高考小题专项练习8

12＋4满分练(8)

1.(2017·湖南十三校联考)设全集U ＝A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，A ∩(?U B )＝{1，2}，则集合B 等于( ) A.{2，4，5} B.{3，4，5} C.{4，5} D.{2，4}

答案 B

解析 由题设可得A ＝{1，2}，B ＝{3，4，5}，故选B.

2.(2017·湖北部分重点中学联考)复数z 满足z (3i －4)＝25(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 等于( ) A.4＋3i B.4－3i C.－4＋3i D.－4－3i 答案 C

解析 因为z ＝253i －4＝－254－3i ＝－(4＋3i)，

故z ＝－4＋3i ，故选C.

3.已知函数y ＝sin ax ＋b (a ＞0)的图象如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图象可能是( )

答案 A

解析 由图象可知，0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以函数y ＝log a (x ＋b )可视为将函数y ＝log a x 的图象向左平移b 个单位长度，故选A.

4.(2017·湖南十三校联考)抛物线C 1：x 2

＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23

－y 2

＝1的右焦点的

连线在第一象限内与C 1交于点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( )

A.

316B.38C.233 D.433

答案 D

解析 设切点M (x 0，y 0)，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，

因为y ＝x 22p ，所以y ′＝x

p ，

故切线的斜率为k ＝1p x 0＝1

3，

则x 0＝13p ，代入得y 0＝12p ×p 23＝1

6p ，

又三点F 1(0，p

2)，M ????p 3，p 6，F 2(2，0)共线，

则p 2－0－2

＝－p

3p 3

，解得p ＝433，故选D.

5.(2017·西安模拟)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1B.2C.46D.4 答案 D

解析 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 可知圆的圆心为(1，2)，半径为5，

圆心到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|5

＝1，

由勾股定理可得直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25－1＝4，故选D.

6.三棱锥S －ABC 及其三视图中的正(

主)视图和侧(左)视图如图所示，则该三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )

A.32π

B.1123π

C.283π

D.64

3π

答案 B

解析 如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则在Rt △BCF 中，BF ＝23，CF ＝2，BC ＝4，在Rt △BCS 中，CS ＝4，所以BS ＝42，设球心到平面ABC 的距离为d ，因为△ABC 的外接圆

半径为433，所以由勾股定理可得R 2＝d 2＋????4332＝(4－d )2＋????4332

，解得d ＝2，则该三棱

锥外接球半径R ＝

283，所以该三棱锥的外接球的表面积是4πR 2＝112

3

π.

7.(2017·河北张家口期末)在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为( ) A.1－

3π6 B.1－3π12C.1－3π9 D.1－3π

18

答案 A

解析 满足条件的正三角形ABC 如图所示：

设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝

3

4

×4＝ 3. 满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，

其加起来是一个半径为1的半圆， 则S 阴影＝1

2

π，

则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－

3π

6

，故选A. 8.执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝3，则输出的n 等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5

答案 C

解析 程序框图执行过程，首先初始化数值：a ＝3，A ＝0，B ＝1，n ＝0，然后进入循环. 第一次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝1，B ＝2B ＋1＝3，n ＝n ＋1＝1， 第二次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝4，B ＝2B ＋1＝7，n ＝n ＋1＝2， 第三次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝13，B ＝2B ＋1＝15，n ＝n ＋1＝3， 第四次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝40，B ＝2B ＋1＝31，n ＝n ＋1＝4， 第五次循环：不满足A ≤B ，跳出循环，输出n ＝4.

9.已知函数f (x )＝???

log 2()2－x ，0≤x ＜k ，

x 3－3x 2

＋3，k ≤x ≤a ，

若存在实数k ，使得函数f (x )的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是( ) A.????3

2，1＋3 B.[]2，1＋3 C.[]1，3 D.[]2，3

答案 B

解析 由于y ＝log 2(2－x )在[0，k )上是单调递减函数， 当x ＝0时，y ＝1， 当x ＝3

2时，y ＝－1，

所以0＜k ≤3

2.

令g (x )＝x 3－3x 2＋3， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝2，

当x ＝2时，函数取得极小值－1， 当x 3－3x 2＋3＝1时，

解得x 1＝1，x 2＝1＋3，x 3＝1－3＜0(舍)， 所以2≤a ≤1＋3，故选B.

10.(2017·四川遂宁等四市联考)已知不等式2sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－6

2－m ≥0对于

x ∈????－π3，π

3恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－2B.?

???－∞，

22 C.???

?22，2D.[)2，＋∞

答案 B

解析 因为2sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62＝22sin x 2＋6×1＋cos

x

22－6

2＝2sin ????x 2＋π3， 所以原不等式等价于m ≤2sin ????x 2＋π3在x ∈????－π3，π

3上恒成立. 因为π6≤x 2＋π3≤π

2

，

所以2sin ????x 2＋π3∈????22，2， 所以m ≤

2

2

，故选B. 11.F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若FB →＝4F A →，则F A →·FB →

等于( ) A.1B.32C.2D.94

答案 D

解析 由题意，设点A 的横坐标为m ，则由抛物线的定义，可得m ＋

1

21＝34，则m ＝14，所以|F A →

|

＝34，|FB →|＝3，所以F A →·FB →＝|F A →||FB →

|cos0°＝94

. 12.(2017·湖北七市(州)联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (3log 2a

)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )

A.(－∞，3)

B.(0，3)

C.(3，＋∞)

D.(1，3)

答案 B 解析 由f (3log 2

a

)＞f (－2)可得f (3log 2

a

)＞f (2)，即f (3log 2

a

)＞f (1

2

2)，

由题意可知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 故0＜3log 2

a

＜12

2，

即log 3a ＜1

2

?0＜a ＜3，故选B.

13.(2017·枣庄期末)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P ()x ，y ，则||P A ＋||PB 的最大值是______. 答案 2 5

解析 由题意，得A (0，0)， 因为直线mx －y －m ＋3＝0，

即m (x －1)－y ＋3＝0，经过定点B (1，3).

又直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0始终垂直， 点P 又是两条直线的交点，

所以P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.

设∠ABP ＝θ???

?θ∈????0，π2， 则|P A |＝10sin θ，|PB |＝10cos θ，

所以|P A |＋|PB |＝10sin θ＋10cos θ＝25sin ????θ＋π

4， 所以|P A |＋|PB |的最大值是2 5.

14.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________. 答案 70

解析 由题意知，2n －

1＝128，解得n ＝8.

展开式共n ＋1＝8＋1＝9项. 得中间项的二项式系数最大，

故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C 48＝70. 15.若(1－2x )2017

＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2017x

2017

(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2017

2

2017的值为_______.

答案 －1

解析 (1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2017x 2017，令x ＝1

2，

则????1－2×122017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2017

22017＝0， 其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2017

2

2017＝－1.

16.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________.

答案 2

解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为 x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2

n 2

＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为c ， 所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c

m ，

由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ， 即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c

m c a

＝a

m

＝2.