基于MATLAB的自动控制系统仿真

摘要

自动控制原理理论性强，现实模型在实验室较难建立，因此利用SIMULINK进行仿真实验，可以加深我们学生对课程的理解，调动我们学习的积极性，同时大大提高了我们深入思考问题的能力和创新能力。本文针对自动控制系统的设计很大程度上还依赖于实际系统的反复实验、调整的普遍现象，结合具体的设计实例，介绍了利用较先进的MATLAB软件中的SIMULINK仿真工具来实现对自动控制系统建模、分析与设计、仿真的方法。它能够直观、快速地分析系统的动态性能、和稳态性能。并且能够灵活的改变系统的结构和参数，通过快速、直观的仿真达到系统的优化设计。关键词：MATLAB；自动控制；系统仿真

Abstract

Strong theory of automatic control theory, the reality is more difficult to establish in the laboratory model, thus using the SIMULINK simulation experiment, students can deepen our understanding of the course, to mobilize the enthusiasm of our study, while greatly increasing our ability to think deeply and Innovationcapacity.In this paper, the design of automatic control system is still largely dependent on the actual system of repeated experiments, adjustment of the universal phenomenon, with specific design example, introduced the use of more advanced software in the MATLAB SIMULINK simulation tools to achieve the automatic control systemModeling, Analysis and design, simulation methods.It can intuitively and quickly analyze the dynamic performance, and steady-state performance.

Keywords:MATLAB; Automatic control; System simulation

目录

1 绪论 (1)

1.1 题目背景、研究意义 (1)

1.2 国内外相关研究情况 (1)

2 自动控制概述 (3)

2.1 自动控制概念 (3)

2.2 自动控制系统的分类 (4)

2.3 对控制系统的性能要求 (5)

2.4 典型环节 (6)

3 MATLAB仿真软件的应用 (10)

3.1 MATLAB的基本介绍 (10)

3.2 MATLAB的仿真 (10)

3.3 控制系统的动态仿真 (11)

4 自动控制系统仿真 (14)

4.1 直线一级倒立摆系统的建模及仿真 (14)

4.1.1 系统组成 (14)

4.1.2 模型的建立 (14)

4.1.3 PID控制器的设计 (19)

4.1.4 PID控制器MATLAB仿真 (22)

4.2 三容水箱的建模及仿真 (23)

4.2.1 建立三容水箱的数学模型 (24)

4.2.2 系统校正 (25)

总结 (28)

致谢 (29)

参考文献 (30)

1 绪论

1.1 题目背景、研究意义

MATLAB语言是当今国际控制界最为流行的控制系统计算机辅助设计语言，它的出现为控制系统的计算机辅助分析和设计带来了全新的手段。其中图形交互式的模型输入计算机仿真环境SIMULINK，为MATLAB应用的进一步推广起到了积极的推动作用。现在，MATLAB语言已经风靡全世界，成为控制系统CAD领域最普及、也是最受欢迎的软件环境。

随着计算机技术的发展和应用，自动控制理论和技术在宇航、机器人控制、导弹制导及核动力等高新技术领域中的应用也愈来愈深入广泛。不仅如此，自动控制技术的应用范围现在已扩展到生物、医学、环境、经济管理和其它许多社会生活领域中，成为现代社会生活中不可缺少的一部分。随着时代进步和人们生活水平的提高，在人类探知未来，认识和改造自然，建设高度文明和发达社会的活动中，自动控制理论和技术必将进一步发挥更加重要的作用。作为一个工程技术人员，了解和掌握自动控制的有关知识是十分必要的。

自动控制技术的应用不仅使生产过程实现了自动化，极大地提高了劳动生产率，而且减轻了人的劳动强度。自动控制使工作具有高度的准确性，大大地提高了武器的命中率和战斗力，例如火炮自动跟踪系统必须采用计算机控制才能打下高速高空飞行的飞机。某些人们不能直接参与工作的场合就更离不开自动控制技术了，例如原子能的生产、火炮或导弹的制导等等。利用MATLAB软件中的SIMULINK仿真工具来实现对自动控制系统建模、分析与设计、仿真。能够直观、快速地分析系统的动态性能、和稳态性能。并且能够灵活的改变系统的结构和参数，通过快速、直观的仿真达到系统的优化设计。

1.2 国内外相关研究情况

随着社会生产力的不断发展和人们生活质量的不断提高，必将对控制理论、技术、系统与应用提出越来越多、越来越高的要求，因此有必要进一步加强、加深对这方面

的研究。MATLAB/Simulink为此提供了可能，实践已表明它的确是一个功能强大、形象逼真、便于操作的软件工具。在国外MATLAB已经经受了多年考验。在欧美高校，MATLAB已经成为自动控制与各类高级课程的基本教学工具，成为各高校大学生、研究生必须掌握的基础知识与基本技能。

2 自动控制概述

2.1 自动控制概念

在现代科学技术的许多领域中，自动控制技术得到了广泛的应用，自动控制技术最显著的特征就是通过对各类机器，各种物理参量、工业生产过程等的控制直接造福于社会。

所谓自动控制，就是指在无人直接参与的情况下，利用控制装置操纵受控对象，使受控对象的被控量等于给定值或按给定信号变化规律去变化。

为达到某一目的，由相互制约的各个部分，按一定的规律组织成的，具有一定功能的整体，称为系统，它一般由控制装置（控制器）和被控对象所组成。

自动控制有两种最基本的形式，即开环控制和闭环控制。

（1）开环控制

控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为开环控制。其特点是：系统结构和控制过程均很简单。开环控制的示意框图如图2.1所示

图2.1开环控制系统

开环控制是一种简单的无反馈控制方式，在开环控制系统中只存在控制器对被控量对象的单方向控制作用，不存在被控制量(输出量)对被控量的反向作用，系统的精度取决于组成系统的元器件的精度和特性调整的精确度。开环系统对外扰及内部参量变化的影响缺乏抑制能力，但开环系统内构简单，比较容易设计和调整，可用于输出量与输入量关系为已知，内外扰动对系统影响不大，并且控制精度要求不高的场合。

在开环控制系统中，对于每一个输入参考量，就有一个与之相对应的工作状态和输出量，系统的精度取决于元、器件的精度和特性调整的精度，当系统的内扰和外扰影响不大并且控制精度要求不高时，可采用开环控制方式。

（2）闭环控制

控制装置与受控对象之间，不但有顺向作用，而且还有反向联系，即有被控量对控制过程的影响。

闭环控制的特点是：在控制器和被控对象之间，不仅存在着正向作用，而且存在反馈作用，即系统的输出量对控制量有直接影响，将检测出来的输出量送回到系统的输入端，并与信号比较的过程称为反馈，若反馈信号与输入信号相减，则称负反馈。反之，若相加，则称正反馈，输入信号与反馈信号之差称为偏差信号，偏差信号作用于控制器上，控制器对偏差信号进行某种运算，产生一个控制作用，使系统的输出量趋向于给定数值，闭环的实质就是利用负反馈的作用来减小系统的误差，因此闭环控制又称为反馈控制,其示意图如图2.2所示。

图2.2 闭环控制系统

反馈控制是一种基本的控制规律，它具有自动修正被控量偏离给定值的作用，使系统因而可以抑制内扰和外扰所引起的误差，达到自动控制的目的。

闭环控制是一种反馈控制，在控制过程中对被控量(输出量)不断测量，并将其反馈到输入端与给定值(参考输入量)比较。利用放大后的偏差信号产生控制作用。因此，有可能部分采用相对来说精度不高，成本较底的元器件组成控制精度较高的闭环控制系统，闭环控制系统精度在很大程度上由形成反馈的测量元器件的精度决定。在此，闭环系统具有开环系统无可比拟的优点，故应用极广，但与此同时，反馈的引入使本来稳定运行的开环系统可能出现强烈的振荡，甚至不稳定，这是采用反馈控制构成的闭环控制时需要注意解决的问题。

2.2 自动控制系统的分类

根据不同的分类方法，自动控制系统的类型可概括如下：

（1）恒值系统、随动系统和程序控制系统

若系统的给定值是一定值，而控制任务就是克服扰动，使被控量保持恒值。此类

系统称为恒值系统。

若系统给定值按照事先不知道的时间函数变化，并要求被控量跟随给定值变化，则此类系统称为随动系统。

若系统的给定值按照一定的时间函数变化，并要求被控量随之变化，则此类系统称为程序控制系统

（2）随机系统与自动调整系统

随机系统又称伺服系统或跟踪系统。其特点是在输入量总是在频繁地或缓慢地变化，要求系统的输出量能够以一定的准确度跟随输入量而变化。

自动调整系统又称恒值调节系统（或调节器系统）其特点是输入保持为常量，或整定后相对保持常量，而系统的任务是尽量排除扰动的影响，以一定准确度将输出量保持在希望的数值上。

（3）线性系统和非线性系统

组成系统的元、器件的特性均为线性（或基本线性）能够用线性常微分方程描述其输入与输出的关系称为线性系统，主要特点是具有齐次性和叠加性，系统时间响应的特征与初始状态无关。

在组成系统的元、器件中只要有一个元、器件的特性不能用线性方程描述，即为非线性系统，描述非线性系统的常微分方程中，输出量及各阶导数不完全是一次的，或者有的输出量导数项的系数是输入量的函数，系统的时间响应特性与被初始状态有极大的关系。

（4）连续系统与离散系统

连续系统各部分的输入和输出信号都是连续函数的模拟量。

离散系统是指某一处或者数处的信号以脉冲或数码的形式传递的系统。

一般说来，同样是反馈控制系统，但数字控制精度（尤其是控制的稳态准确度）高于离散控制。因为数码形式的控制信号远比模拟控制信号的抗干扰能力强。

描述连续控制系统用微分方程，而描述离散控制系统则用差分方程。

2.3 对控制系统的性能要求

在控制过程中，一个理想的控制系统，始终应使其被控量（输出）等于给定值（输入）。

但是由于机械部分质量、惯量的存在，电路中存储元件的存在以及能源功率的限

制，使得运动部件的加速度受到限制，其速度和位置难以瞬时变化。所以当给定值变化时，被控量不可能立即等于给定值，而需要一个过度过程，即动态过程，所谓动态过程就是指系统受到外加信号（给定值或扰动）作用后，被控量随时间变化的全过程。

因此对系统性能的基本要求有三个方面。

稳定性：稳定性是这样来表述的：系统受到外作用后，其动态过程的振荡倾向和系统恢复恢复平衡的能力。如果系统受外力作用后，经过一段时间，其被控量可以达到某一稳定状态，则称系统是稳定的，否则称为不稳定系统。

快速性：快速性是通过动态过程时间长短来表征的，过渡过程时间越短，表明快速性越好，反之亦然。快速性表明了系统输出对输入响应的快慢程度。系统响应越快，说明系统的输出复现输入信号的能力越强。

准确性：准确性是由输入给定值与输出响应的始终值之间的差值来表征的。它反映了系统的稳态精度。若系统的最终误差为零，则称为无差系统，否则称为有差系统。

稳定性、快速性和准确性往往是互相制约的。在设计与调试过程中，若过分强调系统的稳定性，则可能会造成系统响应迟缓和控制精度较低的后果：反之，若过分强调系统响应的快速性，则又会使系统的振荡加剧，甚至引起不稳定。

在分析和设计自动控制系统时，应该尽量使其对三方面的性能有所侧重，并兼顾其他，以全面满足要求。

2.4 典型环节

一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然各种元件的具体结构和作用原理是多种多样的，但若抛开具体结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性，就可以划分为数不够的几种典型环节（典型环节只代表一种特定的运动规律，不一定是一种具体的元件）。

（1）比例环节

比例环节的微分方程为

)()(t Kr t c = （2-1） 式中，K 为放大倍数。

比例环节的传递函数为

（2-2） K s R s C s G ==)

()()(

()()t r dt t dc T =图2.3 比例环节方框图

比例环节的特点是，其输出不失真，不延迟，成比例地复现输入信号的变化，即信号的传递没有惯性。

（2）积分环节

积分环节的微分方程为：

（2-3） 其中T 为积分时间常数

积分环节的传递函数为：

（2-4） 其中积分环节的方框图如图2.4所示 图2.4 积分环节方框图

积分环节的特点是，输出量与输入量对时间的积分成正比。若输入突变，输出值要等时间T 之后才等于输入值，故有滞后作用。输出积累一段时间后，即使使输入为零，输出也将保持原值不变，即具有记忆功能。只有当输入反向时，输出才反向积分而下降。常利用积分环节来改善系统的稳态性能。

（3）微分环节

理想的微分环节的微分方程为

（2-5）

其中T 为微分时间常数。 对微分方程取拉氏变换后，可求得传递函数

（2-6） 理想的微分环节的方框图如图2.5所示

图2.5 微分环节方框图

若输入为单位阶跃信号，即()()t t r 1=，则输出的单位阶跃响应为

（2-7） ()()()Ts

s R s C s G 1==()()dt

t dr T r c =()()()

Ts s R s C s G ==()()()t dt

t dr t C τδτ=

=

这是一个面积为τ的脉冲，脉冲宽为零，幅值为无穷大，理想微分环节的输入和输出如图2.6所示。

图2.6理想微分环节的单位阶跃响应

微分环节的特点是，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。因此，可由微分环节的输出来反映输入信号的变化趋势，加速系统控制作用的实现。常利用微分环节来改善系统的动态性能。

（4）惯性环节

惯性环节的微分方程为

)()()(t Kr t c dt

t dc T =+ （2-8） 式中T 为时间常数，K 为比例系数。

惯性环节的传递函数为

1

)()()(+==Ts K s R s C s G （2-9） 上式称为惯性环节的标准式。当s s R 1)(=时，s

Ts K t C 11)(?+= 在单位阶跃信号作用下的相应为

)1()(T

t e K t c --= （2-10）

图2.7为K=1时，惯性环节的方框图。

图2.7 惯性环节方框图

惯性环节的特点是，其输出量不能瞬时完成与输出量完全一致的变化。

（5）时滞环节

时滞环节也称延迟环节，其数学表达式为

)(1)()(ττ-?-=t t r t C （2-11） 式中τ为延迟时间。

由此，可得传递函数

s s e

e s R s C s G ττ--===

1)()()( （2-12） 时滞环节的方框图如图2.8。

图2.8 时滞环节方框图

时滞环节的特点是，其输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。时滞环节的存在对系统得稳定性不利。系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的，与系统中采用的元件不是一一对应的。分析或设计系统必先建立系统或被控对象的数学模型，将其与典型环节的数学模型对比后，即可知其由什么样的典型环节组成。

典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统，而且类型环节数学模型是在一系列理想条件限制下建立的。

3 MATLAB仿真软件的应用

3.1 MATLAB的基本介绍

MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。

（1）MATALB语言体系

MATLAB是高层次的矩阵／数组语言．具有条件控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。利用它既可以进行小规模编程，完成算法设计和算法实验的基本任务，也可以进行大规模编程，开发复杂的应用程序。

（2）MATLAB工作环境

这是对MATLAB提供给用户使用的管理功能的总称．包括管理工作空间中的变量据输入输出的方式和方法，以及开发、调试、管理M文件的各种工具。

（3）图形图像系统

这是MATLAB图形系统的基础，包括完成2D和3D数据图示、图像处理、动画生成、图形显示等功能的高层MATLAB命令，也包括用户对图形图像等对象进行特性控制的低层MATLAB命令，以及开发GUI应用程序的各种工具。

（4）MATLAB数学函数库

这是对MATLAB使用的各种数学算法的总称．包括各种初等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。

（5）MATLAB应用程序接口

这是MATLAB为用户提供的一个函数库，使得用户能够在MATLAB环境中使用c 程序或FORTRAN程序，包括从MATLAB中调用于程序(动态链接)，读写MAT文件的功能。可以看出MATLAB是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境。除此之外，MATLAB还具有根强的功能扩展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱，以完成一些特定的任务。

3.2 MATLAB的仿真

MATLAB的SIMULINK子库是一个建模、分析各种物理和数学系统的软件。由于

在WINDOWS界面下工作,所以对控制系统的方块图编辑、绘制很方便。

MATLAB命令窗口启动SIMULINK程序后,出现的界面如下。

分别为信号源、输出、离散系统库、线性系统库、非线性系统库、系统连接及扩展系统。下面分别介绍:

（1）信号源

程序提供了八种信号源,分别为阶跃信号、正弦波信号、白噪声、时钟、常值信号、文件、信号发生器等可直接使用。而信号发生器(singal gein)可产生正弦波、方波、锯齿波、随机信号等。

（2）信号输出

程序提供了三种输出方式,可将仿真结果通过三种方式之一如仿真窗口、文件等形式输出。

（3）离散系统

程序提供了五种标准模式,延迟、零-极点、滤波器、传递函数、状态空间等。并且每种标准模式都可方便地改变参数以符合被仿真系统。

（4）线性系统

程序提供了七种标准模式,加法器、比例、积分器、微分、传递函数、零-极点、状态空间等。同离散系统一样,每种标准模式都可方便地改变参数以符合被仿真系统。

（5）非线性系统

非线性系统库提供了十三种常用标准模式,如绝对值、乘法、函数、回环特性、死区特性、斜率、继电器特性、饱和特性、开关特性等。

（6）系统连接

系统连接库提供了四种模式,输入、输出、多路转换等。

（7）系统扩展

考虑到各种复杂系统的要求,另外提供了十二种类型的扩展系统库,每一种又有不同的选择模式。

3.3 控制系统的动态仿真

由于SIMULINK提供了丰富的数学模型,且兼容于WINDOWS,所以用WINDOWS 提供的简单命令即形成各种复杂的系统模型。下面分别介绍。

（1）连续系统

某一位置随动系统的方块如图3.1所示

图3.1位置随动系统框图

SIMULINK仿真模型图如图3.2所示

图3.2位置随动系统仿真模型图

输入仿真时间、仿真步长,选择数值计算方法即得到系统的阶跃响应。

图3.3K＝4系统阶跃响应

如果系统的动态响应特性不好,可以调出扩展库中的各种调节器,以改善系统的动态响应。比如引入典型的PID调节器。

（2）非线性系统

某一带有死区的随动系统如图3.4所示。死区范围±0.5,从系统的阶跃响应可以看出,由于系统的非线性,使得原来无差系统变为有差系统,同样可以引入各种调节器来校正系统,改善系统的动态响应。

图3.4非线性系统方框图

其系统的阶跃响应曲线如图3.5所示

图3.5非线性系统阶跃响应

（3）离散系统

从离散系统库调出离散模型,得到系统的方框图和系统的阶跃响应如图3.6所示。

图3.6离散系统图

其系统的阶跃响应曲线如图3.7所示

图3.7 离散系统阶跃响应

4 自动控制系统仿真

4.1 直线一级倒立摆系统的建模及仿真

GIP 系列倒立摆系统是固高科技有限公司为全方位满足各类电机拖动和自动控制课程的教学需要而研制、开发的实验教学平台。GIP 系列的主导产品由直线运动型、旋转运动型和平面运动型三个子系列组成。直线运动倒立摆的基本模块为直线运动控制模块，该模块由交流/直流伺服电机驱动滑动小车沿直线轴承滑动，完成定位控制和速度跟踪的任务。在滑动小车上加装一个单摆系统，构成经典的控制教学产品：单节倒立摆系统，可完成各类控制课程的教学实验，让学生具有一个可供实验验证的平台。该系统可用测试、研究和开发各类新的控制算法。

4.1.1 系统组成

倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通PC 机组成的控制平台等三大部分。

小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移），如图4.1 。

4.1.2 模型的建立

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上

图4.1 一级倒立摆的模型示意图 Fy 小车M Fx O θ摆杆(2L,m)u n(t)x 驱动电机角度传感器位置传感器导轨G (x G ,y G )

加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图4.2所示

图4.2 直线一级倒立摆系统

M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、l摆杆转动轴心到杆质心的长度、I 摆杆惯、F加在小车上的力、x 小车位置、φ摆杆与垂直向上方向的夹角、θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。

图4.3是系统中小车和摆杆的受力分析图。

(a) (b)

图4.3 小车和摆杆的受力分析图

（a）小车隔离受力图

（b）摆杆隔离受力图

其中， N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图4.3所示，图示方向为矢量正方向。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

N x b F x M --=

(4-1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

()θs i n 122

l k

d m N += 即 ： θθθθs i n c o s 2

ml ml x m N -+= (4-2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

()()

F ml m x b x M m =-+++θθθθsin cos 2 (4-3) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

()θcos 22l dt

d m mg P =- 即：θθθθcos sin 2 ml ml mg P --=- (4-4) 力矩平衡方程如下： θ

θθ I Nl Pl =--cos sin (4-5) 方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：

()θθθ

c o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (4-6) 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：

用u 代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：

()()???=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ 2 (4-7) 对方程组(4-7)进行拉普拉斯变换，得到

0,sin ,1cos 2=??

? ??-=-=dt d θφθθ

()

()()()()()()()()?

??=Φ-++=Φ-Φ+s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 222

22 (4-8) 由于输出为角度φ，求解方程组(4-8)的第一个方程，可以得到： ()()s s g ml ml I s X Φ??

????-+=22)( (4-9) 把上式代入方程组(4-8)的第二个方程，得到：

()()()()

()()()s U s s ml s s s g ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ???

???+++Φ???

???-++222

22

(4-10) 整理后得到传递函数：

()()()()s

q bmgl

s q mgl m M s q ml I b s s

q ml s U s -+-++=

Φ232

42

(4-11) 其中：

[()()()]22ml ml I M m q -++=

系统状态空间方程为

Dn CX y Bu

AX x +=+=

(4-12) 方程组（4-12）对φ ,x 解代数方程，得到解如下：

()()()()()()u

Mml m M I ml Mml m M I m M mgl

x Mml m M I mlb u

Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 22222

22222)()()(+++++++++-==++++++++++-==φφφφφ

(4-13) 整理后得到系统状态空间方程：

u x x

x y ??

????+???

??

?

????????????=??????=0000000001φφφ

(4-14)