圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用

刘定勇

（安徽省宁国中学，242300）

圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.

文[1]给出了两个较为简洁的结论：

命题1 椭圆122

22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x .

双曲线122

22=-b

y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x .

抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px .

命题 2

圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应

的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.

以上结论在文[2]中有证明.

如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：

题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12

:22

=+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2

00012

x y <

+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____.

P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为

[)22,2.

第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12

:22

=+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线

00=+y y x

x 并不经过()00,y x P .还有学生看到

00=+y y x

x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.

事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12

:22

=+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够

用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.

题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离

心率2

e =

（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；

（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中

21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐

近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值.

解析：（I ）C 的标准方程为.14

=-y x C 的渐近线方程为.2

1x y ±

= （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和

44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线

MN 的方程为.44=+y y x x E E

MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.

设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，

由方程组??

?=+=+??

?=-=+,

02,

4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及解得.2224,22,24???

???

?--=-=???????+=+=E E N E

E N E E C

E E C y x y y x x y x y y x x 故44222222E E E E E E E E OG OG x y x y x y x y ?=

?-?+-+-.412

E y x -= 因为点E 在双曲线.44,142

222=-=-E E y x y x 有上所以2212 3.4E E

OG OH x y ?==- 分析：如果是常规方法求直线MN 的方程，只能是观察：由题意点),(E E y x E 在直线

44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+4

42=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.

题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .

（Ⅰ）设动点P 满足42

=-PB PF ,求点P 的轨迹；（Ⅱ）设3

,221=

=x x ，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.

（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T 的坐标为(9,)m

直线)3(12:+=x m y TA ，与椭圆联立得)80

,80)80(3(222++--m m m M

直线)3(6:-=x m y TB ，与椭圆联立得)20

,20)20(3(2

22+-+-m m m N 当12x x ≠时，直线MN 方程为：2

222220)

20(380)80(320)

20(3202080402020m m m m m m x m m m m m m y +--+-+--=+++++ 令0y =，解得：1x =.此时必过点D （1，0）；

当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）. 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）.

分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.

如果知道点T 的坐标为()m ,9，事实上T 的轨迹是9=x ，可以看成是一条极线：

091=+y x ，所以它一定过定点D （1，0）.

题4、已知椭圆C

的离心率e =()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22

22x y 1a b 0a b

+=>>。 …………………

1分

∵a 2=

，c e a =

c =222b a c 1=-=。 ……………… 4分

∴椭圆C 的方程为2

22x y 14

+=。 ……………………………………… 5分

（Ⅱ）取m 0,=

得P ,Q 1,?? ????

，直线1A P

的方程是y =+ 直线2A Q

的方程是y =

交点为(1S . …………7分,

若P 1,,Q ?? ????

，由对称性可知交点为(2

S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。…………………8分

以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。事实上，由22

x y 14

x my 1?+=???=+?

得()2

2my 14y 4,++=即()

22m 4y 2my 30++-=，记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则121222

2m 3

y y ,y y m 4m 4--+==++。………… 9分

设1A P 与交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=

++得1

016y y .x 2=+ 设2A Q 与交于点00S (4,y ),''由

2y y ,42x 2

'=--得2022y y .x 2'=

-……… 10 12

00126y 2y y y x 2x 2'-=

-+-()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()

1212124my y 6y y x 2x 2-+=+- ()()

1212m 12m m 4m 40x 2x 2---++=

=+-，……12分 ∴00y y '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。 13分解法二：（Ⅱ）取m 0,=

得P ,Q 1,?? ????，直线1A P

的方程是y =+直线2A Q

的方程是y =

交点为(1S . ………………………………………… 7分取m 1,=得()83P ,,Q 0,155??

- ???

，直线1A P 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是1y x 1,

2=-交点为()2S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。 ……………8分

以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。事实上，由22

x y 14x my 1?+=???=+?

得()2

2my 14y 4,++=即()

22m 4y 2my 30++-=，记()()1122

P x ,y ,Q x ,y ，则1212

222m 3

y y ,y y m 4m 4

--+=

=++。………………9分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y

y x 2,x 2=--消去y ,得

()()1212y y

x 2x 2x 2x 2

+=-+-… ①以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明

126y 2y ,x 2x 2

=+-即证()()12213y m y 1y m y 3,

-=+即

证()12122m y y 3y y .=+……………… ②∵()121222

6m 6m

2my y 3y y 0,m 4m 4

---+=

-=++∴②式恒成立。这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。

解法三：（Ⅱ）由22

x y 14x my 1?+=???=+?

得()2

2my 14y 4,++=即()

22m 4y 2my 30++-=。

记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则121222

2m 3

y y ,y y m 4m 4

--+=

=++。…………… 6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y

y x 2,x 2

=-- ……

7分

由()()1122y y x 2,x 2y y x 2,x 2?

=+?+???=-?-?得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+- …………………

9分

即()()()()21122112y x 2y x 2x 2

y x 2y x 2++-=+--()()()()

21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--1221

212my y 3y y 23y y +-=+

112

211232m 2m 3y y m 4m 42

4.2m 3y y m 4--??

+-- ?++??==-??-+ ?+??

………………………………

12分

这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。………………

13分

2006高考全国卷（21）（本小题满分为14分）

已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、

B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。（I ）证明.FM AB 为定值；

（II ）设ABM ?的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

（21）（本小题满分13分）

设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，

点Q 满足BQ QA λ=uu u r uu r

，经

过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足

QM MP λ=u u u r u u u r

,求点P 的轨迹方程。

（20）（本小题满分13分）

点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上，00cos ,sin ,0.2x a y b πβββ==<<直线

2l 与直线00

122

1x y l x y a b +=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.

（I ）证明: 点P 是椭圆22

221x y a b

+=与直线1l 的唯一交点；

（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。

我们知道，各省市专家在命制有关圆锥曲线高考题时，一定会站在一个比较高的位置出发，比较新颖的角度来考虑.而往往他们能够一眼看穿的结论、一招制敌的办法却不为高中同学所熟知.所以，如果我们能够了解一些圆锥曲线的极点极线知识，可以帮助我们快速知道结论，从而指明解题的方向.

参考文献：

1王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法[J].中学数学教学，

2006（6）

2梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983

圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆122 22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x . 双曲线122 22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x . 抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px . 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12 :22 =+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2 2 00012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线12 00=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为 [)22,2. 第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 12 00=+y y x x 并不经过()00,y x P .还有学生看到 12 00=+y y x x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点. 事实上， 12 00=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22 =+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率5 e = . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中 21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线 C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值. 解析：（I ）C 的标准方程为.14 22 =-y x C 的渐近线方程为.2 1x y ± = （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和 44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线 G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为 p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ?ax p x Q +b 2 Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P. 推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点. 证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上?ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+λ=0?λ=-(ax 02 +bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0)?直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0? ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点. [比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b 2 00y x x y ++

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

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极点极线定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x+D y+E=0与一点P(x 0,y ) [其中A+B ≠0,点．P．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P和直线L: A?x0x+B?y0y+C?x 0 +x 2 +D?y +y 2 +E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x 0x替换x，以 x +x 2 替换x，以y y替换y,以 y +y 2 替换y则可得到极点P(x 0,y )的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x 0,y )对应的极线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y -b)(y-b)=r； (2)对于椭圆x a + y b =1，与点P(x ,y )对应的极线方程为 x x a + y y b =1； (3)对于双曲线x a - y b =1，与点P(x ,y )对应的极线方程为 x x a - y y b =1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x 0,y )对应的极线方程为y y=p(x +x)；

性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x 0-a)(x-a)+(y -b)(y-b)= (x 0-a)+(y -b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 x x a + y y b = x a + y b ；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x x a - y y b = x a - y b ；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y 0y-p(x +x)=y -2px )； ④当P(x 0,y )为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；

高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式

(3)对于双曲线x a - y b =1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a - y0y b =1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0x a + y0y b = x0 a + y0 b ；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0x a - y0y b = x0 a - y0 b ；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

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(2)对于椭圆x a+ y b=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a+ y0y b=1； (3)对于双曲线x a- y b=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a- y0y b=1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线部．．．．．．．．．． ]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=

高考数学_极点、极线与圆锥曲线的位置关系

一道高考解析几何题的背景溯源 ──极点、极线与圆锥曲线的位置关系湖北省阳新县高级中学邹生书题目已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围是，直线与椭圆的公共点的个数是. 这是2010年高考湖北卷文科第15题，本题是一道涉及到点、直线与圆锥曲线的位置关系的判定的考题．从高等几何的观点知，这里的点和直线就是椭圆的一对极点与极线，本题第二问实际上是：已知椭圆的极点在椭圆内，判断极线与椭圆的位置关系．据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结论：定理已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线．（1）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（2）若极点在曲线内，则极线与曲线的相离；（2）若极点在曲线外，则极线与曲线的相交．由该定理不难知道，考题中的直线与椭圆相离，故公共点个数为0．若运用几何画板进行实验操作动态演示，不仅可以验证确认该结论，而且还可获得直观感知从而加深印象强化理解．本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明．为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部不言而喻，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，我们参考一些杂志专著，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．关于点与圆锥曲线位置关系我们有如下结论（这里证明从略）．引理1已知点和抛物线．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．引理2已知点和椭圆（或圆）．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．

引理3已知点和双曲线．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．圆锥曲线把平面上的点分成三个部分：曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点，每一部分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系，真是“物以类集，人以群分”．下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆（圆）和双曲线三种情形，借用判别式法对定理给出如下证明．定理1已知点和直线是抛物线的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．证明由得，，将其代入抛物线方程得，，所以．所以，（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．定理2已知点和直线是椭圆（圆）的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．证明当时，．则（1）点在直线与相切于点；（2）点在内

圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用定勇（省宁国中学，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆122 22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x . 双曲线122 22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x . 抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px . 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010文15）.已知椭圆12 :22 =+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2 2 00012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值围为_______，直线12 00=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆部.画出图形，由数形结合可得围为[) 22,2. 第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 12 00=+y y x x 并不经过()00,y x P .还有学生看到 12 00=+y y x x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点. 事实上，12 00=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22 =+y x C 的部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2、（2010文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率 5e = . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中 21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线 C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值. 解析：（I ）C 的标准方程为.14 22 =-y x C 的渐近线方程为.2 1x y ± = （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和 44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线 MN 的方程为.44=+y y x x E E MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质 125 第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义: 已知曲线G:ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, 则称点P(x 0,y 0)和直线 l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上, 则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2 +bxy+cy 2 +2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点 Q ?ax p x Q +b 2Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点 P(x p ,y p ) 在直线 q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P.

(完整)极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000）极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律 1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 . 由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线于点 A, B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 . 定理 1（1）当 P 在圆锥曲线上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2）当 P 在外时，过点 P 作的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所在的直线）；（3）当P 在内时，过点 P 任作一割线交于A,B ，设在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q 的轨迹 . 自然也会成为高考只有这样，才能“识定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线的极线为 ①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 . 推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线的调和共轭 2 1 1 点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于调和共轭 . 可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQ PA PB . 特别地，我们还有推论 2 如图 3，设点的中心，则有 OR 2 证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ 2 OR 2 OP PR ，即点 P 关于有心圆锥曲线（设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线 OQ ，反之若有此式成立，则点的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OP P 与 Q 关于调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出 P 与 Q 关于调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线的一条 P 图2 AB ，或称点 R 图 3

(完整)极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题王文彬 (江西省抚州市第一中学344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1. 交于N 若P 由图于点,A B Γ在P (2)在的直线(3)Q 的轨迹PB BQ =Q ) Γ点为点Q 则点P 与2PQ ? =特别地，我们还有推论2如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2 OR OP OQ =?，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP OR RQ R Q OR OQ OR OQ '-+=?='-+，化简即可得2 OR OP OQ =?.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q ' ='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条图3 R

对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠. 证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在 ,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P 也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP '' 的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠. 定理3(配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ 的极线p Γ的极点Q . 2.定和直线0:l Ax x +y 即可得到点0(P x (1) (2) (3)(4)22y px =3.【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15 9=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，． (1)设动点P 满足42 2 =-PB PF ，求点P 的轨迹； (2)设121 23 x x == ，，求点T 的坐标； (3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ，图4 R

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

极点极线及高中圆锥曲线必备公式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

声明: 本内容来自网络,感谢 ?百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》?《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》 ?百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》等优秀内容.

极点极线定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x+D y+E=0与一点P(x0,y0) [其中A+B≠0, 点．P．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P和直线L: A?x0x+B?y0y+C?x0+x 2+D? y0+y 2+E=0 是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x0x替换x，以x0+x 2替换x，以y0y替换y,以 y0+y 2替换 y则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x0,y0)对应的极线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y- b)=r； (2)对于椭圆x a+y b=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a+ y0y b=1； (3)对于双曲线x a-y b=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a- y0y b=1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；

②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0- b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0x a+ y0y b= x0 a+ y0 b；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0x a-y0y b= x0 a- y0 b；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y- p(x0+x)=y0-2px0)； ④当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．； ⑤极点极线的对偶性:

中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

2 x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E 解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将具体研究结果报告如下： §1.极点与极线的定义 A 1.1 几何定义如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FG F N E P 交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线. 由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 H B G M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M 点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法. 图 1 1.2 代数定义已知圆锥曲线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ，则称点 P( x , y ) 和直线 0 0 l : A x + C y + y ( D x ) + ( E y) +y 是圆锥曲线 Γ 的一对极点和极线. 0 0 0 0 x + x 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此) 0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程. 特别地： (1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1； 0 0 (2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1； 0 0 (3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x + x) . 0 0 §2.极点与极线的基本结论定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 Γ 上时，则极线 l 是曲线 Γ 在 P 点处的切线； (2)当 P 在 Γ 外时，则极线 l 是曲线 Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)； (3) 当 P 在 Γ 内时，则极线 l 是曲线 Γ 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹. 证明：假设同以上代数定义，对 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy ' + 2D + 2Ey ' = 0 ，解得 y ' = - ，于是曲线 Γ 在 P 点处的切线斜率 Cy + E Ax + D Ax + D 为 k =- ，故切线 l 的方程为 y - y =- 0 0 0 0 ( x - x ) ，化简得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ，又点 P 在曲线 Γ 上，故有 0 0 0 Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 Γ 在 P 点

极点与极线法解高中圆锥曲线

极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)； (3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹. 定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PB AQ BQ = ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线. 推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=?=?-=-11 ()2PQ PA PB ??+= 211PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ， PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =? ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP OR RQ R Q OR OQ OR OQ '-+=?='-+，化简图 1 图2

20.极点与极线地性质

第15讲:极点与极线的性质 125 第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线 G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为 p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ?ax p x Q +b 2 Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P. 推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点.

极点极线及重点高中圆锥曲线必备公式

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