《1.3.2函数的极值与导数》教学案1

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《1.3.2函数的极值与导数》教学案1

一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进

一步体验导数的作用.

二、教学重点：求函数的极值.

教学难点：严格套用求极值的步骤.

三、教学过程：

（一）函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线

a 点的函数值f (a )比它临近点的函数值都大．

b 点的函数值f (b )比它临近点的函数值都小．

2、观察函数 f (x )＝2x 3－6x 2＋7的图象，

思考：函数y ＝f (x )在点x ＝0，x ＝2处的函数值，与它们附近所有各点 处的函数值，比较有什么特点?

（1）函数在x ＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大， 我们说 f (0) 是函数的一个极大值；

（2）函数在x ＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小， 则f (2)是函数的一个极小值．

函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．

函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )． 3、极值的概念：

一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜ f (x 0) 我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作 y 极大值＝f (x 0)；

如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)

我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)． 极大值与极小值统称为极值． 4、观察下图中的曲线

考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．

f

)＞0

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上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，

极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正． 函数的极值点x i 是区间[a , b ]内部的点，区间的端点不能成为极值点．

函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．

函数在[a , b ]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．

5、利用导数判别函数的极大（小）值：

一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是： ⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值； ⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值； 思考：导数为0的点是否一定是极值点？

导数为0的点不一定是极值点．

如函数f (x )＝x 3，x ＝0点处的导数是0，但它不是极值点．

.

)()()()()()('个内存在极小值点，在开区间图像如图，则函数内的函数

，在，导函数，的定义域为开区间函数b a x f b a x f b a x f

例1求函数3

144.3

y x x =

-+的极值 解：y '＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令 y '＝0，解得 x 1＝－2，x 2＝2． 当