2015新课标1高考压轴卷 数学(文)

俯视图

侧视图

正视图

2

4

2

1

新课标1高考压轴卷

文科数学

一、选择题:本大题共12小题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 。

1.

=+=+z i i

z

则,21 A .i 31- B .i 31+ C .i 31-- D .i 31+-

2.已知集合2{|2,}A y y x x ==-+∈R ,{|2,}B y y x x ==-+∈R ,则A

B =

A.(,2]-∞

B.{(0,2),(1,1)}

C.{1,2}

D.(0,2),(1,1) 3.若向量a 、b 满足|a |=|b |=2,a 与b 的夹角为60?,a ·(a +b )等于

(A )4

(B )6

(C )2+ 3

(D )4+2 3

4某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时间为9:00至17:00,设甲在当天13:00至18:00之间任何时间去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率是( )

A .13

B .

34

C .58

D .

45

5已知焦点在x 轴上的椭圆方程为22

2141

x y a a +=-,随着a 的增大该椭圆的形状( )

A. 越扁

B.越接近于圆

C.先接近于圆后越扁

D.先越扁后接近于圆

6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积 A.2π3 B.π3 C.2π9 D.16π9

7.若[]x 表示不超过x 的最大整数,执行如图所示 的程序框图,则输出S 的值为

A.4

B.5

C.7

D.9

8.现有四个函数:①y x sin x =?;②cos y x x =?;③|cos |

y x x =?; ④2x

y x =?的图象

(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

A .④①②③

B .①④③②

C .①④②③

D .③④②①

9.在ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且BC 边上的高为3

6

a ,则c

b b

c +取

得最大值时,内角A 的值为( )

A .

2

π

B .

6

π C .

23

π D .

3

π

面积的最大值

求三角形交于点与的切线分别作抛物线,过,轴两侧分别在是抛物线是两点已知抛物线ABQ Q l l l l B A AB x B A x y ,,,,6)(,,4.1021212==A

2

27

B 8

C 312

D 18 11若函数()sin x f x x =,并且233

a b ππ

<<<,则下列各结论正确的是( )

A .()()()2a b f a f ab f +<<

B .()()()2

a b

f ab f f b +<< 0,=+输出

C .()()(

)2a b f ab f f a +<< D .()()()2

a b

f b f f ab +<<

12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时,

5

s i n () (01)42()1() 1 (1)4

x x x f x x π?≤≤??=??+>?? 若关于x 的方程[]25()(56)()60

f x a f x a -++= (a R ∈),有且仅有6个不同实数根,则实数a 的取值范围是( )

A .5014a a <<=

或 B .5

014a a ≤≤=或 C .5014a a <≤=或 D .5

14

a <≤或0a =

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13. 13.设22320

3204x y x y x y ?-+≥?

--≤??+≤?

围成的区域为D ,),(y x P 为D 内的一个动点,则2x y +的取值

范围为 . 14.为了落实大学生村官下乡建设社会主义新农村政策,将5名大学生村官分配到某个镇的3个村就职,每镇至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 种.

15.设4

43322104111121??

?

??+??? ??+??? ??+??? ??+=??? ??-x a x a x a x a a x , 则42a a +的值是

16.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知2

7

4sin cos 222

A B C +-=,且2c =,则△ABC 的面积的最大值为 .

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分12分)

已知数列{}1n n a a ++的前n 项和122n n S +=-,10a =. (1)求数列{}1n n a a ++的通项公式; (2)求2n a .

18.(本小题满分12分)

某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查,发现每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T (单位:年)有关.若2T

≤,则销售利润为0元;若

23T <≤,则销售利润为100元;若3T >,则销售利润为200元,设每台该种电器

的无故障使用时间2T

≤,23T <≤,3T >这三种情况发生的概率分别是123P P P ,,,

又知12P P ,是方程225150x x a -+=的两个根,且23P P =.

(1)求123P P P ,,的值;

(2)记X 表示销售两台该种电器的销售利润总和,求X 的分布列及期望.

19.(本小题满分12分) 如图,已知⊙O 的直径AB=3,点C 为⊙O 上异于A ,B 的一点,VC ⊥平面ABC ,且VC=2,点M 为线段VB 的中点.

(1)求证:BC ⊥平面V AC ; (2)若直线AM 与平面V AC 所成角为4

π

.求三棱锥B-ACM 的体积.

20.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为1F (1,0).-抛物线2

2x py =上的点

(2,1)处的切线经过椭圆C 的下顶点.

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)过点1F 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点(异于长轴端点).请问是否存在实常数

λ,使得1111||F A F B F A F B λ-=?恒成立?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说

明理由;

21.(本小题满分12分)

已知函数2

1()2ln 2

f x ax x =

-,a ∈R . (1)求函数()f x 的单调区间;

(2)已知点(0,1)P 和函数()f x 图象上动点(,())M m f m ,对任意[1,]m e ∈,直线PM 倾斜角都是钝角,求a 的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本题10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长BA 和CD 相交于点P ,

4

1

=PB PA , 2

1

=PC PD . (Ⅰ)求BC

AD

的值;

(Ⅱ)若BD 为⊙O 的直径,且1=PA ,求BC 的长.

23. (本题10分)选修4-4:坐标系与参数方程

己知抛物线2

y x m =+的顶点M 到直线:13x t

l y t

=???=+??(t 为参数)的

距离为1

(1)求m ;

(2)若直线l 与抛物线相交于B A ,两点,与y 轴交于N 点,求MAN MBN S S ??-的值

24.(本题10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数212)(--+=x x x f . (Ⅰ)解不等式0)(≥x f ; (Ⅱ)若存在实数x ,使得22

)(-+≤+a x a

x f ,求实数a 的取值范围.

P

A

B

C

D

O

?

2015新课标1高考压轴卷

文科数学答案

1. A

2. A

3. B

4.D 5B 6.D 7.C 8.C 9.D

【命题立意】本题旨在考查解三角形问题,结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把

c b

b c

+转化为关于角A 的三角函数问题,再进行解答即可. 【解析】因为

131sin 262

a a bc A ??=,得223s i n a

b

c A =,则

2222c o

s 23s i n 2c o s 23s i n 2c o s 4s i n 6c b c b a b c A b c A b

c A A A A b c b c

b c

b c

π+++

?

?+===

=+=+ ??

?,

以当,6

2

3A A π

π

π

+

=

=

c b

b c

+取得最大值,则选D . 10.A

11D

【命题立意】本题旨在考查函数性质,应用导数讨论函数单调性,比较函数值的大小. 【解析】22a b b b a aa ab b ++=

<<

<=,()'2

sin cos sin '()x x x x

f x x x -==,令()c o s s i n ,

g x x x x

=-则()'sin 0g x x x =-<在2,33ππ

?? ???成立,所以g (x )为2,33

ππ??

???

的减函数,所以g(x)

??

??

?

的减函数,所以()(

)()2

a b

f b f f ab +<<.

12.C

【命题立意】本题旨在考查根的存在及根的个数判断;函数零点与方程根的关系,各种思想的综合运用,譬如转化,分类讨论,数形结合等,难度较大. 【解析】函数f (x )图像如图:设t=f (x ),有两种情况符合情况:

原方程化为1216665()(56)0,,.(1,),5554

t a t t a -?-==∈解得t =当t =,

4此时方程有个根;由题意知,当t=a 时,方程应有两个根, 5

4

≤结合图像知道,0

【易错易误警示】本题作图容易出现问题问题,一定要考虑到图像与直线y=1逐渐逼近,但是不能达到;还有讨论的时候,第一种情况易漏. 13. [25,3]- 14.90 15.40 16.

3

17. 解:(1)设1n n n a a b ++=.

当2n …

时,()()

1122222n n n n n n b S S +-=-=---=.………………………………5分 当1n =时,112b S ==,满足2n …

时n b 的形式. 所以,12n n n n a a b ++==.………………………………………………………………6分 (2)由(1),12n n n a a ++=,则1212n n n a a ++++=.两式相减,得22n n n a a +-=.…………8分 由(1),10a =,212a a +=,得22a =.

()()()()2242642224222n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-L ………………10分

24242222222n n --=+++++L ……………………………………………………11分

222222222222.1233

n n --?=+=+-……………………………………………………12分

18

19. 19.(1)略(2)2

3

B ACM V -=

【命题立意】本题旨在考查立体几何中的线面垂直关系和利用空间向量求二面角的方法. 要求学生要有丰富的空间想象能力,严谨的逻辑推理能力和较强的运算能力. 【解析】(1)证明:因为VC ⊥平面ABC ,BC

?平面ABC ,所以VC ⊥BC ,

又因为点C 为圆O 上一点,且AB 为直径,所以AC ⊥BC ,又因为VC ,AC ?平面V AC ,

VC ∩AC=C ,所以BC ⊥平面V AC .

(2)如图,取VC 的中点N ,连接MN ,AN ,则MN ∥BC ,由(I )得BC ⊥平面V AC ,所以MN ⊥平面V AC ,则∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角.即∠MAN=

4

π

,所以MN=AN ;令AC=a,则BC=2

9-a ,MN=2

92

a -;因为VC=2,M 为VC 中点,所以

AN=2

1a +, 所以,292

a -=2

1a +,解得a=1因为MN ∥BC,所以

1

23

3ABC

B ACM

M ABC N ABC S

NC V

V V ---====

20解:(1)将点(2,1)的坐标代入22x py =,得22p =,所以22x y =,即212

y x =

. 求导得y x '=,所以点(2,1)处的切线斜率为2.

抛物线在点(2,1)处的切线的方程为12(2)y x -=-,即21y x =-.……1分 在21y x =-中,令0x =,得 1.y =-

因此,椭圆C 的下顶点为(0,1)-.所以1b =.…………………………………………2分

2

2

2

12a b =+=.椭圆C 的标准方程为2

212

x y +=.…………………………………4分

(2)设11(,)A x y 、22(,)B x y .

因为1F 的坐标为(1,0)-,所以可设直线l 的方程为1x my =-.

由22

121x y x my ?+=???=-?

消去x ,并整理得22(2)210.m y my +--= 判别式0?>恒成立. 由韦达定理,得12222m y y m +=

+,12

21

2

y y m =-+.…………………………6分 22111212||||()()F A F B BA x x y y -==-+-

221212[(1)(1)]()my my y y =---+- 2212(1)()m y y =+-

221212(1)[()4]m y y y y =++-

222224

(1)[(

)]22m m m m =++++

22

22(1)

.2

m m +=+…………………………………………………8分 因为11111(1

,)(,)F A x y my y =+=,12222(1,)(,)F B x y my y =+=.

所以22

111221

(1)2

m F A F B m y y m +?=+=-+.…………………………………………10分

因此,存在22λ=-,使得1111||F A F B F A F B λ-=?恒成立.…………………12分 21

22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠,A A ∠=∠,得PAD ?与PCB ?相似,

设,PA x PD y ==则有

224x y y x y x

=?=,所以2

24AD x BC y ==

……5分 (Ⅱ)90C ∠=,4,22,22PA PC BC ===………………………………10分 23. 解析:(1)M(0,m),直线l 的一般方程310x y -+=

M 到直线l 的距离为

1

12

m -+=,解得3m =或-1 (2)直线与抛物线相交于A 、B 两点,故将直线l 的一个标准参数方程为12312

x t y t ?=??

??=+?? 代入

抛物线2

1y x =-得2

2380t t --=,故 1223t t += 又M 到直线的距离为1,MAN MBN S S ??- 1211

1||||322

NA BN t t =??-=?+=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 24. (Ⅰ)① 当1

2x ≤-

时,1223x x x --+≥?≤-,所以3x ≤- ② 当102x -<<时,1

2123

x x x ++≥?≥,所以为φ

③ 当0x ≥时,121x x +≥?≥,所以1x ≥

综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-?+∞……………5分

(Ⅱ)即a a x x 2212-≤--即a

a x x 2212-≤-- 由绝对值的几何意义,只需a

a 2

1-≤-,即),1[)0,2[+∞- 为所求.……………10分

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