函数图形的凹向与拐点
§5.5 函数图形的凹向与拐点
教学目的与要求
1.掌握函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法；
2.能利用导数描绘函数图形. 教学重点与难点
凹凸性与拐点，用凹凸性证明不等式
（一）、复习
1.函数极值的概念和必要条件，极值存在的第一、第二充分条件；
2.函数的最大值和最小值方法. 作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征．同是在区间],[b a 上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3—6中ACB 与ADB 同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形
（二）、新课
一、函数的凸凹及其片判别法
如图3—6可以看出，曲线ACB 是向上弯
曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线ADB 是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义．
定义１ 如果在某区间内，曲线)(x f y =上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线)(x f y =在此区间内是凸的；如果在某区
间内，曲线)(x f y =上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线)(x f y =在此区间内是凹的．
从图3—6还可以进一步看出，当曲线)(x f y =凸时，其切线斜率)(x f '是单调减少的，因而0)(<''x f ；当曲线凹时，其切线斜率)(x f '是单调增加的，因而
0)(>''x f ，这说明曲线的凸凹性可由函数)(x f 的二阶导数的符号确定．
定理１ 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内具有二阶导数，则： （１） 若在),(b a 内，0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的．
（２） 若在),(b a 内，0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的．
二、拐点及其求法
定义２ 曲线)(x f y =上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点．
由拐点的定义和定理１知，使0)(=''x f 的点及)(x f ''不存在的点可能是拐点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定．
定理２ 设)(x f y =在),?(0δx
N 内有二阶导数，则 （１） 若)(x f ''在),(00x x δ-与),(00δ+x x 内异号，则点))(,(00x f x 为曲线
)(x f y =的拐点．
（２） 若)(x f ''在),(00x x δ-与),(00δ+x x 内同号，则点))(,(00x f x 不是曲线)(x f y =的拐点．
例１ 求函数32)2()(x x x f -=的凸凹区间及拐点．
解 31
32
3435)(--='x x x f ， 334
319)
25(294910)(x
x x x x x f +=+=''--．
令0)(=''x f 得52-=x ；而0=x 为)(x f ''不存在的点．用0,5
2
=-=x x 将定义
区间),(∞+-∞分成三个部分区间（见下表）．
由表可知，曲线)(x f 的凸区间是)52,(--∞，凹区间是)0,5
2
(-, ),0(∞+；
点)25
4
512,52(3--是拐点．
例２ 讨论函数2
11
)(x
x f +=
的凸凹性及拐点． 解 函数)(x f 的定义域为),(∞+-∞，对函数求导得
22)
1(2)(x x x f +-='， 4222)1(2)1(22)1(2)(x x x x x x f +?+??++-=''3
22)1()
13(2x x +-=； 由0)(=''x f 得，3
1-
=x ，3
1=
x ．用这两点把定义域分成三个部分区间(见
下表)．由下表可知，曲线)(x f 的凸区间是)3
1,3
1(-
，凹区间是)3
1,(--∞和
),3
1(+∞，点)43,31(-
和点)43
,31(是拐点．
三、曲线的渐近线
有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围
之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线．
定义 3 若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．
（一）水平渐近线
若函数)(x f y =的定义域是无限区间，且有a x f x =∞
→)(lim （或a x f x =+∞
→)(lim ，
a x f x =-∞
→)(lim ），则直线a y =称为曲线)(x f y =的水平渐近线．
例３ 对于曲线x x f arctan )(=，由于2
arctan lim π
=
+∞
→x x ，2
arctan lim π
-
=-∞
→x x ，
所以直线2π
=
y 与2π
-
=y 是曲线x x f arctan )(=的水平渐近线．
（二）垂直渐近线
若0x 是函数)(x f y =的间断点，且∞=→)(lim 0
x f x x （或∞=+
→)(l i m 0
x f x x ，∞=-
→)(lim 0
x f x x ），则直线0x x =称为曲线)(x f y =的垂直渐近线．
例４ 求1
1
)(-=
x x f 的垂直渐近线．
解 因为+∞=-+
→1
1
lim 1x x ，所以，1=x 是曲线的一条垂直渐近线．
（三）斜渐近线
若曲线)(x f y =的定义域为无限区间，且有a x
x f x =∞→)
(lim
，b ax x f x =-∞→])([lim ，则直线b ax y +=称为曲线)(x f y =的斜渐近线．
例５ 求曲线x
x y +=12
的渐近线．
解 因为∞=+-→x
x x 1lim
2
1，所以直线1-=x 是曲线的垂直渐近线，又 11lim 1lim )(lim 2
=+=+==∞→∞→∞→x
x
x x x x x f a x x x ，
1)1(lim )1(lim ])([lim 2-=+-=-+=-=∞→∞→∞→x
x x x x ax x f b x x x ；
所以1-=x y 为曲线的斜渐近线．
四、函数作图的一般步骤
前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可
按下面的步骤．
第一步 确定函数)(x f y =的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）．
第二步 求出方程0)(='x f 和0)(=''x f 在函数定义域内的全部实根和
)('x f ，)(x f ''不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．
第三步 确定在这些部分区间内)(x f '和)(x f ''的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点．
第四步 确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势．
第五步 为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数)(x f y =的图形．
例６ 描绘函数2
x e y -=的图形．
解 （1）函数的定义域为),(∞+-∞，且0>y ，故图形在上半平面内．
（2）2
x e y -=是偶函数，图形关于y 轴对称． （3）曲线2
x e y -=与y 轴
的交点为)1,0(．
（4）因0lim 2
=-∞
→x x e ，故
0=y 是一条水平渐近线．
（5）2
2x xe y --='，令0='y 得驻点0=x ． （6）2
)12(22x e x y --=''，令0=''y 得2/1±=x ．
由上面分析画出草图．
（三）、小结
1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法；
2.曲线的渐近线；
3.函数图形的作法.
（四）、作业
作业: p139 15，16，17 预习： §6.1 p141—145,