2013-2014中国石油大学(华东)概率论与数理统计期末考试

一.填空题（每题2分，共12分）

1.设A B 、为随机事件，()()P AB P A B =，()0.4P B =， 则()_________P A =.

2.随机变量2~(4,)X N σ，且{46}0.3P X <<=，则 {2}__________P X <=.

3.已知随机变量~(3)X P （泊松分布），则43Z X =+的方差________DZ =.

4.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为3-和3，方差分别为1和4，而相关系数为0，则由切比雪夫不等式，有{||6}__________P X Y +≥≤.

5.总体~(0,1)X N ，设1X ，2X ，…，(2)n X n ≥是来自X 的随机样本，则统计量2

122(1)n i

i n X U X

=-=∑服从__________分布（写出自由度）. 6.设{(),0}X t t ≥是独立增量过程，且(0)0X =，在方差函数()X D t 已知的条件下，则协方差函数(,)__________X C s t =.

二.选择题(每题2分，共12分)：

1.设事件,A B 互不相容且概率不为零，则下列结论肯定正确是________

(A ) A 与B 互不相容 (B ) A 与B 相容

(C ) ()()()P AB P A P B = (D ) ()()P B A P B -=

2.设随机变量2~(,)X N μσ,则随着参数σ的减小，概率{||3}P X μσ-< _________

(A ) 单调增加 (B ) 单调减少

(C ) 保持不变 (D ) 增减不定

3.设随机变量X ,Y 相互独立且同分布：{2}{2}1/2P X P Y =-==-=，{2}{2}1/2P X P Y ====，则________

(A ) {}1/4P X Y == (B ) {}1P X Y ==

(C ) {0}1/4P X Y +== (D ) {4}1/2P XY ==

4.设随机变量X ,Y 的方差存在且不为零，若EXY EX EY =?，则X ,Y 必然________

(A ) 独立 (B ) 相关系数为零

(C ) 不独立 (D ) 相关系数不为零

5.在假设检验中，记0H 为待检验假设，则所谓犯第二类错 误指的是__________

(A ) 0H 为真时，接受0H (B ) 0H 为真时，拒绝0H

(C ) 0H 为假时，接受0H (D ) 0H 为假时，拒绝0

H 6. 设1X ，2X ，…，n X 是来自总体X 的随机样本，X 为样本均值，EX 未知，则总体方差的无偏估计量为

(A ) 211()1n i i X X n =--∑ (B ) 21

1()n i i X X n =-∑ (C ) 211()1n i i X EX n =--∑ (D ) 21

1()n i i X EX n =-∑ 三.计算题（共8个题目，共76分）

1.（10分）一机床有13的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率是310，加工零件B 时，停机的概率是410， 求:(1)这台机床停机的概率；

(2)若已知这台机床停机，则停机时加工零件A 的概率.

2. (10分）设随机变量X 的分布密度为

sin ,,()A x x f x x π 0<

求:(1)系数A ； (2)X 的分布函数；

(3)X 落在区间3(,)44

ππ 的概率. 3. (8分）设随机变量X 的概率分布为

求:(1)1Y X =+的概率分布；

(2)32Y X =+的概率分布.

4.(15分）设二维随机变量(,)X Y 在矩形区域{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上

服从均匀分布.记0,1,X Y U X Y ≤?=? > ?若若；0,21,2X Y V X Y ≤?=? > ?

若若.

求:(1)(,)U V 的联合概率分布； (2)(,)U V 关于U 和V 的边缘概率分布；

(3)U 和V 的相关系数.

5.(5分）设由来自总体~(,0.09)X N μ的长度为4的样本，得样本均值13X =， 求未知参数μ的置信度为0.95的置信区间.

6.(10分）设总体X 的分布函数为

11,1,(,)0,

1,x F x x x θθ?->?=??≤? ，

其中1θ>为未知参数，且1X ，… ，n X 是来自总体X 的随机样本， 求:(1)参数θ的矩估计量；

(2)参数θ的极大似然估计量.

7.(8分）设1()N t 和2()N t 分别是强度为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，令12()()()X t N t N t =+， 0t >，求()X t 的均值函数、方差函数、自相关函数和自协方差函数.

8.(10分）设马氏链{,0}n X n ≥ 的状态空间为{1,2,3}I = ，它有一步转移概

率矩阵0.1

0.20.70.9

0.10

0.10.80.1P ?? ?= ? ???

，初始分布为0{1}0.3P X ==， 0{2}0.4P X ==， 0{3}0.3P X ==， 求：

(1) 计算012{1,2,3}P X X X === ；

(2) 计算1220(2){2|1

}P P X X ===； (3) 计算22(2){2}P P X ==.