【历年高一数学期末试题】福建省福州市第八中学2010-2011学年高一上学期期末考试(数学)

福州八中2010—2011学年第一学期期末考试

高一数学 必修Ⅱ

考试时间:120分钟 试卷满分:150分

本次考试不可使用计算器 第Ⅰ卷(共18题,100分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卷上) 1. 直线053=++y x 的倾斜角是 A. 30° B. 120° C. 60°

D. 150°

2. 如图,平面不能用( ) 表示.

A. 平面α

B. 平面AB

C. 平面AC

D. 平面ABCD

3. 若a ,b 是异面直线,直线c ∥a ,则c 与b 的位置关系是

A. 相交

B. 异面

C. 平行

D. 异面或相交

4. 点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O 是坐标原点,则│OP │的最小值是 A. 7 B. 6

C. 2 2

D. 5

5. 直线L 1:ax+3y+1=0, L 2:2x+(a+1)y+1=0, 若L 1∥L 2, 则a= A .-3 B .2 C .-3或2 D .3或-2

6. 如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面,

那么MA 与BD 的位置关系是 A .垂直相交

B .相交但不垂直

C .异面但不垂直

D .异面且垂直

7. 圆:06422=+-+y x y x 和圆:0622=-+x y x 交于A 、B 两点,则AB 的垂

直平分线的方程是

A. x+y+3=0

B. 2x-y-5=0

C. 3x-y-9=0

D.4x-3y+7=0

8. 下列四个结论:⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

9. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为4cm,则球的表面积是

C

D

B

A

C

A

B

D

M

A. 32Лcm2

B. 48Лcm2

C. 64Лcm2

D. 80Лcm2

10.圆:012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是

A. 2

B.21+

C.2

21+

D.221+

二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分)

11.已知三点A (a,2) B(5,1) C(-4,2a)在同一条直线上, 则a= .

12.在边长为a 的等边三角形ABC 中,AD ⊥BC 于D,沿AD 折成二面角B-AD-C 后,BC=1

2

a,这时二面角B-AD-C 的大小为

13.过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是 14.已知直线a 、b 及平面α,在下列命题:

①b a a b ⊥????α⊥α?;②α????α⊥⊥//b a b a ;③α⊥????α⊥b a b //a ;④b //a b //a ??

??α?α 中,正确的有 (只填序号).

三、解答题(共4题,共34分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(8分)在长方体AC '中,已知底面两邻边AB 和BC 的长分别为3和4,对角线BD '与平面ABCD 所成的角为450,求: (1)长方体AC '的高; (2)长方体AC '的表面积; (3)几何体C 'D '-ABCD 的体积.

16.(9分)已知圆C :()2

219x y -+=内有一点P (2,

2),过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.

(1)当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程; (2)当弦AB 被点P 平分时,写出直线l 的方程; (3)当直线l 的倾斜角为45o时,求弦AB 的长.

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17.(9分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. (1)若F 为PD 的中点,求证:AF ⊥面PCD; (2)证明BD ∥面PEC;

18. (8分)已知过A (0,1)和

(4,)B a 且与x 轴相切的圆只有一个,求a

A '

B '

C '

D ' A

B

D (第15题图)

C

值及圆的方程.

第Ⅱ卷(共六题,50分)

四、选择题和填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

19. 已知在四面体ABCD 中,E 、F 分别是AC 、BD 的中点,若CD=2AB=4,EF ⊥AB ,则EF 与CD 所成的角为

A. 300

B. 450

C. 600

D.900

20. 直线l :ax+by=0和圆C:x 2+y 2+a x +b y=0在同一坐标系的图形只能是

A.

B.

C.

D.

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21. 如右图所示,在三棱锥ABC —

1A 1B 1C 中,

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E 、

F 分别是AB 、AC 的中点, 设三棱柱ABC —1A 1B 1C 的体积为V , 那么三棱台AEF —1A 1B 1C 的体积为 (用V

表示)

22. 已知点A (x,5)关于点(1,y )的对称点(-2,-3),则点P (x ,y )到原点的

距离是 。

五、解答题(共2题,共30分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 23.(15分) 如图,已知点P 在圆柱OO 1的底面⊙O 上,AB 、A 1B 1分别为⊙O 、⊙O 1的直径,且A 1A ⊥平面PAB . (1)求证:BP ⊥A 1P ;

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(2)若圆柱OO 1的体积V =12π,OA =2,∠AOP =120°,求三棱锥A 1-APB 的体积.

(3)在AP 上是否存在一点M ,使异面直线OM 与A 1B 所成角的余弦值为25

?若存在,请指出M 的位置,并证明;若不存在,请说明

理由.

24.(15分)已知以点C (t, 2t )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ,

与y 轴交于点O 、B ,其中O 为原点.(1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线y = –2x+4

1

A

与圆C交于点M, N,若OM = ON,求t的值并求出圆C的方程.

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高一数学必修Ⅱ试卷参考答案及评分标准

第Ⅰ卷(共18题,100分)

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11. 7

2或2 12 . 60°13.

4

)1

(

)1

(2

2=

-

+

-y

x14. ①③

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16.(1)已知圆C :()2

2

19x y -+=的圆心为C (1,0),因直线过点P 、C ,所以直线l 的

斜率为2, 直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0. -------------------3分 (2) 当弦AB 被点P 平分时,l ⊥PC, 直线l 的方程为1

2(2)2

y x -=-

-, 即 x+2y-6=0 ------------------6分 (3)当直线l 的倾斜角为45o时,斜率为1,直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心C 到直线l

3, --------------------------8分

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弦AB ---------------------------------9分 17. 解: (1)由几何体的三视图可知,底面ABCD 是边长为4的正方形,PA ⊥面ABCD,

PA ∥EB ,PA=2EB=4.∵PA=AD,F 为PD 的中点, ∴PD ⊥AF ,

又∵CD ⊥DA,CD ⊥PA,PA ∩DA=A , ∴CD ⊥面ADP ,

∴CD ⊥AF .又CD ∩DP=D, ∴AF ⊥面PCD . ------- 5分 (2)取PC 的中点M,AC 与BD 的交点为N ,连结MN ,

∴MN=

2

1

PA ,MN ∥PA , ∴MN=EB,MN ∥EB ,故四边形BEMN 为平行四边形,

∴EM ∥BN ,又EM ?面PEC,∴BD ∥面PEC . --------- 9分

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第Ⅱ卷(共六题,50分)

19. A 20. D 21.

V 12

7

22. 17 23. (1)证明:因为AP ⊥BP ,由AA 1⊥平面PAB ,得AA 1⊥BP ……1分

且AP ∩AA 1=A ……2分; 所以BP ⊥平面PAA 1 ……3分

故BP ⊥A 1P ……4分

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(2)由题意V =π·OA 2

·AA 1=4π·AA 1=12π,解得AA 1=3…5分 由OA =2,∠AOP =120°,得∠BAP =30°,BP =2 ……6分

AP =23,∴S △PAB =1

2

×2×23=2 3 ……8分

∴三棱锥A 1-APB 的体积V =13S △PAB ·AA 1=1

3

×23×3=2 3 ……10分

(3)答:在AP 上存在一点M ,当M 为AP 的中点时,使异面直线OM 与A 1B 所成角的余弦值为25

. ……11分

证明:∵O、M 分别为AB 、AP 的中点,则OM∥BP,且已证BP ⊥A 1P ∴∠A 1BP 就是异面直线OM 与A 1B 所成的角 …….13分 在Rt

1

APB ?中,12cos 5

A BP ∠

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∴在AP 上存在一点M ,当M 为AP 的中点时,使异面直线OM 与A 1B 所成角的余弦值为

25

. …….15分 24. (1)O C 过原点圆 ,22

2

4t

t OC +

=∴.

设圆C 的方程是 2

2

22

4)2()(t t t

y t x +=-+- 令0=x ,得t

y y 4

,021==;令0=y ,得t x x 2,021== 4|2||4

|2121=??=?=∴?t t

OB OA S OAB

,即:OAB ?的面积为定值.------6分 (2),,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN . 2

1

,2=∴-=oc MN k k ,∴直线OC 的方程是x y 21=.

t t 2

1

2=∴

,解得:22-==t t 或 -----------------9分 当2=t 时,圆心C 的坐标为)1,2(,5=OC , 此时C 到直线42+-=x y 的距离55

9<=

d ,

圆C 与直线42+-=x y 相交于两点。------------------12分. 当2-=t 时,圆心C 的坐标为)1,2(--,5=OC , 此时C 到直线42+-=x y 的距离55

9>=

d

圆C 与直线42+-=x y 不相交,

2-=∴t 不符合题意舍去. ------------------14分 ∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x .------------15分

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