导数与圆锥曲线练习题
2013-2014学年度导数圆锥曲线0314
一、选择题
1．已知函数()2f x ax =+，若'(1)2f =，则a 为 （ ） A ．2
B ． 2-
C ． 3
D ． 0
2、设P 是双曲线192
22=-y a
x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别
是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）
A. 1或5
B. 1或9
C. 1
D. 9
3．若k R ∈，则“1k >”是方程“ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
4．函数 的导数是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 5．已知双曲线
1(a ＞0，b ＞0)
C 的渐近线方程为 ( )
A
（B
（C
（D ）y=±x
6．已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于
A B 、两点，且
3AB =，则C
的方程为( )
A ．2
212
x y += B ．22
132x y += C ．22
143x y += D ．22
154
x y += 7．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程
为（ ） Ａ．24y x =
Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =-
x x 12
-x x 12+221x x +221x
x -x x y 12
-=
8．抛物线()022
1>=p px y C ：的焦点F 且它们的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为 ( )
9．方程02
=+ny mx 与)0(12
2
>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是
（
二、填空题
1011的长轴在y 轴上，且焦距为4，，则m 的值是 .
12．过抛物线x y -=2的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，且B A ,在直线别是N M ,，则MFN ∠的大小为 .
三、解答题;
13．焦点重合，斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求OB OA ?的取值范围.
参考答案
1．C；
【解析】
试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即=
?
≠//
,0．也可直接运用坐标运算。经计算选C。
bλ
a
a
b
b
考点：本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算.
点评：有不同解法，较好地考查考生综合应用知识解题的能力。
2．A
【解析】
试题分析：依题意：，可知(1)(1)0k k -+>，求得1k >或1k <，则“1k >”是“方程
考点：必要条件、充分条件的判断；双曲线的方程． 3．C 【解析】
试题分析： －1．所以量,OA OB
与的夹角是π，故选
C 。
考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算.
点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。 4．C ；
【学科网考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.
5．D 【解析】
的长轴在y 轴上，且焦距为4， 所以，2
2
2,10a m b m =-=-，
，解得，8m =， 故选D 。
考点：椭圆的几何性质
点评：简单题，利用a,b,c 的关系222a b c -=，建立m 的方程。 6．C 【解析】
试题分析：由条件得：122||2r F F c ==，即r c =，而||5r O P ==，
，(3,4)P
，得34a b =??=?，所以双曲线方程为
考点：1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.
7．B 【解析】
试题分析：因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而抛物线2
y 4x =的准线方程，设点M 的纵坐标为0y ，则考点：本小题主要考查抛物线上点的性质的应用和抛物线准线方程的求解.
点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这个性质特别好用，要灵活应用. 8．A 【解析】
试题分析：因为椭
焦点
设双曲线的方程
为
222
c a b =+
，所以22
25b a a b =??+=?，解得1,2a b ==，所以双曲线的方程为 A.
考点：1.椭圆的标准方程；2.双曲线的标准方程与几何性质. 9．C 【解析】
试题分析：因为，抛物线经过点()2,4-P
，在第四象限，
所以，设其标准方程为2
2y px =或2
2(0)x py p =->， 将()2,4-P
分别代入得2p =1或8，故所求抛物线方程为2
y
x =或28x y =-，选C 。
考点：抛物线的标准方程
点评：简单题，确定抛物线的标准方程，一般利用“定义”或“待定系数法”。 10．B 【解析】
试题分析：由题意ax 2+by 2
=ab 考察A 选项，由双曲线的特征知，b ＞0，a ＜0，由直线的特征知a ，b 同号，故A 不是要选项；
考察B 选项，由图中双曲线的特征知，a ＞0，b ＜0，由直线的特征结合c ＞0知，a ＞0，b ＜0，B 选项符合条件；
考察C 选项，由图中椭圆知，a ，b 同号，由直线的特征知，a ，b 异号，故C 不符合条件； 考察D 选项，由图中的椭圆知，a ，b 同为正，由直线的特征知，a ，b 异号故D 不符合条件； 综上，B 选项符合要求，故选B. 考点：双曲线的简单性质
点评：本题考点是直线与圆锥曲线的关系，考察了圆锥曲线的图形特征与方程中参数的对应关系及直线的特征，解题的关键是熟练掌握图形的特征与方程中量的对应关系，本题考察了识图的能力及判断推理的能力。 11．A 【解析】
试题分析：因为抛物线()022
1>=p px y C ：的焦点为由于双曲线与抛
物线的对称性可知，只有一种情况该直线垂直于x 轴.因此可得
故选A.
考点：1.双曲线的性质.2.抛物线的性质.3.圆锥图形的对称性.4.离心率的概念. 12．6 【解析】
试题分析：双曲线22163x y -=的右焦点(3,0)F 是抛物线22y px =的焦点，所以，32
P =，6P =.
考点：双曲线的焦点.
13 【解析】
考点：双曲线的离心率
14．0
90.
【解析】
试题分析：如图，由抛物线的定义可知：AF AM =,∴AFM AMF ∠=∠；根据内错角相等知
,AMF MFK AFM MFK
∠=∠∴∠=∠；同理可证
KFN NFB
∠=∠而
0180AFM MFK KFN NFB ∠+∠+∠+∠=,∴090MFN ∠=.
考点：抛物线的定义.
15．(Ⅰ(Ⅱ
【解析】
试题分析：(Ⅰ)b .由离心率及222
a b c =+求,a c .(Ⅱ)设直线l 的方程为(4)y k x =-，代入椭圆方程，整理得：2222(43)3264120k x k x k +-+-=则点A 、B 的横坐标是该方程的两个根.利用根与系数的关系用k 表示出OB OA ?，由此可求得OB OA ?的取值范围.
试题解析：(Ⅰ)分
3分
∴2
2
43a b ==，
分 (Ⅱ)解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-
2222(43)3264120k x k x k +-+-= 由2222(32)4(43)(6412)0k k k ?=--+->得：分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则
∴ 2
2
2
12121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++ 9分
+2
16
k =分
13分
即OA OB ? 的取值范围是分
考点：1、圆锥曲线的方程；2、直线与圆锥曲线的关系；3、二次方程根与系数的关系；4、函
数的范围
导数练习题 含答案
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
圆锥曲线与导数 (1)
圆锥曲线及导数 1、①已知圆 ，M 为圆上任一点，MP 的垂直平分线交OM 于Q ，则Q 的轨 迹为（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ②已知圆，M 为圆上任一点，MP 的垂直平分线交OM 于Q ，则Q 的轨迹 为（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 2、①P 为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角 的平分线作垂线，垂足为M ，将F 2P 的延长线于N ， M 的轨迹方程 ②如图2，为双曲线的两焦点，P 为其上一动点，从 的平分线作垂线，垂足为M ， M 的轨迹方程 3、中心在原 点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为2 1 ，则椭圆方程为（ ） A ．2522x +7522y =1 B ．7522x +25 22y =1 C ．252x +752y =1 D ．752x +252 x =1 4、已知双曲线116 92 2=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为C 的右支上一点，且211F F PF =，则21F PF ?的面积等于( )A ．24 B ． 36 C.612 D ．68 5、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线2 8y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一 个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．30x = B 30x y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±= 6、若双曲线的两条渐进线的夹角为0 60，则该双曲线的离心率为 A.2 B.36 C.2或36 D.2或3 32
7、 8、已知双曲线)0(122 22>>=-a b b y a x 的两条渐近线为21,l l ，过右焦点F 作垂直1l 的直线交2 1,l l 于B A ,两点。若OB AB OA ,,成等差数列，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 5 B ．5 C ．3 D ．13+ 9、设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋2 3 上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( ) A.????0，π2∪??? ?2 3π，π B.????0，π2∪????56π，π C.??? ?2 3π，π D.???? π2，56π 10、双曲线的实轴长为2a ，F 1, F 2是它的左、右两个焦点，左支上的弦AB 经过点F 1，且|AF 2|、 |AB |、|BF 2|成等差数列，则|AB |＝ . 11、设1F 、2F 是双曲线2 2 4x y -=的两焦点，Q 是双曲线上任意一点，从1F 引12FQF ∠平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程是 。 12、 13、若方程 11 42 2=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①若C 为椭圆，则1 圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案） 一．选择题（共7小题） 1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（） A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2） 2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴 的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 3．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原 点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（） A．B．2 C．D． 4．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C 的离心率为（） A．B．C．D． 5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（） A．B．3 C．2 D．4 7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 二．填空题（共6小题） 8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F （c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为． 9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的 两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为． 10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大． 11．已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= ． 12．曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=． 13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为． 三．解答题（共13小题） 14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2． （1）求椭圆C及圆O的方程； 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 高二数学试题（圆锥曲线与导数） 一、选择题 1．若点12,F F 为椭圆2 214 x y +=的焦点，P 为椭圆上的点，当12F PF ?的面积为1时，12PF PF ?u u u r u u u u r 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．6 2．设23)(23++=x ax x f ,若4)1(=-'f ,则a 的值等于（）A ．319 B.316 C ．313 D ．3 10 3．已知直线)2(+=x k y (k ＞0)与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若 ||2||FA FB =，则k 的值为( ) A ．13 B ．3 C ．3 D ．23 4．已知抛物线22y px =（p ＞0）的准线与圆22450x y y +--=相切，则p 的值为( ) A ．10 B ．6 C ． 18 D ．124 5．若曲线21:20C y px p =>()的焦点F 恰好是曲线22 222:100x y C a b a b -=>>(，)的右焦点，且1C 与2C 交点的连线过点F ，则曲线2C 的离心率为（ ） A 1 B 1 C D 6．已知点P 在曲线y ＝ 41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围( ) A.[0,4π) B.[,)42ππ C. 3(,]24ππ D. 3[,)4 ππ 7．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线 离心率的取值范围是( )A.1] B.)+∞ C. D.1,)+∞ 8．如果22 1||21x y k k +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是（ ）A ．(1,＋∞) B ．（0，2） C ．(2,＋∞) D ．（1，2） 9．设斜率为1的直线l 与椭圆12 4:2 2=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ） A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条 10．已知定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为)(x f '，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)2(ln 21ln ),2(2),21(21f c f b f a =--==,则下列关于a ,b ,c 的大小关系正确的是（ ） A. a ＞b ＞c B . a ＞c ＞b C . c ＞b ＞a D . b ＞a ＞c 二、填空题 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最 圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2 5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 圆锥曲线，导数，复数 1．已知中心在原点的椭圆的右焦点为 ，离心率等于，则的方程是 B ． C ． D ． 2．若椭圆2 2 14x y m +=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 37或59 3．双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为( ) A. 12y x =± B. y x = C. 2y x =± D. y x = 4．抛物线x 2 ＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 5．若 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 6．已知函数 ，其导函数 的图象如图，则对于函数 的描述正确的 是（ ） A. 在 上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在 上为减函数 D. 在处取得最小值 7．函数 的单调增区间为____________. 8．设复数满足 ，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 9．复数的共轭复数是( ) A. B. C. D. 10．若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 11．已知（i 是虚数单位， ），则 A. B. 3 C. 1 D. 12．已知复数满足，则对应点所在的象限是（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 13．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 14．已知复数z满足 2 1 z i z = - （i为虚数单位），则复数z的共轭复数z在复平面内 对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15．若复数，则的共轭复数的虚部为（） A. B. C. D. 16．抛物线的准线方程是________． 17．曲线在点处的切线方程为__________．18．曲线在处的切线方程是__________．19．函数的最大值是__________．20．已知，则复数__________．21．已知函数f(x)＝ （Ⅰ）求函数f(x)的导函数f ′(x)； （Ⅱ）证明：f(x)＜（e为自然对数的底数）． 22．已知函数()2 1 4ln5 2 f x x x x =+-． ()1求() f x的极值； ()2若() f x在区间() 21 m m+ ，上单调递减，求实数m的取值范围． 1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为 10. （1）求棱1A A 的长； （2）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值. 【答案】（1）3；（2） 11 11 ． 试题分析：（1）设1A A h =，由题意得1111111111ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-，可求出棱长；（2）因为在长方体中11//A D BC ，所以1O BC ∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),再借助解三角形的求解得到结论． 试题解析：(1)设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 得1111 103ABCD A B C S h S h ??-??=，即1122221032 h h ??-????=，解得3h =， 故1A A 的长为3. (2) 在长方体中11A D BC ， 1O BC ∴∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角), 在1O BC ?中，计算可得1111O B OC =1O BC ∠11考点：异面直线所成的角的求解；棱柱的结构特征． 【解析】 2、如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=?，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=?，AB PC ⊥，AM=2. 高中数学导数的几何意义测试题(含答案) 选修2-21.1第3课时导数的几何意义 一、选择题 1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么() A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在 [答案] B [解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为() A．1 B.4 C.54 D．－4 [答案] B [解析] ∵y＝limx0[12(x＋x)2－2]－(12x2－2)x ＝limx0(x＋12x)＝x 切线的斜率k＝y|x＝1＝1. 切线的倾斜角为4，故应选B. 3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是() A．(0,0) B．(2,4) C.14，116 D.12，14 [答案] D 页 1 第 [解析] 易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14. 4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案] B [解析] y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3. 由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2. 5．设f(x)为可导函数，且满足limx0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为() A．2 B．－1 C．1 D．－2 [答案] B [解析] limx0f(1)－f(1－2x)2x＝limx0f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B．与x轴平行或重合 1.（2017北京理18）已知抛物线C:y2=2px（p>0）过点P(1,1),过点（0，1 2 ）作直线l 与抛物线C相交于不同的两点M,N,过点M作X轴的垂线分别与直线OP,ON相交于点A,B,其中O为原点。 ①求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； ②求证：A为线段BM的中点。 2.（2016北京理19）已知椭圆C：x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为√3 2 ，A(a,0),B(0,b) O(0，0),?OAB的面积为1， ①求椭圆C的方程； ②设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与X轴交于点N，求证：|AN||BM|为定值。 3.（2015北京理19）已知椭圆C：x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为√2 2 ，点P（0,1）和 点A（m,n）(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M ①求椭圆C的方程,并求点M的坐标（用m,n表示）； ②设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得↑∠OQM=∠ONQ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。 4.（2017东城理19）已知椭圆C：x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)经过点（0，√2），且离心率为 √2 2 。 ①求椭圆C的方程； ②设A,B是椭圆C的左，右顶点，P为椭圆上异于A,B的一点，以原点O为端点分别作与直线AP和BP平行的射线，交椭圆C于M,N两点，求证：?OMN的面积为定值。 5.（2017西城理19）已知椭圆C：x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为1 2 ，F是椭圆C的右焦 点，A(?A,0),|AF|=3. ①求椭圆C的方程； ②设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E。求证： 高二下学期期中复习 一、导数 1．导数的概念：f ′（x ）= 0 lim →?x x x f x x f ?-?+) ()(，导函数也简称导数. 2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。如f(x)=x 在x=0有切线，但不可导。 ⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0) 如：①（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.（2x －y +4=0） .②点P 在曲线y =x 3－x + 3 2 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）. 当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2 π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［ 43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［4 3π，π）. 3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n － 1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ; （e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′= x 1;（log a x ）′=x 1 log a e.. 4.运算法则 如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ）， ［c ·f （x ）]'=c f '（x ）. ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（ v u ）′=2v v u v u ' -' （v ≠0）. 5．导数的应用： （一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)； ⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间； 令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间. 特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。 如：1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞ ）上，f '（x ）≥0恒成立， 即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3. 答案：D ， 评述：f （x ）在该区间上为增（减）函数?f '（x ）≥0（≤0）在该区间上恒成立，. 2．.若函数y =－ 3 4x 3 +bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________. 【巩固练习】 一、选择题 1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ） A ．0 B ．―1 C ．―60 D ．60 2．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ） A.(0,1) B.()(),10,1-∞-U C. ()()1,01,-+∞U D.()1,+∞ 3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A.()'23cos 6sin x x x x +=- B. ()'1ln 2 2ln 2x x x x -=- C. ()' 2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -??= ??? 4．函数4538 y x x =+-的导数是（ ） A ．3543 x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为' ()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ） A. 2 B.-2 C. 94 D.94- 6．设曲线1(1)1 x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12 D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ） A ．32log tan e x -? B ．32log cot e x ? C ．32log cos e x -? D ． 22log cos e x 二、填空题 8．曲线y=sin x 在点,12π?? ??? 处的切线方程为________。 9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。 10．31sin x x '??-= ??? ____________，()2sin 25x x '+=????____________。 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲 导数及其应用、圆锥曲线测试题 一、选择题 1、双曲线13 22 =-y x 的离心率为 ( ) A ． 552 B ．2 3 C ．332 D ．2 2、已知23)(23++=x ax x f 且4)1('=-f ，则实数a 的值等于 ( ) A ． 193 B ．163 C ．133 D ．103 3、抛物线281 x y -=的准线方程是( ). A. 321=x B. 2=y C. 32 1 =y D. 2-=y 4、函数x x x f +=3)(的单调递增区间是 ( ) A ．),0(∞+ B ．)1,(-∞ C ．),(∞+-∞ D ． ),1(∞+ 5、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1 2 ，则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e 5x (e 为双曲线离心率)，则有( ) A ． a ＝2b B ．a ＝5b C ． b ＝2a D ．b ＝5a 7、函数)22(9323<<---=x x x x y 有（ ） A ． 极大值5，极小值27- B ． 极大值5，极小值11- C ． 极大值5，无极小值 D ． 极小值27-，无极大值 8、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 9、已知动点M 的坐标满足方程|12-4y 3x |522+=+y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A ． 椭圆 B ．抛物线 C ． 双曲线 D ． 以上都不对 10、函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A ．5 , —15 B ．18 , —15 C ．5 , —4 D ．5 , —16 11、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） 圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x 导数单元测试题（实验班用） 一、选择题 1．曲线3 2 3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( ) A .31y x =- B .35y x =-+ C .35y x =+ D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=?,[]1,2-∈x 的最大值为( )． A .14e - B . 0 C .2e D . 23e 3.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(2,2)- B.[]2,2- C.(,1)-? D.(1,)+? 4.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.1 (0,)2 B. (,1)-? C. (0,)+? D. (0,1) 5.若2a >，则函数3 21()13 f x x ax =-+在区间(0,2)上恰好有( ) A ．0个零点 B ．3个零点 C ．2个零点 D ．1个零点 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )． A .(3)(2) 0(2)(3) 32 f f f f -''<<< - B .(3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- C . (3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- D .(3)(2) 0(2)(3)32 f f f f -''<<<- 8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x <时,' ' ()()()()0f x g x f x g x +>, 圆锥曲线与导数的专题复习建议 圆锥曲线和导数这两块内容在高考中的地位不言而喻，经过第一轮的复习学生关于圆锥曲线和导数的基础知识有了较为系统的认识，那么在第二轮复习中应着重强调本章综合题型解题方法的归纳与总结及与其他知识点的交汇处命题的研究与探讨，本文结合圆锥曲线与导数的特点就专题复习提出自己的一些个人建议，供广大同行参考。 【圆锥曲线的专题复习】 解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。所以，如何做好这章的专题复习是每位高三数学教师的当务之急。 （一）圆锥曲线的特点 研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。结合历届高考对本章的考查以及历届学生对本章的反映，此专题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。因此，在很大程度上成为学生能力和心理上的一道难以逾越的障碍。 （二）考纲对圆锥曲线的阐述 考试内容：椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。 双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。 抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。 考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。 （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 （4）了解圆锥曲线的初步应用。 （三）圆锥曲线专题复习的备课 基于圆锥曲线的特点，我们在复习之前的备课非常关键。涉及圆锥曲线的题型相对比较集中，如圆锥曲线的弦长求法，标准方程的求法，与圆锥曲线有关的几何性质问题、最值问题、证明问题、角的问题以及圆锥曲线的综合应用问题。所以在备课时应特别重视每一类题型中的“母题”，所谓母题，是指它的典型性和代表性足以通过改变条件或结论衍生出各种各样的题目，称谓子题。找准合适的母题，即抓住了重点，又可以节省时间，从而又可以将不同的方法和技巧加以渗透。所以，在高考复习中备好母题必将事半功倍。 案例：关于圆锥曲线中角的问题的母题 【母题】椭圆 22 1 94 x y +=的焦点为 12 , F F，点P为椭圆上的动点，当 12 F PF ∠为直角时， 求点P的坐标。 分析：本题的解法有： 荣县一中高2017级第11周周六练习题（圆锥曲线，极坐标参数方程，导数的定义及求导）一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 椭圆（为参数）的离心率为（） A. B. C. D. 2. 极坐标方程所表示的曲线是（） A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 3. 下列参数方程（为参数）中，与方程表示同一曲线的是（） A. B. C. D. 4. 若，则等于（） A. B. C. D. 5. 设为可导函数，，则在点（）处的切线斜率为（） A. B. C. D. 6. 设是三角形的一个内角，且，则方程表示的曲线是（） A.焦点在轴上的双曲线 B.焦点在轴上的椭圆 C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的椭圆 7. 双曲线的离心率为，则的最小值为（） A. B.C. D. 8 已知函数的图象在点（）处的切线方程是，则的值等于（） A. B. C. D. 9. 已知两点，，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（） A. B. C. D. 10. 已知两个点和，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”，给出下列直线是“型直线”的是（） A. B. C. D. 二、填空题（本题共计4 小题，每题4 分，共计16分，） 11. 已知函数，则________． 12.已知直线与函数的图象相切于点，则________. 13. 点，为抛物线的焦点，点在抛物线上运动，当取最小值时的点的坐标是________． 14. 如图，是椭圆的一个焦点，，是椭圆的两个顶点，椭圆的离 心率为．点在轴上，，，，三点确定的圆恰好与直线相切．则椭圆的方程为________． 三、 解答题 （共 4 大题，共计44分 ， ） 15.（6分） 解下列各题： （1）求椭圆369422=+y x 的焦点和顶点的坐标； （2）求抛物线 的焦点坐标，准线方程和对称轴； （3）求焦点在轴上，两顶点间的距离是， 的 双曲线的标准方程． 16.（6分） 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 17.（6分）如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．(完整word版)圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含标准答案)
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