高中数学基本初等函数图形及其性质

高中基本初等函数图形及其性质

基本初等函数为以下五类函数：

(1) 指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；

1.当μ为正整数时，函数的定义域为区间 ，他们的图形都经过原点，并当μ>1时在原点处与x 轴相切。且μ为奇数时，图形关于原点对称；μ为偶数时图形关于y 轴对称；

2.当μ为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。

3.当μ为正有理数m n

时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1).

如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称.

4.当μ为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数.

(2) 对数函数

x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；

1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)

2. 当a >1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1,)+∞,y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a <1在实用中很少用到.

(3) 幂函数 ,y x μμ=是常数；

1.当μ为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当μ>1时在原点处与x 轴相切。且μ为奇数时，图形关于原点对称；μ为偶数时图形关于y 轴对称；

2.当μ为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。

3.当μ为正有理数m n

时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1).

如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称.

4.当μ为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数.

(4) 三角函数

正弦函数 x y sin =

1.定义域：R ；

2.值域：[-1,1].

3.单调性：在区间[2,2]()22

k k k Z ππππ-++∈内，函数单调递增； 在区间3[2,2]()22

k k k Z ππππ++∈()k Z ∈内，函数单调递减； 4.对称性：对称轴2x k ππ=+

，对称中心(,0),k k Z π∈.

5.周期性：2T π=；

6.奇偶性：由sin()sin x x -=-知，正弦函数是奇函数；

余弦函数 x y cos =

1.定义域：R.

2.值域：[-1,1].

3.单调性：在区间[]2,2()k k k Z πππ-∈内，函数单调递增；

在区间[]2,2()k k k Z πππ+∈内，函数单调递减；

4.对称性：对称轴x k π=，对称中心(,0),2k k Z ππ+

∈.

5.周期性：π=T ；

6.奇偶性：由cos()cos x x -=知，余弦函数是偶函数； 正切函数 x y tan =

1.定义域：?

?????∈+≠z k k x x ,2|ππ； 2.值域：R

3.单调性：在开区间z k k k ∈??

? ??++-ππππ2,2内，函数单调递增。

4.对称性：对称中心：(

,0),2

k k Z π∈，没有对称轴. 5.周期性：π=T ； 6.奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；

余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；

(5) 反三角函数

反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，

]2,2[ππ-∈y ，

反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，

反正切函数 x y arctan =，

),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，

反余切函数 x y cot arc =，

),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．