公安三中高三数学积累测试卷(17)

公安三中高三数学累积测试卷(17)

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置） 1.“a=2”是“直线0)2

=+-y x a a

（和直线012=++y x 互相平行”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 2．阅读右面的程序框图，则输出的S = ( ) A ．14 B ．30 C ．20 D ．55 3．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（） A ．

34种

B ．48种

C ．96种

D ．144种

4．设a b c 、、表示三条直线，αβ、表示两个平面，则下列命题中

不正确的是（） A ．

ββαα⊥??

⊥c c //

B ．a b

b c b c

a ⊥????

??⊥ββ是在内的射影

C ．

////b c b c c ααα?

??????

D ． αα⊥??

⊥b a b a //

5．设S n =1-2+3-4+…+(-1)n-1n ，则S 4m +S 2m+1+S 2m+3(m ∈N *)的值为

( )

A ．0

B ．3 C.4 D ．随m 的变化而变化 6

．已知两点(1,0),A B O

为坐标原点，点C 在第二象限，且

120

=∠AOC ，设2,(),O C

O A O B λλλ

=-+∈R

则等于 ( ) A ．1-

B ．２

C ．1

D ．2-

7.将一棵骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a ,第二次出现的点数记为b ,设两条直线1

2:2,:22

l ax by l x y +=+=平行的概率为1

P ,相

交的概率为2

P ,则复数12P

P i

+所对应的点P 与直线22x y +=的位置

关系为( )

A.P 在直线2

l 的右下方 B.

P 在直线2

l 的右上方

在直线2l 上 D.

在直线2

l 的左下方

8．过抛物线x

=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,

它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在

9．已知方程02

=+++c bx ax x

的三个实根可分别作为一椭圆，

一双曲线、一抛物线的离心率，则2

+的取值范围是（）

．)+∞

．)+∞ C ．[5,)+∞

D ．(5,)+∞）

10．若2012=1

a a a +++…，其中1

,,,n a a

a …为两两不等的非负整数，

令x =sin 1

i a =∑,y =cos 1

i a =∑,z =tan 1

i a =∑,则,,x y z 的大小关系是

（） A ．x y z << B ．z x y << C ．x z y << D ．

y z x

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm 2

．

12．已知点P

的坐标4

(,)1x y x y y x

x +≤??≥??≥?

满足，过点P

的直线l 与圆2

2:14C x y +=相交于

A 、

B 两点，则AB 的最小

值为．

13.若函数()sin cos (05,0)f x a x b x ab ωωω=+<<≠的图像的一条对称轴方

程是4x πω

，函数()f x '的图像的一个对称中心是,08

π??

???

，

则f(x)的最小正周期是。 14．设二次函数2

()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，

则191

c a +

++的最大值为 .

15．（（1）、（2）小题选做一题）

（1）如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，

BC ＝4，过点C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的

垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为．

（2）在平面直角坐标系下，曲线1

22:x t a C

y t

=+??

=-?（t 为参数），，曲线

22sin :12cos x C y θ

=??

=+?（θ为参数），若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的

取值范围为．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16（本小题满分12分）在A B C ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos 4

B =,

（1）求2

sin 2cos 2

A C

B ++的值;

（2）若b =

A B C ?面积的最大值。

16解：（I ）因为3cos 4

B =，所以sin 4

B =

. …1分

又2

πsin 2cos 2sin cos cos 2

A C

B B B B +-+=+

2s i n

c o s

(1c o s

)

B B B =+-

=324

+18

=18

+. ……6分

（II ）由已知得2

3cos 24

a c b

B ac

+-==

， ……7分

又因为b = 所以2

332a

c ac

+-=

. ……8分

又因为2

3322

c ac ac

+=+≥，

所以6a c ≤，当且仅当a c ==ac 取得最大值.……11分

此时11sin 62

ABC

S ac B ?=

所以

A B C

?的面积的最大值为

………12分

17.(本小题满分12分)

根据如图的程序框图，将输出的,x y 值依次

分别记为2013

,,,x x x

；2013

,,,y y y

（1）写出数列{}{},n

x y 的通项公式（不要求写出求解过程）；

（2）求()()()1112211++++++=n n n

y x y x y x S

)2013(≤n .

17. 解：（1）)2013(13,12≤-=-=n y n x n

n n

---------4

分

（2）()n

n S

123533313

?-++?+?+?=

()()1

1233233313+?-+?-++?+?=

∴n n

n n n S

两式相减,则()(

n n

n 3

33233122S 321

+++--?-=+

()()20133

≤+-=∴+n

n S n n

-------------12

分

18.(本小题满分12分)如图I ，平面四边形

ABCD

中，

60,150,24,A ABC AB AD BC ∠=∠====

把ABD

?沿直线BD 折起，使得

平面⊥

ABD

平面BCD ，连接AC 得到如图II 所示四面体BCD A -.设

点

F E O ,,分别是,,AB BD AC

的中

点.连接BF CE ,交于点G ,连接

(2)证明：AC

OG ⊥；

(2)求二面角C

AD B --的大小.

18.解：（以下仅提供一种解法，其它解法酌情给分）

(1) 由已知，A B D ?是等边三角形，取OD 的中点M ,连接A M 、CM 、

在三角形ABM 中，BM =3，AB =4，B =60

，

由余弦定理得AM=

在三角形CBM中，BC=2，BM=3，

⊥,得CM

C B B D

所以AM=CM，

因为F为AC中点，所以MF⊥AC

由已知，G为三角形ABC的重心，

所以BG：GF=BO：OM=2：1

所以OG//MF，

所以O G AC

⊥；

．．．．．．6＇(2) 平面ABD⊥平面BC D,

平面ABD 平面BC D=BD

⊥

C B B D

∴CB⊥面ABD

⊥

∴C B A B

???

∴A B C B C D

∴A C C D

取AD中点N，连接CN，BN，

则CN⊥AD，BN⊥AD

所以BNC

--的平面角．

∠是二面角B A D C

在三角形BNC中，CB

∠=30

⊥BN，BC=2，BN=所以BNC 所以二面角B A D C

--的大小为30 ．．．．．．．．．．．．．．12＇19．（本小题满分12分）为备战2012奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练. 现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5.

（Ⅰ）画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；

（Ⅱ）现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角

度，你认为派哪位选手参加合理? 简单说明理由. （Ⅲ）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩

进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E ξ.

19．解：（Ⅰ）茎叶图如图

3分

（Ⅱ）参考答案1：

x 甲

=x 乙

= 8.5，但S

S <2

甲

乙

，所以选派甲合适.

参考答案2：假设不低于9.0分为高分，则甲的高分率为28

，乙的高分率为38

，所以派乙合适.

参考答案3：假设不低于8.5分为高分，则甲的高分率为38

，

乙的高分率为12

，所以派乙合适.

（本题为开放题，给出任一选派方案并有相应的统计理由给3分，无理由不给分。）…………………………………..3分（Ⅲ）乙不低于8.5分的频率为12

，ξ的可能取值为0、1、2、3.

(3,)

B ξ ，3333

3111()=C

()(1)=C ()222

k k P k ξ-=-，0,1,2,3k =……2分 ξ

∴的分布列为

2分

13313012388882

E ξ=?

+?=. 2分

（注：可用

13322E ξ=?=

.）

20.解(1)

=(2)22

x y +=

.(证明略)

20.（本题满分13分）已知椭圆M ：

2=+

y a

x (a>b>0)的长轴

长为2

=12

有相同的离心率

（1）求椭圆M 的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭

圆M 有两个交点A ，B 且OA OB ⊥

？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在，说明理由。 20.解(1)2

(2)

y +=

.(证明略)3

∈

21．（本小题满分14分）已知函数x x x x f ln )(-=，)

()()(a f x x f x g '-=

，其中)(a f '表示函数

)(x f 在a

x =处的导数，a 为正常数．

（1）求)(x g 的单调区间； (2) 对任意的正实数1

,x x ,且1

x <,证明

21221211()()()()()()x x f x f x f x x x f x ''-<-<-

(3)对任意的n N *

∈,且2n ≥,证明

1111(1)ln 2

ln 3

ln ln 2ln f n n

-++

? .

21.解：（1）x x f ln )('-=，a x x x x x g ln ln )(+-=，

a x a f x f x g ln ln ln )()()(=+-='-'='． …………2分

所以，),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增；

),(∞+∈a x 时，0)('

所以，)(x g 的单调递增区间为],0(a ，单调递减区间为),[∞+a ． …………4分

(2)(法一) 对任意的正实数1

,x x ,且1

x x <, 取1

a x =则2

(,)x x ∈+∞,由(1)得1

()()g x g x > 即1

()()()()()()g x f x x f x f x x f x g x ''=->-=

所以2

()()()()f x f x x x f x '-<- ①…………….6分取2x a =，则),0(21x x ∈，由（1）得)()(2

1x g x g <，即)()()()()()(2

2222111x g x f x x f x f x x f x g ='-<'-=，所以，)()()()(2

1212x f x x x f x f '->- ……②．

综合①②，得

)()()()()()(1

1212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-．……………8分（法2）因为x x f ln )('-=，

所以，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；当),1(∞+∈x 时，0)(<'x f ．

故)(x f 在]1,0(上单调递增，在),1[∞+上单调递减．所以，对任意的正实数21,x x ，且2

1x x <，

有)1(21f x x f

??．……6分

由)1(21f x x f

??，得1ln 1

21212<-x x

x x x x ，即0)ln (ln 12212<---x x x x x ，所以0)ln (ln )()()()(122

<---='---x x x x x x f x x x f x f ．

故)()()()(1

x f x x x f x f '-<-．……①；

由)1(12f x x f

??，同理可证)()()()(21212x f x x x f x f '->-．……②．

综合①②，得

)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-．

………………8分

（3）对2,,2,1-=n k ，令x

k x x k

ln )ln()(+=?

（1>x ），则 2

)

)(ln ()

ln()(ln )

(ln )

ln(ln )('x k x x k x k x x x x x

k x k

x x

x k +++-=

+=?，

显然k x x +<<1，)ln(ln 0k x x +<<，所以)ln()(ln k x k x x x ++<，所以0)('

?，)(x k

?在),1(∞+上单调递减．

由2≥-k n ，得)

2()(k k

k n ??

≤-，即

ln )2ln()

ln(ln k k n n +≤

-．

所以)ln()2ln(ln 2ln k n k n -+≤，2,,2,1-=n k ． ………10分所以 1111111112()()()()ln 2

ln 3

ln ln 2

ln ln 3

ln(1)

ln ln 2

n n

+++=++++++-

ln ln 2ln(1)ln 3ln 2ln =

ln ln 2

ln 3ln(1)

ln ln 2

n n n n n n +-+++

- ln ln 2ln(1)ln 3ln 2ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln n n n n

+-++≤+++

ln 2ln 3ln 2(

)ln 2ln n

+++= (12)

分

又由（2）知n n f n f n f ln )(')()1(-=<-+，所以)1()(ln +-

)1()()3()2()2()1(ln 2ln 1ln +-++-+-<+++n f n f f f f f n

)1(1)1()1(+-=+-=n f n f f ．

所以，

n f n

ln 2ln )1(1ln 2ln ln 3ln 2ln ln 13

ln 12

ln 1+-<

+++≤

……14分

一. 选择题

,ABCDB CDDDB

二. 填空题 11.

62)π

+; 12.4; 13.π; 14.6

; 15.4;[1-