运筹学的实际应用

运筹学的实际应用

——最短路问题一、主题概述

所谓最短路问题是指给定起点及终点,并知道由起点到终点的各种可能的路径,问题是要找一条由起点到终点的最短的路,即长度最短的路。需要指出的是最短路问题中的“度”可以是通常意义下的距离,也可以是运输的时间或者运输费用等等。而且,有些与运输根本没有关系的问题也可以化为求最短路的模型,例如求关键路径。在经济快速发展的现代化时代，效率显得尤为重要，则最短路为题显现出了它的重要性，如何才能使在相同的条件下，达到预定的效果，并且成本最低呢，这就需要我们建立模型，分析它，把它与实际联系在一起，让它服务于我们。

二、建立模型

例1：最短运输路线问题

如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？

引例2：最廉价航费表的制定

某公司在六个城市C 1,C 2,C 3,C 4,C 5,C 6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci 到C j 的直达航班票价由下述矩阵的第i 行，第j 列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。

三、编写程序

例1 function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal)

n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start;

for i=1:n

????????????????????∞∞∞∞∞∞

055252510550102025251001020402010015252015050102540500

if i~=start

label(i)=inf;

end, end

s(1)=start; u=start;

while length(s)

for i=1:n

ins=0;

for j=1:length(s)

if i==s(j)

ins=1;

end, end

if ins==0

v=i;

if label(v)>(label(u)+w(u,v))

label(v)=(label(u)+w(u,v)); f(v)=u;

end, end, end

v1=0;

k=inf;

for i=1:n

ins=0;

for j=1:length(s)

if i==s(j)

ins=1;

end, end

if ins==0

v=i;

if k>label(v)

k=label(v); v1=v;

end, end, end

s(length(s)+1)=v1;

u=v1;

end

min=label(terminal); path(1)=terminal;

i=1;

while path(i)~=start

path(i+1)=f(path(i));

i=i+1 ;

end

path(i)=start;

L=length(path);

path=path(L:-1:1);

例2

function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)

D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);

for i=1:n

for j=1:n

if D(i,j)~=inf

path(i,j)=j;

end, end, end

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

if D(i,k)+D(k,j)

D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);

path(i,j)=path(i,k);

end, end, end,end

if nargin==3

min1=D(start,terminal);

m(1)=start;

i=1;

path1=[ ];

while path(m(i),terminal)~=terminal k=i+1;

m(k)=path(m(i),terminal);

i=i+1;

end

m(i+1)=terminal;

path1=m;

end

四、运行结果

例1

edge= [ 2,3,1,3,3,5,4, 4,1,7,6,6,5, 5,11, 1,8,6,9,10,8,9, 9,10;...

3,4,2,7,5,3,5,11,7,6,7,5,6,11, 5, 8,1,9,5,11,9,8,10,9;...

3,5,8,5,6,6,1,12,7,9,9,2,2,10,10,8,8,3,7, 2, 9,9, 2, 2]; n=11; weight=inf*ones(n, n);

for i=1:n

weight(i, i)=0;

end

for i=1:size(edge,2)

weight(edge(1, i), edge(2, i))=edge(3, i);

end

[dis, path]=dijkstra(weight, 1, 11)

运行上页程序输出：

dis =

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