例说高中数学的转换思想

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例说高中数学的转换思想

作者：沈亮

来源：《理科考试研究·高中》2013年第11期

转换是最基本的数学方法，诸如将实际问题转换成数学问题，将这个数学分支问题转换成那个数学分支的问题等等。可以这么说：在全部的数学研究中，转换是无处不在的。灵活地、熟练地实现问题间的转换，是数学素养高的一个重要标志。下面例说几个常见的数学转换问题。

一、等价问题的转换

例1证明：不存在这样的正整数数列，它的项不都相等，而且从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均值（数2ab/（a+b）叫做数a、b的调和平均值）。

分析这道题很多学生看完第一遍之后可能还不太清楚是什么意思。再仔细看看，把每句话捉摸一下，应当注意到这是一个正整数数列，即数列中每项都是正整数。它的项不都相等，意味着这不是一个常数列。

解这种逐句重复、翻译，不是没有意义的。它常常可以加深对前提、结论的印象和理解。现在就可以将题目翻译成：

“如果一个正整数数列，从第二项开始，每一项都等于它前后两项的调和平均值，则该数列必是常数列。”即“设{an}是一正整数数列，如果对一切n≥2有an=2an-1an+11an-1+an+1，则所有的an只能是同一个正整数。”由上面的表达式可以得到11an=112（11an-1+11an+1），即原数列的倒数列是一个等差数列。于是又得到一个等价命题“设{an}是一个正整数数列，如果11an是等差数列，则所有的an必是同一常数。”这个命题就是显然的了。因为对一切正整数n，必有0

二、问题的简化

例2某工厂生产由六种不同颜色的纱织成的双色布。在这个工厂所生产的双色布中，每一种颜色至少和三种其它的颜色搭配。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们含有所有六种颜色。

分析如果把六种不同颜色的纱用平面上六个不同的点代表，则可得到下述等价命题：“平面上有六个点。如果对每一点至少有三条线段与其它点相联，则必存在三条线段，它们的起点和终点各不相同。”

解这种叙述比较直观，容易着手。任取一条线段，记为A1A2。另取一点A3。由于从A 3出发至少有三条线段，故其中必存在一条线段，另一端异于A1，A2，记其为A4。在剩下的