图论基础

图论基础
图论基础

1、略

2、计算有向无圈图的根

输入一个有向无圈图DAG,计算和输出DAG的根r(即r到其他任何顶点都有一条路。若图中没有根,则输出“not found”)。

输入:顶点数n和边数e;以下为e行,每行为一条有向边的两个端点

输出:根r或者“not found”

算法分析

const mx=100;{顶点数的上限}

var

n,e,i,j,k,a,b:integer;{ 顶点数n、边数e}

g:array[1..mx,1..mx]of boolean;{传递闭包}

bn:boolean;{根存在标志}

1、输入信息,计算传递闭包

readln(n,e);{输入顶点数和边数}

fillchar(g,sizeof(g),0);{ 有向无圈图初始化}

for i:=1 to e do{输入信息,构造传递闭包的初始值}

begin readln(a,b);g[a,b]:=true end;

for k:=1 to n do{计算传递闭包}

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if g[i,j] or g[i,k] and g[k,j]then g[i,j]:=true;

2、计算DAG的根

然后枚举每一个顶点。根据传递闭包的信息,若当前顶点至其它所有顶点有路,则判定该顶点即为根。若没有一个顶点可作为DAG的根,则输出失败信息

for i:=1 to n do{枚举每一个可能的根}

begin

bn:=true;{设定I至其他所有顶点有路的标志}

for j:=1 to n do{若I至任一个顶点无路,则返回bn为false}

if (i<>j) and not g[i,j]

then begin bn:=false; break end;

if bn then break{若I至其他所有顶点有路,则输出根i}

end;

if bn then writeln(i)

else writeln('not found'){若不存在根,则输出失败信息}

3、寻找满足条件的连通分支

输入一张顶点带权的无向图,分别计算含顶点数最多的一个连通分支和顶点的权之和最大的一个连通分支。

输入:n(顶点数,1<=n<=20)

以下n行,依次表示顶点1 ~ 顶点n上的权;

e(边数,1<=e<=210)

以下e行,每行为有边连接的一对顶点。

输出:两行,一行为含顶点数最多的一个连通分支,一行为顶点的权之和最大的一个连通分支,输出时按顶点编号从小到大输出。

[问题分析]

通过longlink计算出每个顶点所在的连通分支,然后在所有可能的连通分支中找出满足条件的解。至于计算连通分支的顶点方案也不难,只要分别从连通分支中任选一个代表顶点,由此出发,通过深度优先搜索即可得到顶点方案。设

best,besti—含顶点数最多的连通分支中的顶点数和代表顶点;

max,maxk——顶点的权和最大的连通分支的顶点权和和代表顶点

计算best,besti,max,maxk的过程如下:

1、读入无向图的信息;

2、计算传递闭包longlink;

3、穷举每一个顶点

for I:=1 to n do

begin

k:=0;s:=0

for j:=1 to n do{计算顶点i所在连通分支中的顶点总数k和顶点的权之和s} if longlink[i,j] then begin

inc(k);

inc(s,顶点j的权)

end;

if k>best then begin best:=k;besti:=I end;

{若k为目前最大,则记入best,i 作为代表顶点记入besti}

if s>max then begin max:=s;maxk:=I end;

{若s为目前最大,则记入max,i 作为代表顶点记入maxk} if k=n then break; {若整个图是连通图,则退出}

end;

4、dfs(besti); {从代表顶点besti出发,深度优先搜索含顶点数最多的连通分支}

5、dfs(maxk); {从代表顶点maxk出发,深度优先搜索顶点的权之和最大的连通分支}

显然,以上算法的时间复杂度为O(n*n)。

[参考程序]

program ex3;

const maxn=20;

var

w:array[1..maxn] of longint;

link,longlink:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;

out:array[1..maxn] of boolean;

n,e,i,j,k,s,x,y,best,besti,max,maxk:longint;

procedure dfs(k:longint);

var i:longint;

begin

for i:=1 to n do

if (longlink[k,i])and(not out[i]) then

begin

out[i]:=true;

dfs(i);

end;

end;

begin

read(n);

for i:=1 to n do read(w[i]);

read(e);

fillchar(link,sizeof(link),false);

for i:=1 to e do

begin

read(x,y);

link[x,y]:=true;

link[y,x]:=true;

end;

longlink:=link;

for k:=1 to n do

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

longlink[i,j]:=longlink[i,j] or longlink[i,k] and longlink[k,j]; best:=1; besti:=1;

max:=w[1]; maxk:=1;

for i:=1 to n do

begin

k:=0;s:=0;

for j:=1 to n do

if longlink[i,j] then

begin

inc(k);

inc(s,w[i])

end;

if k>best then begin best:=k;besti:=i; end; if s>max then begin max:=s;maxk:=i; end;

if k=n then break;

end;

fillchar(out,sizeof(out),false);

out[besti]:=true;

dfs(besti);

for i:=1 to n do

if out[i] then write(i,' ');

writeln;

fillchar(out,sizeof(out),false);

out[maxk]:=true;

dfs(maxk);

for i:=1 to n do

if out[i] then write(i,' ');

writeln;

end.

输入:5

3

4

5

8

10

5

1 2

1 3

2 5

3 4

4 5

输出:1 2 5

3 4 5

4、计算DAG中的最长路

输入一个有向无圈图DAG,计算和输出DAG中最长路的长度

输入:顶点数n和边数e;以下为e行,每行为一条有向边的两个端点和边权

输出:最长路的长度

算法分析

const

max=100;{顶点数的上限}

maxint=10000;

var

n,e,i,j,k,a,b,ans:integer;{顶点数n、边数e }

g:array[1..max,1..max]of integer;{g[I,j]为顶点I至顶点j的路径长度}

1、输入有向无圈图的信息

首先输入有向无圈图的信息。若顶点I至顶点j有边,则g[I,j]设为w

ij

;否则g[I,j]设为-∞。

readln(n,e);{输入输入顶点数和边数}

fillchar(g,sizeof(g),0);{最长路径长度矩阵初始化

for i:=1 to e do{输入边信息,构造最长路径长度矩阵的初始值}

begin readln(a,b, w

ab ); g[a,b]:= w

ab

end;

for i:=1 to n do{将最长路径长度矩阵中无边的元素设为-∞}

for j:=1 to n do

if (i<>j)and(g[i,j]=0) then g[i,j]:=-maxint;

2、按照计算传递闭包的思想计算每一对顶点间的最长路,找出最长路径长度

for k:=1 to n do{计算最长路径长度矩阵}

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if g[i,k]+g[k,j]>g[i,j]

then g[i,j]:=g[i,k]+g[k,j];

ans:=0;{ 最长路径长度初始化}

for i:=1 to n do{枚举所有可能的顶点对,将其中的最大g值找出来}

for j:=1 to n do

if g[i,j]>ans then ans:=g[i,j];{调整最长路径长度}

writeln(ans){输出最长路径长度}

5、计算带权有向图的中心

输入一个带权有向图G ,计算和输出G 的中心v(v 是G 的一个顶点,v 的偏心距定义为

输入:顶点数n 和边数e ;以下为e 行,每行为一条有向边的两个端点和边权

输出:G 的中心v

算法分析

const mx=100;

var

n,e,i,j,k,a,b,ans:integer;{ 顶点数为n ,边数为e ,中心为ans}

w,bt,b0:real;{bt 为所有顶点偏心距的最小值,b0为当前顶点的偏心距}

g:array[1..mx,1..mx]of real;{最短路长矩阵。初始时

g[i,i]=0,g[I,j]=

计算后,g[i,j]存储顶点I 至顶点j 的最短路长}

1、 输入信息,构造最短路长矩阵g

readln(n,e);{输入顶点数和边数}

for i:=1 to n do{输入信息,构造最短路长矩阵g 的初始值}

for j:=1 to n do

if i<>j then g[i,j]:=maxint

else g[i,j]:=0;

for i:=1 to e do

begin readln(a,b,w);g[a,b]:=w;end;

for k:=1 to n do{计算任一对顶点间的最短路长}

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

ifg[i,k]+g[k,j]

2、 计算图的中心

依次计算每一个顶点i 的偏心距b0。每计算一个顶点的偏心距b0,调整所有顶点偏心距的最小值和图的中心(即顶点I 的偏心距b0小于所有顶点偏心距的最小值bt ,则bt 设为b0,图的中心ans 设为i )。依次类推,直至所有顶点的偏心距计算完为止。此时的ans 即为问题的解

bt:=maxint; ans:=0;{所有顶点偏心距的最小值和图的中心初始化}

for i:=1 to n do

begin }{max 的最短路长到从v w V w )

的中心为中偏心距最小的顶点称G G

b0:=0;{顶点I的偏心距初始化}

for j:=1 to n do if g[i,j]>b0 then b0:=g[i,j];{计算顶点I的偏心距}

if b0

then begin bt:=b0; ans:=i end

end;

writeln(ans){输出图的中心}

6、snow

问题描述:

随着白天越来越短夜晚越来越长,我们不得不考虑铲雪问题了。整个城市所有的道路都是双车道,因为城市预算的削减,整个城市只有1辆铲雪车。铲雪车只能把它开过的地方(车道)的雪铲干净,无论哪儿有雪,铲雪车都得从停放的地方出发,游历整个城市的街道。现在的问题是:最少要花多少时间去铲掉所有道路上的雪呢?

输入:

输入数据的第1行表示铲雪车的停放坐标(x,y),x,y为整数,单位为米。下面最多有100行,每行给出了一条街道的起点坐标和终点坐标,所有街道都是笔直的,且都是双向一个车道。铲雪车可以在任意交叉口、或任何街道的末尾任意转向,包括转U型弯。铲雪车铲雪时前进速度为20 km/h,不铲雪时前进速度为50 km/h。

保证:铲雪车从起点一定可以到达任何街道。

输出:

铲掉所有街道上的雪并且返回出发点的最短时间,精确到分种。

输入样例:

1

0 0

0 0 10000 10000

5000 -10000 5000 10000

5000 10000 10000 10000

输出样例:

3:55

注解:3小时55分钟

[问题分析]

把一条路拆分成两条路,每一个点都是偶点了,所以这个图一定存在一条

欧拉回路,这不正是题目所要求的吗?

见:snow.pas;

[参考程序]

program snow;

var ppp,pp,h,m:longint;

x1,y1,x2,y2,ans:real;

begin

assign(input,'snow.in');

assign(output,'snow.out');

reset(input);

rewrite(output);

readln(ppp);{ppp为计算组数}

readln;

for pp:=1 to ppp do

begin

if pp>1 then writeln;

readln(x1,y1);

ans:=0;

while not(eoln) do

begin

readln(x1,y1,x2,y2);

ans:=ans+sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2));{距离公式累加} end;

readln;

ans:=ans*2/1000/20;{单位转化}

h:=trunc(ans); m:=round(60*(ans-h));

if m=60 then begin m:=0; inc(h) end;

write(h,':');

if m<10 then write(0); writeln(m);

end;

close(output);

close(input);

end.

7、略

图论基础

1、略 2、计算有向无圈图的根 输入一个有向无圈图DAG,计算和输出DAG的根r(即r到其他任何顶点都有一条路。若图中没有根,则输出“not found”)。 输入:顶点数n和边数e;以下为e行,每行为一条有向边的两个端点 输出:根r或者“not found” 算法分析 设 const mx=100;{顶点数的上限} var n,e,i,j,k,a,b:integer;{ 顶点数n、边数e} g:array[1..mx,1..mx]of boolean;{传递闭包} bn:boolean;{根存在标志} 1、输入信息,计算传递闭包 readln(n,e);{输入顶点数和边数} fillchar(g,sizeof(g),0);{ 有向无圈图初始化} for i:=1 to e do{输入信息,构造传递闭包的初始值} begin readln(a,b);g[a,b]:=true end; for k:=1 to n do{计算传递闭包} for i:=1 to n do for j:=1 to n do if g[i,j] or g[i,k] and g[k,j]then g[i,j]:=true; 2、计算DAG的根 然后枚举每一个顶点。根据传递闭包的信息,若当前顶点至其它所有顶点有路,则判定该顶点即为根。若没有一个顶点可作为DAG的根,则输出失败信息 for i:=1 to n do{枚举每一个可能的根} begin bn:=true;{设定I至其他所有顶点有路的标志} for j:=1 to n do{若I至任一个顶点无路,则返回bn为false} if (i<>j) and not g[i,j] then begin bn:=false; break end; if bn then break{若I至其他所有顶点有路,则输出根i} end; if bn then writeln(i) else writeln('not found'){若不存在根,则输出失败信息}

离散数学的基础知识点总结

离散数学的基础知识点总结 第一章命题逻辑 1.前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假;2?主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~2n-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第二章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含T,存在量词用合取“; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词;

第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幕集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幕集P(A)有2°个元素,|P(A)|= 2|A|= 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔AXB的基数为mn , A到B上可以定义2mn种不同的关系; 2.若集合A有n个元素,则|A X\|= n2, A上有2n个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全圭寸闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x组成的集合;

数学建模入门基本知识

数学建模知识 ——之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义,因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义:“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说,数学模型就是为了某种目的,用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明: 数学是在实际应用的需求中产生的,要解决实际问题就必需建立数学模型,从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如,欧几里德几何就是一个古老的数学模型,牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天,数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透,过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化,数量化,需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起,计算机的普及和广泛应用,数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天。不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析

复杂网络基础2(M.Chang)

复杂网络基础理论 第二章网络拓扑结构与静态特征

第二章网络拓扑结构与静态特征 l2.1 引言 l2.2 网络的基本静态几何特征 l2.3 无向网络的静态特征 l2.4 有向网络的静态特征 l2.5 加权网络的静态特征 l2.6 网络的其他静态特征 l2.7 复杂网络分析软件 2

2.1 引言 与图论的研究有所不同,复杂网络的研究更侧重 于从各种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何 量,并用这些一般性质指导更多实际网络的研究,进 而通过讨论实际网络上的具体现象发展网络模型的一 般方法,最后讨论网络本身的形成机制。 统计物理学在模型研究、演化机制与结构稳定性 方面的丰富的研究经验是统计物理学在复杂网络研究 领域得到广泛应用的原因;而图论与社会网络分析提 供的网络静态几何量及其分析方法是复杂网络研究的 基础。 3

2.1 引言 静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观 统计平均值。 在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结 。由于有向网络与加权网络有其特有的特征量,我们 将分开讨论无向、有向与加权网络。 4 返回目录

2.2 网络的基本静态几何特征 ¢2.2.1 平均距离 ¢2.2.2 集聚系数 ¢2.2.3 度分布 ¢2.2.4 实际网络的统计特征 5

2.2.1 平均距离 1.网络的直径与平均距离 网络中的两节点v i和v j之间经历边数最少的一条简 单路径(经历的边各不相同),称为测地线。 测地线的边数d ij称为两节点v i和v j之间的距离(或 叫测地线距离)。 1/d ij称为节点v i和v j之间的效率,记为εij。通常 效率用来度量节点间的信息传递速度。当v i和v j之间没 有路径连通时,d ij=∞,而εij=0,所以效率更适合度 量非全通网络。 网络的直径D定义为所有距离d ij中的最大值 6

图论应用案例

题目:最小生成树在城市交通建设中的应用 姓名: 学号: 指导老师: 专业:机械工程 2014年3月16

目录 摘要..................................................................................... 错误!未定义书签。 1 绪论 (1) 2 有关最小生成树的概念 (2) 3 prim算法介绍 (3) 4 系统设计及其应用 (5) 一、系统设计 (5) 二、最小生成树应用 (8) 5 总结 (11) 参考文献 (12) 附件: (13)

最小生成树在城市交通建设中的应用 摘要:连通图广泛应用于交通建设,求连通图的最小生成树是最主要的应用。比如要在n个城市间建立通信联络网,要考虑的是如何保证n点连通的前提下最节省经费,就应用到了最小生成树。 求图的最小生成树有两种算法,一种是Prim(普里姆)算法,另一种是Kruskal(克鲁斯卡尔)算法。 本文通过将城市各地点转换成连通图,再将连通图转换成邻接矩阵。在Microsoft Visual C++上,通过输入结点和权值,用普里姆算法获得权值最小边来得到最小生成树,从而在保证各个地点之间能连通的情况下节省所需费用。 本文从分析课题的题目背景、题目意义、题目要求等出发,分别从需求分析、总体设计、详细设计、测试等各个方面详细介绍了系统的设计与实现过程,最后对系统的完成情况进行了总结。 关键字:PRIM算法、最小生成树、邻接矩阵、交通建设

Abstract Connected graph is widely applied in traffic construction, connected graph of minimum spanning tree is the main application.Such as to establish a communication network between the n city, want to consider is how to ensure n points connected under the premise of the most save money, apply to the minimum spanning tree. O figure there are two kinds of minimum spanning tree algorithm, one kind is Prim (she) algorithm, the other is a Kruskal algorithm (Kruskal). In this article, through the city around point into a connected graph, then connected graph is transformed into adjacency matrix.On Microsoft Visual c + +, through the input nodes and the weights, gain weight minimum edge using she algorithm to get minimum spanning tree, which in the case of guarantee every location between connected to save costs. Based on the analysis topic subject background, significance, subject requirements, etc, from requirements analysis, general design, detailed design, testing, and other aspects detailed introduces the system design and implementation process, finally the completion of the system are summarized. Key words: PRIM algorithm, minimum spanning tree, adjacency matrix, traffic construction

图论总结(超强大)78408

1.图论Graph Theory 1.1.定义与术语Definition and Glossary 1.1.1.图与网络Graph and Network 1.1. 2.图的术语Glossary of Graph 1.1.3.路径与回路Path and Cycle 1.1.4.连通性Connectivity 1.1.5.图论中特殊的集合Sets in graph 1.1.6.匹配Matching 1.1.7.树Tree 1.1.8.组合优化Combinatorial optimization 1.2.图的表示Expressions of graph 1.2.1.邻接矩阵Adjacency matrix 1.2.2.关联矩阵Incidence matrix 1.2.3.邻接表Adjacency list 1.2.4.弧表Arc list 1.2.5.星形表示Star 1.3.图的遍历Traveling in graph 1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS) 1.3.1.1.概念 1.3.1. 2.求无向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph 1.3. 2.广度优先搜索Breadth first search (BFS) 1.4.拓扑排序Topological sort 1.5.路径与回路Paths and circuits 1.5.1.欧拉路径或回路Eulerian path 1.5.1.1.无向图 1.5.1. 2.有向图 1.5.1.3.混合图

1.5.1.4.无权图Unweighted 1.5.1.5.有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem 1.5. 2.Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路 1.5. 2.1.无权图Unweighted 1.5. 2.2.有权图Weighed —旅行商问题The travelling salesman problem 1.6.网络优化Network optimization 1.6.1.最小生成树Minimum spanning trees 1.6.1.1.基本算法Basic algorithms 1.6.1.1.1.Prim 1.6.1.1. 2.Kruskal 1.6.1.1.3.Sollin(Boruvka) 1.6.1. 2.扩展模型Extended models 1.6.1. 2.1.度限制生成树Minimum degree-bounded spanning trees 1.6.1. 2.2.k小生成树The k minimum spanning tree problem(k-MST) 1.6. 2.最短路Shortest paths 1.6. 2.1.单源最短路Single-source shortest paths 1.6. 2.1.1.基本算法Basic algorithms 1.6. 2.1.1.1.Dijkstra 1.6. 2.1.1.2.Bellman-Ford 1.6. 2.1.1.2.1.Shortest path faster algorithm(SPFA) 1.6. 2.1.2.应用Applications 1.6. 2.1.2.1.差分约束系统System of difference constraints 1.6. 2.1.2.2.有向无环图上的最短路Shortest paths in DAG 1.6. 2.2.所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths 1.6. 2.2.1.基本算法Basic algorithms 1.6. 2.2.1.1.Floyd-Warshall 1.6. 2.2.1.2.Johnson

图论基础知识

图论基本知识 对于网络的研究,最早是从数学家开始的,其基本的理论就是图 论,它也是目前组合数学领域最活跃的分支。我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络,无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台,而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。图论,尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生,我在此专辟一章介绍图论的基本知识,同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。进一步研究所需要的更深入的图论知识,请参考相关文献[1-5]。 本章只给出非平凡的定理的证明,过于简单直观的定理的证明将 留给读者。个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明,我们将列出相关参考文献并略去证明过程。对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章,不影响整体阅读。 图的基本概念 图G 是指两个集合(V ,E),其中集合E 是集合V×V 的一个子集。 集合V 称为图的顶点集,往往被用来代表实际系统中的个体,集合E 被称为图的边集,多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。若{,}x y E ,就称图G 中有一条从x 到y 的弧(有向边),记为x→

y ,其中顶点x 叫做弧的起点,顶点y 叫做弧的终点。根据定义,从任意顶点x 到y 至多只有一条弧,这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用,我们总是乐意在多个图中分别表示,从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。如果再假设图G 中不含自己到自己的弧,我们就称图G 为简单图,或者更精确地叫做有向简单图。以后如果没有特殊的说明,所有出现的图都是简单图。记G 中顶点数为()||G V ν=,边数为()||G E ε=,分别叫做图G 的阶和规模,显然有()()(()1)G G G ενν≤-。图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图,及其表示为顶点集和边集的形式。 图2.1:网络拓扑结构示意图。图a 是10阶有向图,顶点集为 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},边集为{1→2,1→3,1→4,2→5,2→6,2→7,3→6,4→7,4→8,6→9,7→9,8→10};图b 是6阶无向图,顶点集为{1,2,3,4,5,6},边集为{13,14,15,23,24,26,36,56}。 从定义中可以看到,从任意顶点x 到y 不能连接两条或以上 边,本文所讨论的图,均符合上述要求,既均为不含多重边的图。如

图论在交叉学科中的应用

数学科学学院 课程名称图论导引 题目图论在交叉学科中的应用姓名闫二路 学号 A01014134 专业数学与应用数学 授课老师汪毅

图论在交叉学科中的应用 [摘要]利用图论知识可以解决一些交叉学科中的实际问题。对于更好地理解问题,思考问题从而求解问题具有现实意义。图论知识的应用是相当广泛的,它是数学的重要分支,使今年来较为活跃的数学分支,它是源于生活,高于生活。图论作为组合数学的一分支,与其他数学分支,如信息论,矩阵论都有着重要的联系。 [关键字] 树、即时码、hamilton圈、Hamilton路 1.即时码的树图构造法 即时码定义:在唯一可译变长码中,有一类码,它在译码时无须参考后续的码符号就能立即做出判断,译成对应的信源符号,则这类码称为即时码。 树的定义:一个图G若是无圈的且连通,则称图G是树。 为了联系树与即时码的关系我们引入关于判断树的一个定理; 定理1:图G是树当且仅当G的任何两个顶点都被唯一的路连接。 从上述定理1我们可以判断利用树构造的码为即时码,如下图构造的即时码:

从上面我们可以得到码字集合C1={000,001,010,011,100,101,110,111},C2={00,01,02,10,11,12,20,210,211,212,220,221,222} 我们根据即时码的定义可得利用树构造的码都是即时码,我们也知道即时码一定是唯一可译码,因此树图能给我们带来比较方便的方法来构造即时码。 问题求解反思:我们从即时码的树图构造法中,我们得到:使用图论中的树我们能很容易得到信息论中即时码的一种构造方法,这里利用了交叉学科相互结合的思想,利用图我们能更好的理解一些实际问题,有利于我们的理解,从这个方面我们能得出图论在其他学科有着很重要的联系,有利于实际问题更好的解决。 2.Hamilton图的应用 Hamilton图的定义:一个含图G的每个顶点的圈称为是G的Hamilton 圈,这个含有Hamilton圈的图称为是一个Hamilton图。 Hamilton圈在现实中有着广泛的应用,当我们给出一个实际问题时,我们应该怎样Hamilton图来解决实际问题,这需要我们从联系实际

1040 【图论基础】求连通子图的个数 1041 【图论基础】求最小生成树(prim)

【图论基础】求连通子图的个数 Time Limit:10000MS Memory Limit:65536K Total Submit:42 Accepted:30 Description 求一个无向图中连通子图的个数。 Input 第一行一个数n,表示无向图的顶点的数量(n<=5000),接下来从第2行到第n+1行,每行有n个数(1表示相应点有直接通路,0表示无直接通路),形成一个n*n的矩阵,用以表示这个无向图。示例: Output 输出一个数,表示这个图含有连通子图的个数。 Sample Input 5 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 Sample Output 自己算吧! Source

?var ? i,j,n,ans,x:longint; ? a:array[1..5000,0..5000] of longint; ? b:array[1..5000] of boolean; ?procedure dfs(x:longint); ?var i:longint; ?begin ? b[x]:=false; ? for i:=1 to a[x,0] do if b[a[x,i]] then ? dfs(a[x,i]); ?end; ? ?begin ? readln(n); ? for i:=1 to n do ? for j:=1 to n do begin ? read(x); ? if x=1 then begin ? inc(a[i,0]); a[i,a[i,0]]:=j; ? end; ? end; ? fillchar(b,sizeof(b),true); ? for i:=1 to n do if b[i] then begin ? inc(ans); ? dfs(i); ? end; ? writeln(ans); ?end.

离散数学第七章图的基本概念知识点总结docx

图论部分 第七章、图的基本概念 7.1 无向图及有向图 无向图与有向图 多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: A&B={(x,y) | x∈A∧y∈B} 定义无向图G=, 其中 (1) 顶点集V≠?,元素称为顶点 (2) 边集E为V&V的多重子集,其元素称为无向边,简称边. 例如, G=如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} , 定义有向图D=, 其中 (1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点 (2) 边集E为V?V的多重子集,其元素称为有向边,简称边. 用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作D的基图,右图是有向图,试写出它的V和E 注意:图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的

通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用e k表示无向边或有向边. V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集. n 阶图: n个顶点的图 有限图: V, E都是有穷集合的图 零图: E=? 平凡图: 1 阶零图 空图: V=? 顶点和边的关联与相邻:定义设e k=(v i,v j)是无向图G=的一条边, 称v i,v j 为e k的端点, e k与v i (v j)关联. 若v i ≠v j, 则称e k与v i (v j)的关联次数为1;若v i = v j, 则称e k为环, 此时称e k与v i 的关联次数为2; 若v i不是e k端点, 则称e k与v i 的关联次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点. 定义设无向图G=, v i,v j∈V, e k,e l∈E,若(v i,v j) ∈E, 则称v i,v j相邻; 若e k,e l 至少有一个公共端点, 则称e k,e l相邻. 对有向图有类似定义. 设e k=?v i,v j?是有向图的一条边,又称v i是e k的始点, v j是e k的终点, v i邻接到v j, v j邻接于v i.

电子科技大学研究生图论总结

第一章:图论基本概念 1.定义 平凡图/非平凡图 简单图/复合图 空图 n 阶图 连通图/非连通图 完全图n K 12 n n n m K 偶图,m n K 完全偶图 ,m n m K mn K 正则图 图和补图,自补图 自补图判定方法 定点的度 d v 最小度 最大度 握手定理 2d v m 图的度序列与图序列,图序列判定方法(注意为简单图) 图的频序列 2.图运算 删点/删边 图并/图交/图差/图对称差 图联 积图/合成图111122,u adjv u v u adjv 或 超立方体 3.连通性 途径 迹 路 图G 不连通,其补图连通 一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈 4.最短路算法(b t A T ) 5.矩阵描述 邻接矩阵及其性质,图的特征多项式 关联矩阵 6.极图?? L 补图 完全L 部图 完全L 几乎等部图 托兰定理 第二章:树 1.定义 树:连通的无圈图 森林 树的中心和树的形心? 入<=sqrt(2m(n-1)/n)

生成树 根树 出度 入度 树根 树叶 分支点 m 元根树 完全m 元根树 2.性质 每棵非平凡树至少有两片树叶 图G 是树当且仅当G 中任意两点都被唯一的路连接 T 是(n,m)树,则m = n – 1 具有k 个分支的森林有n-k 条边 每个n 阶连通图边数至少为n-1(树是连通图中边的下界) 每个连通图至少包含 一棵生成树 3.计算 生成树计数 递推计数法: G G e G e 关联矩阵计数法:去一点后,每个非奇异阵对应一棵生成树 最小生成树(边赋权) 避圈法 破圈法 完全m 元树: 11m i t 第三章:图的连通性 1. 割边、割点和块(性质使用反证法) 割边: w G e w G 边e 为割边当且仅当e 不在任何圈中 割点: w G v w G v 是无环连通图G 的一个顶点,v 是G 的割点当且仅当V(G-e)可以被划分为两个子 集,v 在两个子集内点互连的路上 块:没有割点的连通子图 G 顶点数>=3,G 是块当且仅当G 无环且任意两顶点位于同一圈上 v 是割点当且仅当v 至少属于G 的两个不同的块 2. 连通度 点割 k 顶点割 最小点割(最少用几个点把图割成两份) G 的连通度 G 连通图没顶点割时连通度 1G n ,非连通图 0G 边割 k 边割 最小边割(最少用几条边把图割成两份) G 的边连通度 G 递推到无圈,自环不算圈

八年级最短路径归纳小结

八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括: ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点,求最短路径的问题. ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题. ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径. ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径. 【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”. 【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”. 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等. 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.

【精品练习】 1.如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有 一点P ,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为( ) A . B . C .3 D 2.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,若将△ACD 绕点A 旋转,当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ,则△CEF 的周长的最小值为( ) A .2 B .32 C .32+ D .4 3.四边形ABCD 中,∠B =∠D =90°,∠C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N ,使△AMN 的周长最小时, A D E P B C

∠AMN +∠ANM 的度数为( ) A .120° B .130° C .110° D .140° 4.如图,在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值是 . 5.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AB =6,点E 在AB 边上,点D 在BC 边上(不与点B 、C 重合), 且ED =AE ,则线段AE 的取值范围是 . 6.如图,∠AOB =30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上,且OM =1,ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上,则MP +PQ +QN 的最小值是_________.(注“勾股定理”:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即Rt △ABC 中,∠C =90°,则有222AB BC AC =+) 7.如图,三角形△ABC 中,∠OAB =∠AOB =15°,点B 在x 轴的正半轴,坐标为B (36,0). OC 平分∠AOB ,点M 在OC 的延长线上,点N 为边OA 上的点,则MA +MN 的最小值是______. 8.已知A (2,4)、B (4,2).C 在y 轴上,D 在x 轴上,则四边形ABCD 的周长最小值为 , D E A B C

图论类型各题总结-acm

hdu4318 Power transmission 最短路当数据很大的时候的解决办法一道题目的解题全过程记录 最短路解决大数据模拟链表 Power transmission Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others) Total Submission(s): 663 Accepted Submission(s): 231 Problem Description The project West-East power transmission is famous around the world. It transmits the electricity from western areas to east China. There are many nodes in the power system. Each node is connected with several other nodes in the system by cable. Power can be only transmitted between two connected nodes. For each node, it can’t send power to two or more other nodes at the same time. As we have all known, power will be loss during the transmission. Bob is the chief engineer of the project. He wants to build a transmission line which send power from one node to another node and minimize the power loss at the same time. Now he asks you to help him solve the problem. Input There are several test cases. For each test case, the first line contains an integer N (0 < N ≤ 50000) which represents the number of nodes in the power system. Then there will be N groups of data following. For the i-th(0 < i ≤ N) group, the first line is an integer ki (ki ≤ 50), which means the node i is connected with ki nodes. The rest of the i-th group data are divided into ki lines. Each line contains an integer ai (0 < ai ≤ N, ai ≠ i) and an integer bi (0 ≤ bi ≤ 100), which represents power can be transmitted from node i to ai and will loss bi% while transmitting. The last line of input data contains three integers separated by single spaces. The first one is s, the second is t (0 < s, t ≤ N), and the third is the total power M (0 < M ≤ 10^6) at node s. Output For each test case, output the minimum of loss power while transmitting from node s to node t. The result should be printed with two digits to the right of the decimal point. If power cannot be transmitted from node s to node t, output “IMPOSSIBLE!” in a line. Sample Input 4 2

离散数学(图论)课后总结

第八章图论 例1、下面哪些数的序列,可能是一个图的度数序列?如果可能,请试画出它的图. 哪些可能不是简单图?a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4) d) (1,1,1,1,4) e) (1,2, 2,4,5) 解:a)不是, 因为有三个数字是奇数. b) c) d)是. e) 不是简单图,因为它有5个结点, 有一个结点度为5, 必然有环或平行边. 例2、已知无向简单图G中,有10条边,4个3度结点,其余结点的度均小于或等于2,问G中至少有多少个结点?为什么? 解:已知边数|E|=10, ∑deg(v)=2|E|=20其中有4个3度结点, 余下结点度之和为: 20-3×4=8 因为G是简单图, 其余每个结点度数≤2, 所以至少还有4个结点.所以G中至少有8个结点. 强连通、单侧连通和弱连通 在简单有向图G中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通. 在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图. 具有弱连通的最大子图,称为弱分图. 注:我每次都会被各种分图弄糊涂!!考试时要注意啊,千万不要错了 利用可达性矩阵求强分图,注意初等矩阵变换的知识不要忘了!! 令图G=, 集合Si V Si’=V-Si , 令|V|=n Si={u|从u0到u的最短路已求出} Si’={u’|从u0到u’的最短路未求出} Dijkstra算法:(求从u0到各点u的最短路长) 第一步. 置初值: d(u0,u0)=0 d(u0,v)=∞(其中v≠u0) i=0 S0={u0} S0’=V-S0 , 第二步.若i=n-1 则停. 否则转第三步 第三步. 对每个u’∈Si’ 计算d(u0,u’)=min{d(u0,u’), d(u0,ui)+c(ui,u’)} ui ∈Si计算min{d(u0,u’)}u’∈S i’并用ui+1记下达到该最小值的那个结点u’ 置Si+1 =Si∪{ui+1} i=i+1 Si’=V-Si , 转第二步. 例3、求最短路 解:例.求右图中从v1到v6的 最短路 1.置初值: u0=v1 d(u0,u0)=0 d(u0,v2)=d(u0,v3)=d(u0,v4)=d(u0,v5)=d(u0,v6)=∞ 2.3. i=0 S0={v1} S0’={v2,v3,v4,v5,v6} d(u0,v2)=min{d(u0,v2), d(u0,u0)+c(u0,v2)}=min{∞,0+3}=3 d(u0,v3)=min{d(u0,v3),d(u0,u0)+c(u0,v3)}=min{∞,0+∞}=∞ d(u0,v4)=min{d(u0,v4), d(u0,u0)+c(u0,v4)}=min{∞,0+5}=5

图论及其应用总结归纳第三章答案(电子科大)

精心整理 2019年-9月 习题三: ?证明:是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2,使对任意 及, G 中的路 必含. 证明:充分性 : 是 的割边,故 至少含有两个连通分支,设 是其中一个连通分支的顶点 集,是其余分支的顶点集,对1,u V v ?∈?∈ 以在每一条 路上,中的 必含。 必要性:取12,u V v V ∈∈, 由假设中所有从而在中不存在从与到的路, 这表明不连通,所以e 是割边。 ?3.设G 是阶大于2(1) G 是块 (2) G (3) G 是块,任取的一点,一边,在 ,使得成为两条边,由此得到新图 ,显然 的块,由定理, 中u 与边都位于同一个 圈上。 : 的点u ,边e ,若在上,则三个 不在 上,由定理,的两点在同一个闭路上, 在边插入一个点v ,由此得到新图,显然 的是阶数大于3的块,则两条边的三个不同点在 同一条路上。 : 连通,若不是块,则中存在着割点,划分为不同的子集块,,, 无环,12,x v y v ∈∈, 点在每一条 的路上,则与已知矛盾,是块。

精心整理 2019年-9月 ?7.证明:若v 是简单图G 的一个割点,则v 不是补图的割点。 证明: 是单图 的割点,则 有两个连通分支。现任取 , 如果 不在的同一分支中,令是与处于不同分支的点,那么,与在 的补图中连通。若 在 的 同一分支中,则它们在 的补图中邻接。所以,若是的割点,则不是补图的割点。 ?12.对图3——20给出的图G1和G2,求其连通度和边连通度,给出相应的最小点割和最小边割。 解:()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{(6,5),(8,5)} ()25G κ= 最小点割{6,7,8,9,10} 2()5G λ= 最小边割{(2,7)…(1,6)} ?13.设H 是连通图G 解: 通常 . 整个图为,割点左边的图为的的子图, ,则 .

离散数学基本知识

离散数学基本知识 01 什么是“数据结构”? 这里我就不说那些“官方的定义”,简单谈谈自己的理解吧。 数据结构是一种抽象的封装。 好像还是有点绕脑,不过没关系,我们继续往下看。 说简单点就是,把一堆基本的数据,按照某种顺序给揉成一坨。 相信大家都吃过饭吧? 做一道菜需要放各种调料,如盐、味精,还有肉等,把它们混在一起就做成了一道菜。 口水鸡是我最喜欢的一道菜,这里我们就以口水鸡为例,来讲一讲什么是数据结构。下图是百度百科中口水鸡的做法。

好,下面我就用程序来表示一下,我写的是伪码,大家能懂就好哈。先来抽象一下“口水鸡”:

对,上述这个结构体就是一个自定义的数据结构,将很多种不同的东西融合在一起;而计算机中的数据结构,则是把一些基本的数据类型,如int、double等融合成一些复杂的数据结构,如map、队列。 抽象完口水鸡再来抽象“你”吧: 然后再来抽象一下“厨师”:

这里的抽象有点随意,不过大家理解就好,我们把一堆很基本的元素抽象成了3个数据结构,这三个元素就是所谓的数据结构。 而平时我们说的链表无非就是把一些基本元素和指针做了融合,树、图也是把指针和一些基本元素融合后再外加一些流程,如函数。 比如python的dict,dict的key,value就是两种相同或者不同的数据类型;dict还提供了一些函数,譬如get(),set()。dict就是一个典型的被封装的数据结构。 所以我说数据结构是一种抽象的封装,当然,数据结构并没有我们举的例子那样简单,但是原理是一样的。 我们平时写程序都是直接去调用这些数据结构,而没有去想它们的内部实现是怎样的。数据结构这门课就是要告诉我们常见的数据结构是如何实现的,比如Vector,map的实现。我们常常听到的譬如平衡二叉树,红黑树,大顶堆等词汇就是出自数据结构这门课。具体了解数据结构后,我们就可以知道队列的内部实现是什么样,词典的内部实现又是什么样。

相关文档
最新文档