue ，3 black ，5 red ，4 white ，1 blue ，3 black …….Then the last ball is coloured to be _______________. 2021 年初一希望杯第二试 1、请你想好一个数。将该数与 2015 之和乘以 4，减去 12，再将其差除以 4，然后减去你想 好的那个数，最后的结果等于（） (A) 0 (B) 2008 (C) 2012 (D)2015 2、若 a + 2015 = 0，则 a ?2015 的值是（） (A) ?4030 (B) ?2015 (C) 0 (D)2015 3 、如图 1 ， MA//BN//CP ，若 BA =BC ，∠ MAC = 50° ，∠ NBC = 150°，则∠ABC =（） (A) 60° (B) 150° (C) 140° (D) 130° 4、红光中学初一年级有 3 个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为 45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为 48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为 47。则三个班的总人数为（ ） (A) 68 (B) 70 (C) 72 (D)74 5 、As shown in the Fig.2 ， Points A ， B and C on the number axis represent nonzero rational number a ，b，and c respectively . If |a| + |a + b| + |b ?c| = ?c ，then the point represent 0 is（） (A) on the right side of A (B) on the left side of C (C) between B and C (D) between B and A (翻译)如图 2，数轴上的点 A，B，C 代表非零数字 a，b 和 c，如果|a| + |a +b| + |b ?c| =?c，则代表 0 的点位于（） (A) A 点的右边 (B) C 点的左边 (C) B , C 之间 (D) B , A 之间 6、如图 3，正方形 ABCD 由四个相同的小长 方形和一个小正方形 EFGH 组成。若一个小长方形的周长和小正方形的周长相等，则正方形 ABCD 和正方形EFGH 的面积比是（） (A) 2 : 1 (B) 3 : 1 (C) 4 : 1 (D)9 : 4 7、甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A站到A站，甲要用 30 分钟，乙要用 40 分钟。如果乙 比甲早出发5 分钟去A站，则甲追上乙时，是甲出发后的第（） (A) 12 分钟 (B) 13 分钟 (C) 14 分钟 (D) 15 分钟 8、如图 4，在矩形 ABCD 中，E、F 分别在 BC、CD 上，若 S△ABE= 2，S△ADF= 第22届“希望杯”全国数学邀请赛 高一 第一试 2011年3月13日 上午8：30至10：00 校名________________ 班_________ 姓名__________ 辅导老师_________ 成绩_____ 一、选择题（每小题4分， 共40分）以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共得分 答案 1．已知()a f x kx =是幂函数，它的图像过点1 (4,)2 ，则k a +的值等于（ ） (A) 12-. ( B ) -2. ( C ) 1 2 . ( D ) 2. 2．设1 1 2 5 1111 log log 33A = + ，则A 属于区间（ ） ( A ) (2, 3) . (B) (l,2) . (C) （-2，-l) . (D)（-3，-2) . 3．图1中给出一枚骰子的三种不同放法，则图中“? ”处的数字是（ ） ( A ) 1. (B) 2. (C) 3. (D)4. 4．己知sin cos 1αα+=-，则201201s i n c o s αα+的值的集合是（ ） ( A ) {1}. (B){0}. (C) {-1}. (D){-1,1}. 5．已知,,a b R a b +∈≠，设222,A a b B a b =+==+,则A 与B 的大小关系是（ ） (A) A ＞B (B) A word资料可编辑 试题试卷参考学习 第九届“希望杯”全国数学邀请赛（初一）第2试一、选择题 1．已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么（） A bab? B bab? C 0??ba D 0??ba 2．有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则19981998ba?=（） A 0 B 1 C 1? D 2 3．下面的四个判断中，不正确的是（） A 6334yx与6334ba不是同类项 B x3和13??x不能互为相反数 C ????xx275674???和????742756???yy不是同解方程 D 3和311?a不能互为倒数 4．已知关于x的一次方程??0783???xba无解，则ab是（） A 正数 B 非正数 C 负数 D 非负数 5．如果baba???，那么（） A baba??? B 0?ab C bb22?? D ba22?? 6．方程组???????318573yxyx的解??yx,是（） A ??2,3? B ??1,2 C ??5,4? D ??7,0 7．一条直线上距离相等地立有10根标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了 6.6秒，则当他走到第10杆时所用时间是（） A 11秒 B 13.2秒 B 11.8秒 D 9.9秒 8．有以下两个数串： 1999,1997,1995,1993,1991,,7,5,3,1? 和.1999,1996,1993,1990,,10,7,4,1? 同时出现在这两个数串中的数的个数共有（） A 333 B 334 C 335 D 336 9．如图所示，1??ABC S，若ACEDECBD E SSS?????，则ADE S?=（） A 51 B 61 C 71 D 81 10．若关于x的方程032???mx无解，043???nx只有一个解， 第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛 六年级 第 1 试试题 2015 年 3 月 15 日 上午 8:30 至 10:00 以下每题 6 分，共 120 分. 1. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ________． 2 4 8 16 32 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 1 题 【考点】借来还去——分数计 算【难度】☆ 31 【答案】 32 【解析】原式 = 12 + 14 + 18 + 161 + ( 321 + 321 ) - 321 = 12 + 14 + 18 + (161 + 161 ) - 321 = 12 + 14 + ( 18 + 18 ) - 321 = 12 + ( 14 + 14 ) - 321 = 12 + 12 - 321 = 1 - 321 = 3231 2. 将 99913 化成小数，小数部分第 2015 位上的数字是________． 【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 2 题 【考点】循环小数与分数——计算【难度】☆【答案】1 【解析】 999 13 = 0.013 ， 2015 ÷ 3 = 671 2 ，所以数字为 1. 1 3.若四位数2AB7能被13整除，则两位数AB的最大值是________． 【出处】2015年希望杯六年级初赛第3题 【考点】整除问题——数 论【难度】☆☆【答案】 97 【解析】13 2AB7?13AB0+2007，2007÷135，所以AB0÷138 ，13 AB5 ， 利 用数字谜或倒除法，可确定AB=97。数字谜方法如下：根据乘积的个位，可确定第二个因数的个位为5，因 为构造最大值，所以十位为最大为7，积为975 1 3 1 3 1 3 ? ? 5 ? 7 5 ? 6 5 ? 6 5 9 1 5 5 9 7 5 4.若一个分数的分子减少20%，并且分母增加28%，则新分数比原来的分数减少了________%． 【出处】2015年希望杯六年级初赛第4题 【考点】分数应用题——应用 题【难度】☆☆【答案】37.5 a a ?1 - 20% ) a 5 5 ? 5 ? ( = ? - ÷ 1 ? 100% = 37.5% 【解析】设原分数为，则新分数为，所以新分数为原分数的， 1 ? b b ?(1 + 28% ) b8 8 ? 8 ? 5. 若a< 1 < a +1 ，则自然数a=________． 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2011 2012 2013 2014 2015 【出处】2015年希望杯六年级初赛第5题 【考点】比较与估算——计算 【难度】☆☆【答案】402 【解析】设x= 1 ，x> 1 = 2011 = 402 1 x < 1 = 2015 = 403 ，所 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 ? 5 5 5 1 ? 5 5 2011 2012 2013 2014 2015 2011 2015 以402 1 < x <403， a =402 5 x 3.14 = 0.14 0.5 = 0.5 ? 2015 ? + ? 315 ? + ? 412 ? = 6. ．那么，? ? ? ? ? 定义：符号{ }表示的小数部分，如} ，{ } ? 5 ? 3 ? ? 4 ? ? ? ________．（结果用小数表示） 【出处】2015年希望杯六年级初赛第6题 【考点】高斯记号与循环小数——计算 2 第19届希望杯全国数学邀请赛初二第1试试题 一、选择题（每小题4分，满分40分） 1．下列说法中正确的是（ ） A 、1的平方根和1的立方根相同 B 、0的平方根和0的立方根相同 C 、4的平方根是2± D 、8的立方根是2± 2．若单项式x x b a 52-和x b a -3223的次数相同，则x 的整数值等于（ ） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、1±以外的数 3．若b a ,和b a +都是有理数，则（ ） A 、b a ,都是有理数 B 、b a ,都是无理数 C 、b a ,都是有理数或都是无理数 D 、b a ,中有理数和无理数各一个 4．使不等式12>+x 成立的x 的值为（ ） A 、比-1大的数 B 、比-3小的数 C 、大于-1或小于-3的数 D 、-2以外的数 5．设e d c b a ,,,,只能从-3，-2，-1中取值，又22222,e d c b a y e d c b a x +-+-=+-+-=，则（ ） A 、x 的最大值比y 的最大值小 B 、x 的最小值比y 的最小值小 C 、x 的最大值比y 的最小值小 D 、x 的最小值比y 的最大值大 6．In the figure1, ABCD is a diamond, points E and F lie on its sides AB and BC respectively, such that CF BF BE AE =, and DEF ? is a regular triangle. Then BAD ∠ is equal to ( ) A 、400 B 、600 C 、800 D 、1000 （（英汉小词典：diamond 菱形；regular triangle 正三角形） 7．已知ABC ?的三边长分别为c b a ,,，且a c b c b c a b a -++=+，则ABC ? 一定是（ ） A 、等边三角形 B 、腰长为a 的等腰三角形 C 、底边长为a 的等腰三角形 D 、等腰直角三角形 8．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n 名，将他们编成1号、2号、…，n 号。在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n 号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（ ） A 、22 B 、24 C 、25 D 、26 9．使方程20023=+y x 成立的正整数对),(y x 有（ ） A 、66个 B 、33个 C 、30个 D 、18个 10．一次函数b kx y +=的图象经过点（0，5）和点B （4，0），则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个 二、A 组填空题（每小题4分，满分40分） 11．已知c b a ,,都是正整数，且2008=abc ，则c b a ++的最小值为 。 12．若20082007321------= M ，22222200820074321-++-+-= M ，则N M , A B C D E F Fig.1 第二十届(2009年) 希望杯初一年级第二试试题word 版 初一 第2试 一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案 的英文字母写在每题后面的圆括号内. 1．=--2 2 2 239 614753（ ） （A ） 113 （B ）115 （C ）117 （D ）11 9 2．每只玩具熊的售价为250元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为1，2，3，…，8．卖家说：“1，2，3，4，…，8号饰物依次要收1，2，4，8，…，128元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．”若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了（ ） （A ）5元 （B ）-5元 （C ）6元 （D ）-6元 3．如图1，直线MN ∥PQ ．点O 在PQ 上．射线OA ⊥OB ，分别交MN 于点C 和点D ．∠BOQ=30°．若将射线OB 绕点O 逆时针旋转30°，则图中60°的角共有（ ） （A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个 4．如果有理数a ，b 使得 01 1 =-+b a ，那么（ ） （A ）b a +是正数（B ）b a -是负数 （C ）2 b a +是正数（D ）2 b a -是负数 5．As in figure 2．In the circular ring of which center is point O ．if AO ⊥BO ，and the area of the shadowy part is 25cm 2 ，then the area of the circuiar ring equals to ( ) ()14.3≈π （A ）147cm 2 （B ）157cm 2 （C ）167cm 2 （D ）177cm 2 6．已知多项式152)(2 1+-=x x x p 和43)(2-=x x p ，则)()(21x p x p ?的最简结果为（ ） （A ）4232362 3 -+-x x x （B ）4232362 3 --+x x x O N M 图1 P D C B A 第四届(2006)小学“希望杯”六年级第2试试题 一、填空题。(每小题4分，共60分。) 1．8.1×1.3－8÷1.3＋1.9×1.3＋11.9÷1.3＝________。 2．一个数的比3小，则这个数是________。 3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c中最大的是________，最小的是________。 4．牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉人河中，每次他都捞上3只，最后清查还剩9只。这群羊在过河前共有_____ ___只。 5．如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A与B的和是________。 6．磁悬浮列车的能耗很低。它的每个座位的平均能耗是汽车的70％，而汽车每个座位的平均能耗是飞机的，则飞机每个座位的平均能耗是磁悬浮列车每个座位的平均能耗的________倍。 7．“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。 8．一筐萝卜连筐共重20千克，卖了四分之一的萝卜后，连筐重15.6千克，则这个筐重________千克。 9．如果a，b均为质数，且3d＋7b＝41，则a＋b＝________。 10．如图，三个图形的周长相等，则a∶b∶c＝________。 11．如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮 着一块棱长为5厘米的正方体术块，木块浮出水面的高度是2厘米。若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米。 12．如图，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与EC相交于点H，已知AB＝6厘米，则阴影部分的面积是________平方厘米。 13．圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米。(结果用π表示) 14．箱子里装有若干个相同数量的黑球和白球，现往箱子里再放入14个球(只有黑球和白球)，这时黑球数量占球的总数的，那么现在箱子里有________个白球。 15．体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向 第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 一、选择题： 1．－ 20001999, －19991998, －999998, －1000 999 这四个数从小到大的排列顺序是 （AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999 （C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－1999 1998 2．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是 （A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y 1 x 1+等于 （A ）2 （B ）1 （C ） 21 （D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则| c |b a | b |a c |a |c b ++ +++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或1 5．设实数a 、b 、c 满足a 希望杯六年级二试试题及答案
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