2015年全国高考文科数学试题—全国卷Ⅱ

2015年全国高考文科数学试题—全国卷Ⅱ

1.已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A B ?=（ ） A. (1,3)- B. (1,0)- C. (0,2) D. (2,3) 答案：A

分析：因为{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，所以{|13}A B x x ?=-<<，故选A ．

2.若a 为实数，

231ai

i i

+=++且，则a = （ ） A. 4- B. 3- C. 3 D. 4 答案：D

分析：由题意可得2(1)(3)244ai i i i a +=++=+?=，故选D ．

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图．以下结论不正确的是（ ）

A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现

C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案：D

分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．

4.已知(1,1)a =-

，(1,2)b =- ，则(2)a b a +?= （ ）

A. 1-

B. 0

C. 1

D. 2 答案：C

分析：由题意可得22a = ，3a b ?=-

，所以2(2)2431a b a a a b +?=+?=-= ．故选C ．

5.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = （ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 答案：A

分析：13533331a a a a a ++==?=，15535()

552

a a S a +===．故选A ．

6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A.

18 B. 17 C. 16 D. 1

5

答案：D

分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，设正方体棱长为a ，则111

3311

1326A A B D V a a -=?=，故剩余几何体体积为3331566

a a a -=，所以截去部

分体积与剩余部分体积的比值为15

，故选D ．

7.已知三点(1,0),A B C ，则ABC ?外接圆的圆心到原点的距离为（ ）

A.

5

3

B.

C. D. 4

3

答案：B

分析： ABC ?外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线1x =上，设圆心(1,)D b ，由

DA BD =得||b b ==d =．

8.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a 为（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 14 答案：B

分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；

2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．

9.已知等比数列{}n a 满足11

4

a =

，3544(1)a a a =-，则2a =（ ） A. 2 B. 1 C. 12 D. 1

8

答案：C

分析：由题意可得2354444(1)2a a a a a ==-?=，所以34182a q q a ==?=，故2112

a a q ==，选C ．

10.已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ?∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）

A. 36π

B. 64π

C. 144π

D. 256π 答案：C

分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311

13632

6

O ABC C AOB V V R R R --==??==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．

11.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BO P x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图

像大致为（ ）

A. B. C. D.

答案：B

分析：由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04

x π

≤≤时，tan PA PB x +=；

当点P 在CD 边上运动时，即34

4

x π

π

≤≤

时，PA PB +=

2

x π=

时，PA PB +=，当点P 在AD 边上运动时，即34

x π

π≤≤时，

4t a n P A P x +-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2

x π=

对称，且

()()42

f f ππ

>，且轨迹费线型，故选B ．

12.设函数21

()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A. 1(,1)

3

B. 1(,)(1,)

3

-∞?+∞

C. 11(,)

33- D. 11

(,)(,)33

-∞-?+∞

答案：A

分析：由2

1

()ln(1||)1f x x x =+-

+可知()f x 是偶函数，且在[0,)+∞是增函数，所以1

()(21)(||)(|21|)|||21|13

f x f x f x f x x x x >-?>-?>-?

<<．故选A ．

13.已知函数3()2f x ax x =-的图像过点(1,4)-，则a =_________． 答案：2-

分析：由3()2f x ax x =-可得(1)22f a a -=-+?=-．

14.若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤??

--≥??-+≤?

，则2z x y =+的最大值为_______．

答案：8

分析：不等式50210210x y x y x y +-≤??

--

≥??-+≤?

表示的可行域是以(1,1),(2,3),(3,2)为定点的三角区域：2z x y =+的

最大值必须在顶点处取的，经验算：3,2x y ==时 max 8z =．

15.已知双曲线过点，且渐近线方程为1

2y x =±

，则该双曲线的标准方程为_______．

答案：2

214

x y -=

分析：根据双曲线渐近线方程为12y x =±，可设双曲线的方程为2

24x y m -=，把代入

22

4x y m -=得1m =，所以双曲线的方程为2214

x y -=．

16.已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a =__________． 答案：8

分析：由1

1y x

'=+可得曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为21y x =-，与2(2)1y ax a x =+++联立得220ax ax ++=，显然0a ≠，所以由2808a a a ?=-=?=．