2015新课标1高考压轴卷 数学(文)
俯视图
侧视图
正视图
2
4
2
1
新课标1高考压轴卷
文科数学
一、选择题:本大题共12小题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 。
1.
=+=+z i i
z
则,21 A .i 31- B .i 31+ C .i 31-- D .i 31+-
2.已知集合2{|2,}A y y x x ==-+∈R ,{|2,}B y y x x ==-+∈R ,则A
B =
A.(,2]-∞
B.{(0,2),(1,1)}
C.{1,2}
D.(0,2),(1,1) 3.若向量a 、b 满足|a |=|b |=2,a 与b 的夹角为60?,a ·(a +b )等于
(A )4
(B )6
(C )2+ 3
(D )4+2 3
4某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时间为9:00至17:00,设甲在当天13:00至18:00之间任何时间去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率是( )
A .13
B .
34
C .58
D .
45
5已知焦点在x 轴上的椭圆方程为22
2141
x y a a +=-,随着a 的增大该椭圆的形状( )
A. 越扁
B.越接近于圆
C.先接近于圆后越扁
D.先越扁后接近于圆
6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积 A.2π3 B.π3 C.2π9 D.16π9
7.若[]x 表示不超过x 的最大整数,执行如图所示 的程序框图,则输出S 的值为
A.4
B.5
C.7
D.9
8.现有四个函数:①y x sin x =?;②cos y x x =?;③|cos |
y x x =?; ④2x
y x =?的图象
(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A .④①②③
B .①④③②
C .①④②③
D .③④②①
9.在ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且BC 边上的高为3
6
a ,则c
b b
c +取
得最大值时,内角A 的值为( )
A .
2
π
B .
6
π C .
23
π D .
3
π
面积的最大值
求三角形交于点与的切线分别作抛物线,过,轴两侧分别在是抛物线是两点已知抛物线ABQ Q l l l l B A AB x B A x y ,,,,6)(,,4.1021212==A
2
27
B 8
C 312
D 18 11若函数()sin x f x x =,并且233
a b ππ
<<<,则下列各结论正确的是( )
A .()()()2a b f a f ab f +<<
B .()()()2
a b
f ab f f b +<< 0,=+输出
C .()()(
)2a b f ab f f a +<< D .()()()2
a b
f b f f ab +<<
12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时,
5
s i n () (01)42()1() 1 (1)4
x x x f x x π?≤≤??=??+>?? 若关于x 的方程[]25()(56)()60
f x a f x a -++= (a R ∈),有且仅有6个不同实数根,则实数a 的取值范围是( )
A .5014a a <<=
或 B .5
014a a ≤≤=或 C .5014a a <≤=或 D .5
14
a <≤或0a =
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 13.设22320
3204x y x y x y ?-+≥?
--≤??+≤?
围成的区域为D ,),(y x P 为D 内的一个动点,则2x y +的取值
范围为 . 14.为了落实大学生村官下乡建设社会主义新农村政策,将5名大学生村官分配到某个镇的3个村就职,每镇至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 种.
15.设4
43322104111121??
?
??+??? ??+??? ??+??? ??+=??? ??-x a x a x a x a a x , 则42a a +的值是
16.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知2
7
4sin cos 222
A B C +-=,且2c =,则△ABC 的面积的最大值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分12分)
已知数列{}1n n a a ++的前n 项和122n n S +=-,10a =. (1)求数列{}1n n a a ++的通项公式; (2)求2n a .
18.(本小题满分12分)
某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查,发现每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T (单位:年)有关.若2T
≤,则销售利润为0元;若
23T <≤,则销售利润为100元;若3T >,则销售利润为200元,设每台该种电器
的无故障使用时间2T
≤,23T <≤,3T >这三种情况发生的概率分别是123P P P ,,,
又知12P P ,是方程225150x x a -+=的两个根,且23P P =.
(1)求123P P P ,,的值;
(2)记X 表示销售两台该种电器的销售利润总和,求X 的分布列及期望.
19.(本小题满分12分) 如图,已知⊙O 的直径AB=3,点C 为⊙O 上异于A ,B 的一点,VC ⊥平面ABC ,且VC=2,点M 为线段VB 的中点.
(1)求证:BC ⊥平面V AC ; (2)若直线AM 与平面V AC 所成角为4
π
.求三棱锥B-ACM 的体积.
20.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为1F (1,0).-抛物线2
2x py =上的点
(2,1)处的切线经过椭圆C 的下顶点.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过点1F 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点(异于长轴端点).请问是否存在实常数
λ,使得1111||F A F B F A F B λ-=?恒成立?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说
明理由;
21.(本小题满分12分)
已知函数2
1()2ln 2
f x ax x =
-,a ∈R . (1)求函数()f x 的单调区间;
(2)已知点(0,1)P 和函数()f x 图象上动点(,())M m f m ,对任意[1,]m e ∈,直线PM 倾斜角都是钝角,求a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本题10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长BA 和CD 相交于点P ,
4
1
=PB PA , 2
1
=PC PD . (Ⅰ)求BC
AD
的值;
(Ⅱ)若BD 为⊙O 的直径,且1=PA ,求BC 的长.
23. (本题10分)选修4-4:坐标系与参数方程
己知抛物线2
y x m =+的顶点M 到直线:13x t
l y t
=???=+??(t 为参数)的
距离为1
(1)求m ;
(2)若直线l 与抛物线相交于B A ,两点,与y 轴交于N 点,求MAN MBN S S ??-的值
24.(本题10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数212)(--+=x x x f . (Ⅰ)解不等式0)(≥x f ; (Ⅱ)若存在实数x ,使得22
)(-+≤+a x a
x f ,求实数a 的取值范围.
P
A
B
C
D
O
?
2015新课标1高考压轴卷
文科数学答案
1. A
2. A
3. B
4.D 5B 6.D 7.C 8.C 9.D
【命题立意】本题旨在考查解三角形问题,结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把
c b
b c
+转化为关于角A 的三角函数问题,再进行解答即可. 【解析】因为
131sin 262
a a bc A ??=,得223s i n a
b
c A =,则
2222c o
s 23s i n 2c o s 23s i n 2c o s 4s i n 6c b c b a b c A b c A b
c A A A A b c b c
b c
b c
π+++
?
?+===
=+=+ ??
?,
所
以当,6
2
3A A π
π
π
+
=
=
时
c b
b c
+取得最大值,则选D . 10.A
11D
【命题立意】本题旨在考查函数性质,应用导数讨论函数单调性,比较函数值的大小. 【解析】22a b b b a aa ab b ++=
<<
<=,()'2
sin cos sin '()x x x x
f x x x -==,令()c o s s i n ,
g x x x x
=-则()'sin 0g x x x =-<在2,33ππ
?? ???成立,所以g (x )为2,33
ππ??
???