深圳高级中学高三2011届第一学期第二次测试(理数)

深圳高级中学高三2011届第一学期第二次测试

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20题。满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题纸上。

2．选择题每小题选出答案后，答在答题纸上

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将答题纸交回。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．) 1．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q=}.|{Q P x Q P x x ???∈，且 如果}0,4|{},4|{2>==-==x y y Q x y x P x ，则P ⊙Q=

（ ）

A ),2(]1,2[+∞?-

B ),2[]1,2[+∞?-

C [1，2]

D （2，+∞）

2．设x ，y 满足约束条件0,

,4312.

x y x x y ≥??

≥??+≤?

则231x y x +++的取值范围为（ ）

A ．[]1,5

B ．[]2,6

C ．[]2,10

D ．[]3,11 3．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,

则n S 等于（ ） (A) 1

2

2n +- (B) 3n (C) 2n (D) 31n -

4．不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）

5．已知)(02R x OC x OB x OA ∈=-?+?，其中A 、B 、C 三点共线，则满足条件的x （ ） A ．不存在 B ．有一个

C ．有两个

D ．以上情况均有可能

6．已知直线x y a +=与圆22

4x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足

||||OA OB OA OB +=-

，则实数a 的值是（ ）

（A ）2 （B ）2- （C ）6或6- （D ）2或2- 7．如图，△PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在

的平面β互相垂直，且αα⊥⊥BC AD ,，AD=4， BC=8，AB=6，若10tan 2tan =∠+∠BCP ADP ， 则点P 在平面α内的轨迹是 （ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分

C ．双曲线的一部分

D ．抛物线的一部分

8．若函数,0)(2

10)1,0)(2(log )(2

>≠>+=x f a a x x x f a ）内恒有，在区间（则f （x ）

的单调递增区间是

（ ）

A ．)4

1,(--∞

B ．),4

1

(+∞-

C ．)2

1,(--∞

D ．（0，+∞）

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共6小题，共30分．

9．酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，水以202cm s 的流量倒入杯中，当 水深为4cm 时，则水面升高的瞬时变化率是 . 10．已知a>b>0，则a 2

+

16

b (a －b )

的最小值是_________。

11．在ABC △中，AB BC =，7

cos 18

B =-

．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．

12．已知数列}{n a 的通项公式为(2)n n a n =?-，则数列{

n

n

a b }成等比数列是数列}{n b 的通 项公式为n b n =的

条件（对充分性和必要性都要作出判断）．

13．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正 四面体的截面)的面积是 14．给出下列四个结论：

① 函数sin y x =在第一象限是增函数；② 函数1cos 2

y x =+的最小正周期是π

图

③若22,am bm <则a b <；④函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点； ⑤对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--= 且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''> 其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15（12分）已知函数()sin()sin()cos (,)66

f x x x x a a R a ππ

=++-++∈为常数.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)若函数()f x 在[-2π，2

π

]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值.

16．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.

（Ⅰ）求证：AB 1//面BDC 1；

（Ⅱ）求二面角C 1—BD —C 的余弦值； （Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得

CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.

17、（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；

（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

18．已知函数f(x)=ax 3+bx 2

－3x 在x=±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围.

19已知曲线)0(1

)

1(log )(2>++=

x x x x f 上有一点列))(,(*N n y x P n n n ∈，点n P 在x 轴上的

射影是)0,(n n x Q ，且)(12*1N n x x n n ∈+=-，11=x .

（1）求数列}{n x 的通项公式；

（2）设四边形11++n n n n P Q Q P 的面积是n S ，求证：4121121<+++n

nS S S

20定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y

（1）令函数))94(log ,1()(22+-=x x F x f 的图象为曲线c 1，曲线c 1与y 轴交于点A

（0，m ），过坐标原点O 作曲线c 1的切线，切点为B （n ，t ）（n ＞0）设曲线c 1 在点A 、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值；

（2）当).,(),(,,*x y F y x F y x N y x ><∈证明时且

数学参考答案

一、选择题 ADCC CDBC 二、填空题 9．

80

cm s 9π

10.16 11. 38c e a == 12. 必要不充分

13. 2 14. ③⑤ 三、解答题：

15.解：（Ⅰ）∵()2sin cos

cos 6

f x x x a π

=++3sin cos x x a =++

2sin 6x a π?

?=++ ???

……………………4分

∴函数()f x 的最小正周期2T π=

………………………6分

(Ⅱ)∵,22x ππ??

∈-

????

，∴2363x πππ-≤+≤

∴当6

3

x π

π

+

=-

，即2

x π

=-

时，()min 32f x f a π??

=-

=-+ ???

……8分 当6

2

x π

π

+

=

，即3

x π

=

时，()max 23f x f a π??

==+

???

……10分 由题意，有(3)(2)3a a -+++= ∴31a =-

……12分

16. （I ）证明：

连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ∵BCC 1B 1是矩形，

∴O 是B 1C 的中点. 又D 是AC 的中点，

∴OD//AB 1.………………………………………………2分 ∵AB 1?面BDC 1，OD ?面BDC 1，

∴AB 1//面BDC 1.…………………………………………4分

（II ）解：如力，建立空间直角坐标系，则 C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0）……………………5分

设n =（x 1，y 1，z 1）是面BDC 1的一个法向量，则

,0

11????

?=?=?D C n B C n 即)21

,31,1(,

030231111-=??

?=+=+n y x z y 取.…………6分

易知C C 1=(0，3，0)是面ABC 的一个法向量.

72

36

71|

|||,cos 111-=?-=

??>=

<∴C C n C C n C C n .…………………………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为

7

2

.………………………………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1.

则??

???==∴???=-+=-?????=?=?.373,0)3(320)3(3,0011y y y y D C CP B C CP 即

∴方程组无解.

∴假设不成立.

∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.……………14分

17. 解：（1）设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ……………………………1分

则?????==?????=+=28

11

4222

22

b a b a b a 解得…………………………………………3分 ∴椭圆方程为12

82

2=+y x ………………………………………………4分 （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又K OM =

2

1

m x y l +=

∴2

1

的方程为：……………………………………………………5分 由0422128

2

1222

2

=-++∴???????=++=m m x x y x m x y ……………………………………6分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，

分

且解得8...........................................................0,22,

0)42(4)2(22≠<<->--=?∴m m m m

（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可…………9分 设1122(,),(,)A x y B x y 则11112y k x -=

-,2221

2

y k x -=- 由2

2

2240x mx m ++-=

212122,24x x m x x m +=-=-……………………………………………………10分

而12122112121211(1)(2)(1)(2)

22(2)(2)

y y y x y x k k x x x x -----+--+=

+=

---- )

2)(2()1(4)2)(2(42)

2)(2()

1(4))(2()2)(2()

2)(121

()2)(12

1(212212*********------+-=

----+++=

----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x

13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分

故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14分

18. 解：

（I ）f ′(x)=3ax 2+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0， 即,03230

323?

?

?=--=-+b a b a …………………………………………2分

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x 3－3x.……………………………………………………4分 （II ）∵f(x)=x 3－3x,∴f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，

当－1

f max (x)=f(－1)=2，f min (x)=f(1)=－2……………………………………6分 ∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x) －f min (x)|

|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－2)=4………………………………8分

（III ）f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，

∵曲线方程为y=x 3－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上.

设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.303

00x x y -= 因)1(3)(200-='x x f ，故切线的斜率为 13)1(3003

020

---=

-x m

x x x ， 整理得03322

030=++-m x x .

∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，

∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根.……………………10分 设g(x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=60206x x -，

由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1. ∴g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x 0)= 3322030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1………………12分 ∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根的充要条件是

??

?<>0

)1(0

)0(g g ，解得－3

19. 解：（1）由)(12*1N n x x n n ∈+=-得)1(211+=+-n n x x ∵11=x ， ∴01≠+n x ，

故}1{+n x 是公比为2的等比数列112)1(1-?+=+?n n x x

∴)(12*N n x n n ∈-=.…………………………………………………………6分

（2）∵n n

n n n n

x f y 2

112)112(log )(2=+-+-== ， ∴n n n n n Q Q 2)12()12(||11=---=++, 而n

n n n

Q P 2||= ， …………………9分 ∴四边形11++n n n n P Q Q P 的面积为：

4132)221(21|||)||(|211111+=?++=?+=

++++n n n Q Q Q P Q P S n n n n n n n n n n ∴)111(4)33131(12)13131(12)13(312)13(41+-=+-<+-=+=+=n n n n n n n n n n nS n , 故121111

4(1)421n S S nS n +

++<-<+ .……………………………………………14分 20. 解：（1）y x y x F )1(),(+=

942

))94(log ,1()(2)

94(log 2

222+-==+-=∴+-x x x x F x f x x 故A （0，9）

…………2分

42)('-=x x f ，过O 作C 1的切线，切点为)0)(,(>n t n B ，

???

??-=+-=∴42942n n

t

n n t 解得B （3，6） …………4分

9|)933

1

()294(30233

02=+-=-+-=∴?x x x dx x x x S …………6分

（2）令2

)

1ln(1)(')1()1ln()(x x x x

x h x x x x h +-+=≥+= …………8分

令)0)(1ln(1)(>+-+=

x x x

x

x P 0)

1(11)1(1)('2

2<+-=+-+=

∴x x

x x x P [)+∞∴,0)(在x P 单调递减。

0)('1),0()(,0<≥∴<>∴x h x P x P x 时有当有时当 [)+∞∴,1)(在x h 上单调递减。

…………10分

y

y x x y x )

1ln()1ln(,1+>

+<≤∴有

时 …………12分