28.1《锐角三角函数》第一课时——正弦

1 / 2

C B

28．1《锐角三角函数》第一课时——正弦

备写人：张海强班级：姓名：

【学习目标】

1: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

2: 能根据正弦概念正确进行计算

【导学过程】

一、自学提纲：

1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB

2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC

二、合作交流：

问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？

思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？；

结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值

思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？

结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值正弦函数概念：

规定：在Rt △BC 中，∠C=90°，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．

在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =

a c ． sinA ＝

A a

A c

∠=∠的对边的斜边

2 / 2

(2)13

3B A

(1)

例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=

；

当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．

三、学生展示：

例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．

随堂练习（1）：做课本第64页练习．随堂练习（2）：

1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚

A ．4

B ．34

C ．53

D ．54

2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（） A ．35 B ．45 C ．34 D ．4

3．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2

3，则边AC 的长是( )

A ．13

B ．3

C ．4

3 D ． 5

4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（）

A ．a b

B ．b

a C

五、课堂小结：

在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A?的对边与斜边的比都是．

在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A?的，?记作，

2018春人教版数学九年级下册281《锐角三角函数》同步测试

锐角三角函数 28、1_锐角三角函数_ 第1课时正弦[见B本P78] i\_园础达标 1 ?如图28-1-b 在△遊中，ZC=90°, AB=5,BC=3,则sinJ 的值是（C ） R 图28-1-1 A、错误！ B、错误！ C、错误！ D、错误！ 2。把△「磁三边的「长度都扩大为原来的3倍，则锐角月的正弦函数值（A ） A o不变B.缩小为原来的错误！ Co扩大为原来的3倍D。不能确定 3.如图28-1-2,在Rt△磁中，ZC=90^ , AB=2BC,则sin5的值为（C ）图28-1-2 A、错误！ B、错误！ C、错误！D o 1 3 4?在Rt△磁中，Zr=90°9AC=9, sin5=-则（ A ） □ A.15 B. 12 C.9 Do 6 【解析】曲=错误!=错误! = 15,选A、 5O如图28— 1一3所示，△磁的顶点是正方形网格的格点，则sinJ的值为（B ）图28-1-3 A、错误！ B、错误！ C、错误！ D、错误！ 6.如图28-1-4,角a的顶点为0,它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点尸（3, 4）, 则sin"的值是（D ）

图28-1-4 A、错误！ B、错误！ C、错误！ D、错误！【解析】.\sin6r=错误!、故选D、 7.△丽Q中，ZC=90Q , sinJ=错误!，则sin^=_错误! 【解析】由sinJ=错误!可得错误二错误!,故可设BC=2a,AB=5a,r Fh勾股定理求得错误怙，再由正弦定义求得sin5=错误匸错误!=错误!、 8、如图图28-1-5,在0。中，过直径初延长线上的点C作00的一条切线，切点为D,若 AC=79AB=49则sinC的值为—错误!—? 图28-1-5 9.Rt AJ5C中，若Z(7=90° ,a=15, b=8,求sinE+sin万、解：由勾股泄理有c=错误!=错误! = 17, 于是$:1山=错谋!, sin4错课!，所以sinJ+sin5=错误! +错误!=错误!、 10?如图28-1-6所示，△磁中，ZC=90° ,sinJ=错误\,AC=2.求曲，必的长。解：VsinJ=错误!，???错误!=错误!，:?AB=3BC、 9：AC+BC=A^. ：.2Z+BC=(3B^)\ :?BC=错谋!，:.AB=错诧、 11、在Rt△遊中，Z*90°,若J5=4,sinJ=错误!，则斜边上的高等于(B ) A、错误！ B、错误！ C、错误！ D、错误！ 12o如图28-1-7,在菱形肋G?中，％丄于伐DE=￡ cm, sinE=错课!，则菱形個力的而积是_60_cm\ 图28-1-7 【解析】在Rt△宓中,sinJ=错误!， :.AD=错误!=错误! = 10 (cm), :.AB=AD=10 cm,

第28章_锐角三角函数全章教案

课题锐角三角函数——正弦一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即 34 1米 10米 ?

正弦定理第二课时教案1

§1.1 正弦定理第二课时教案主备人：刘权备课组长：刘权共2课时第二课时一、学习目标 1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2. 探究三角形的面积公式 3. 能根据条件判断三角形的形状 4. 能根据条件判断某些三角形解的个数二、重难点：重点：正弦定理的应用；难点：已知两边及其中一边对角时三角形解的个数三、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用； 2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。四、课前预习 1.正弦定理____________________===________ 2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 3.在解三角形时，常用的结论（1）在ABC ?中，A>B ?_________?_____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式： ______________________________________________ 五、课堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；（2）正弦定理的变形形式： 1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————．（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：

正弦定理(第一课时)教学设计

《正弦定理》（第一课时）教学设计点明课题本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章《解三角形》中的《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第一课时，主要包括正弦定理的发现、证明和简单的应用。下面我从三个方面来说说对这节课的分析和设计：一、教学背景分析?? ? ??教学目标分析学生现实分析教材地位分析.3.2.1 二、教学展开分析??? ?? ??教学过程实施教学媒体选择教学策略与学法指导教学重点、难点分析.4.3.2.1 三、教学结果分析一、教学背景分析 1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。 2.学生现实分析 (1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识： c a A = sin c b A = cos

①勾股定理： ②三角函数式，如： (2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识： ① ②大边对大角，小边对小角 ③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量） (4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型 3.教学目标分析知识目标： (1)正弦定理的发现 (2)证明正弦定理的几何法和向量法 (3)正弦定理的简单应用能力目标： (1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力 (2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力情感目标： (1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣 (2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题 (3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思二、教学展开分析 1.教学重点与难点分析教学重点是发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。 π=++C B A 2 22c b a =+

《281锐角三角函数_正弦》教学设计

《28.1锐角三角函数正弦》教学设计紫阳县汉王镇初级中学----郭昌林一、教材简析：本章的主要内容是让学生初步掌握三角函数的概念和用边角关系解直角三角形的方法。锐角三角函数概念是本章的难点，也是学习本章的关键，难点在于锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间的对应关系。学生学习这一内容有一定的难度，需要借助实际问题来引入三角函数这一概念，并能使学生掌握运用三角函数的知识来解决实际问题的能力。同时注重培养学生的计算能力。二、教学方法：（一）、运用类比教学，结合已学的基础知识，如一次函数、二次函数等知识内容，让学生理解三角函数的概念含义。（二）、运用数形结合，借助直角三角形的性质，将实际问题抽象成具体的、学生容易接受的数学问题，运用三角函数和几何图形中的边角关系，使实际问题以图形形式直观形象地呈现，从而达到解决问题和提高学生计算能力目的。（三）、运用转化对象，将抽象的数学应用问题转化为数学模型，把学生难懂的问题转化为易于接受的简单的问题加以解决。三、教学目标（一）、知识目标 1、通过对实际问题的探究，使学生能正确理解三角函数定义及正弦函数的概念。 2、理解在直角三角形中，当锐角度数一定时，这个角的对边与斜边的比值是固定的值。（二）、能力目标 1、使学生能正确理解正弦函数定义，并能根据正弦函数定义正确进行相关计算。 2、结合对正弦函数定义的探究，培养学生由特殊到一般的演绎推理、分析、归纳的综合学习能力。（三）、情感与态度目标引导学生积极主动探究数学问题，培养学生学会思考，掌握归纳数学规律的方法。四、教学重难点（一）、重点：正确理解正弦函数的概念，会根据边长求出正弦值，或根据正弦值及一边长，求另一边的长等应用题。（二）、难点：引导学生比较、分析并得出：在直角三角形中，任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定的事实。五、教学设计教学内容教师活动学生活动设计意图一、情景导入大家知道我们汉王中学教学楼有多高吗？（运用多媒体演示）教师提出问题，引导学生思考。学生通过观看多媒体的演示，思考老师提出的问题。问题的提出，目的在于引出新课和引起学生思考。激发学生兴趣和求知欲望。 A M B N

锐角三角函数全章教案

锐角三角函数全章教案单元要点分析内容简介本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．教学目标 1．知识与技能（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．过程与方法贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中． 3．情感、态度与价值观通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．重点与难点 1．重点（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，?应该牢牢记住．（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点（1）锐角三角函数的概念．

（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，?解决问题的能力．教学方法在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．?讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点： 1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题． 2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，?再加以探索认识． 3．对实际问题，注意联系生活实际． 4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，?增加探索性问题的比重．课时安排本章共分9课时． 28．1 锐角三角函数4课时 28．2 解直角三角形4课时小结1课时 28．1 锐角三角函数内容简介本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完

6.4.2 第二课时余弦定理、正弦定理(原卷版)-高一数学同步备课系列

6.4.2第二课时余弦定理、正弦定理【课时分层练】 2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】一、单选题 1．在ABC 中，内角A ?B ?C 所对的边分别是a ?b ?c ，已知14 b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．在ABC 中，2sin 22C a b a -=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 3．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72?的等腰三角形（另一种是两底角为36?的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中， 12 BC AC =．根据这些信息，可得sin54?=（）． A B C D

4．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30、60，则塔高为（） A ．4003m B ．300m C ．400m D ．600m 5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a =cos 3sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（） A ． B ． C ． D ．6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差，1b =，则a c +的取值范围是（） A ．(]1,2 B ．(]0,2 C ．( D ．( 7．在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积，若三角形的三边长分别为,,a b c ，则其面积S =，其中()12 p a b c =++，现有一个三角形边长,,a b c 满足7,5a b c +==，则此三角形面积最大值为（） A ． B C ． D 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知21sin 222A b c +=，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．若3A π ∠=，4AC = ， ABC S =，则 sin sin a b A B +=+（） A ． B ．3 C D

1.1正弦定理(优质课比赛)

《正弦定理》第一课时尊敬的各位专家、评委、老师们：大家好！我是第号参赛选手，我今天说课的课题是：正弦定理（选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时）这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识，再以“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路，来说明我的教学过程和设计，最后是教学评价。首先是教学背景分析我分三小点来说明：一、教学背景分析 1、教材分析随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现和证明，及定理的简单运用。 2、学情分析正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标： 3、教学目标（1）知识和技能引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；简单运用正弦定理解三角形。 (2)过程和方法通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法和能力；通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法. （3）情感态度价值观通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的使用价值。为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。（首先是教法分析）二、教法学法分析 1、教法分析根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。

第二十八章锐角三角函数全章测试(一)

第二十八章锐角三角函数全章测试一、选择题 1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,3 2sin =A 则AC 的长为( ) A ．6 B ．52 C ．53 D ．132 2．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( ) A ．2 sin 2α R B ．2R sin α C ．2 cos 2α R D ．R sin α 3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．348 4．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( ) A ． m sin 100 α B ．100sin α m C ． m cos 100 β D ．100cos β m 5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15m B ．12m C ．9m D ．7m 6．P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( ) A ． α α tan sin R B ． α α sin tan R C ． α α tan sin 2R D ． α α sin tan 2R 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( ) A ．a sin 2β B ．a cos 2β C ．a sin β cos β D ．a sin β tan β 8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么 AB DC 的值为( ) A ．sin ∠APC B ．cos ∠APC C ．tan ∠APC D ． APC ∠tan 1 9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )

高中数学第二章正弦定理教学设计北师大版必修5

《正弦定理》教学设计一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。二、学情分析对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造

正弦定理第一课时(教学设计)

《正弦定理》

§2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计）一、教学目标 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。二、教学重点和难点重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用难点：正弦定理的实际应用三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究四、教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程本节的教学过程由以下几个环节构成：

六、教学设计 1.正弦定理的建构（1）创设情境—感知定理 ①视频情境播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。（2）观察证明—形成定理 ① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又=sin 1C , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = (图1．1) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）方法一、利用三角形的高证明正弦定理 Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有 =sin CD a B ,sin CD b A =。由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =，故有 sin sin a b A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点 D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。 ② 思考：问题：您能用其他方法证明这一关系吗？方法二、向量法证明正弦定理如图，以A 为原点，以射线AB 的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，C 点在y 轴上的射影为c '。 A B C D b a a b D A B C

省优秀课一等奖：锐角三角函数全章教案

【锐角三角函数全章教案】锐角三角函数（第一课时）教学三维目标：一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切教学程序：一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°

2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10

解直角三角形应用（一）一．教学三维目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析

正弦定理教案公开课

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1）民和高级中学刘永宏【三维目标】一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2. 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、情感、态度与价值观 1. 在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力和处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重点与难点】重点：正弦定理的证明和应用难点：1向量知识在证明正弦定理时的应用； 2 正弦定理在解三角形时的应用思路. 【教学教法的选择】以问题驱动、层层铺垫，运用“发现—探究”教学模式。【学法与教学用具】学法指导：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、直尺、【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学设计】教学流程及过程学生活动设计意图一. 复习引入、发现问题问题1、在Rt △ABC,C 为直角,那么边角之间有哪些关系? sinA=c a ,sinB=c b ,sinC=c c =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C c sin 引导学生发现问题

正弦定理第一课时(教学设计新部编版)

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《正弦定理》安徽省濉溪二中吕家强2012年9月19日

六、教学设计 1.正弦定理的建构（1）创设情境—感知定理 ①视频情境播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。（2）观察证明—形成定理 ① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又=sin 1C , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）方法一、利用三角形的高证明正弦定理 Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有 =sin CD a B ,sin CD b A =。由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B = ，故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. （约需2 A B C D b a a b D A B C

§281锐角三角函数(四)

数学导学案（8） §28.1锐角三角函数（四）课型：新课主备：陆明和审稿：领导签字：班级：学生姓名：【学习目标】1.进一步理解锐角三角函数的定义，并记住它们的符号； 2.理解锐角的三角函数值的范围，以及随角度的变化情况，互余角的三角函数关系； 3.熟练进行 30°、 45°、60°角三角函数的计算。【学习重点】目标1、2、3。【学习难点】目标1、2、3。【学习过程】一、独立看书87~76P 完二、完成下列预习作业： 1.在正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为（）。 A. 55 B. 552 C. 2 1 D. 2 2. 如图，在△ABC 中, ∠C= 90°, C D ⊥AB 于点D ， AC =32,AB=23, 则tan ∠BCD 的值为（） A. 2 B. 22 C. 36 D. 3 3. 3. 在Rt △ABC 中, ∠C= 90°, BC ∶AC= 3∶4, 则cosA = . 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90°, AB =10cm ，sinA = 5 4 ,则BC= 。 5.计算： ?? ? -45tan 30 cos 60 sin 的值是。小组评价：组长签字：三、师生合作探究，解决问题探究一如图，在等腰梯形ABCD 中,A D ∥BC, ∠DBC= 45°,翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E 。若AD=2,BC=8, 求(1)BE 的长， (2) ∠CDE 的正切值。探究二求适合下列各式的锐角α （1）2sin α－1= 0 （2）12 1 cos 2=+α ※探究三如图，在△ABC 中，AB= 15，BC= 14,ABC S 三角形 =84. (1) 求tanC 的值； (2) 求sinA 的值。 B A C

正弦定理教学设计韩婷

《正弦定理》教学设计宁夏六盘山高级中学韩婷

正弦定理（第1课时）一、教学目标分析 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现并证明正弦定理；能理解其内容的实质和作用；会运用正弦定理解决一些简单的三角度量问题。 2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；在正弦定理的证明方法中，渗透分类讨论思想和“从特殊到一般、一般到特殊”化归转化的思想方法。 3、情感、态度与价值观：以实际问题为背景，激发学生的好奇心与求知欲；又通过正弦定理的发现与证明过程培养学生的探索精神和创新能力。逐步培养应用数学知识参与社会活动的意识和成就感二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边、角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。难点：正弦定理的发现及证明三、教学方法：本节课主要采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以解决问题为落脚点，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形中边角关系的探究中去。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

五、教学媒体： 1、预、学案的使用：学生通过课前使用预案、课堂上使用学案，明确学习的目标和学习的重点；课后回收学案，教师可以及时了解学生课堂上的活动效率，以便个别指导，查漏补缺。 2、PPT和《几何画板》的使用，不仅形象直观地呈现问题，而且可节省大量的时间、空间。六、教学过程设计：

1.1正弦定理和余弦定理第二课时精品教案

1.1正弦定理和余弦定理【课题】：1.1.2余弦定理【教学目标】： (1)知识与技能:使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形 (2)过程与方法:通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理 (3)情态与价值：使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【教学难点】：余弦定理的探究和证明方法，余弦定理与勾股定理的联系【课前准备】：多媒体电脑平台.

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22 2 2 2 2 2 22222cos c a b a b a b c a b a b a b ab C =-=+-?=+-??+-（）（） BC = a . 2 (sin )a C C cos A

1.在△ABC 中： (1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ； (2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ； (3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ； (4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A . 解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7. (2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca 得cos B ＝202＋212－292 2×20×21 ＝0，∴B ＝90°. (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7. (4)由cos A ＝2222 b c a +-得cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋ 1）＝ 2 2 ，∴A ＝45° 2.在△ABC 中，已知222 a a b c b +=-，则内角C 等于（） A ．90 B ．60 C ．120 D ． 30 解： 222a ab c b +=-，2222cos a b c ab ab C ∴+-=-=,1 cos 2 C ∴=- 0180C <<,120C ∴= 3. 在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积222 4a b c S +-=，则角 C =_________ 解：2222cos cos 1 sin ,tan 1,454422 a b c ab C ab C S ab C C C +-= ===∴=∴= 4.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，判断△ABC 三角形的形状解： sin :sin :sin 2:3:4,::2:3:4A B C a b c =∴= ,2,3,4,a b c a b c ∴<<===设则 222cos 491630,C a b c C ∴=+-=+-=-<∴为钝角 △ABC 为钝角三角形（中档题） 5. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 2,3a b ==， cos C =1 3 ，则其外接圆的半径为（）