2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动《比较大小》教案

不等关系——比较大小

教材：北师大版普通高中课程标准实验教科书（必修5）

教学目标：

1．知识目标：①掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法

②理解不等关系的传递性

③能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小

2．能力目标：通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力；

3．情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其

主动参与双边交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度，培养学生热爱家乡的优良品质．

教学重、难点：

教学重点：比较实数大小的方法．

教学难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；

2.比较实数大小方法的实际应用

教学方法：启导法、感性体验法、合作讨论法

教学用具：多媒体、印好的习题纸

教学过程：

(一)创设情境

（幻灯片给出几张庐山的优美图片，激发学生的兴趣）

引入:庐山以自然景观为载体，以人文景观为内涵。它那伟岸的山体、飞流湍泻的瀑泉、扑朔迷离的云雾、钟灵毓秀的山城，以及宗教理趣的光华、千年书院的风采、冰川遗迹的神韵、西式别墅的音符……无一不是中华民族乃至整个人类文明的古今融合、精神凝聚、文化升华。它兼有大江的气魄、大湖的胸襟、雄山的刚毅、秀山的温柔和灵山的潇洒，被联合国教科文组织评为“世界文化景观”。国庆放假期间，邀上几个朋友一起去了趟庐山，恰好碰到景区推出一套门票优惠方案，具体如下：

庐山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选

择以下任一种方案)

优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；

优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元.

为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？

学生肯定会问有多少人，教师告诉他们在5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。

合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）

（学生思考演算并请学生回答结果）

由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）

继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？

若设人数为n，记采用方案A的费用为)

(n

g，则

f，采用方案B的费用为)

(n

g150

n

(=

f，n

)

)

144

n

(+

=n

36

接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系：

g

n

?

n

>n

f

-

n

g

n

f

(

)

>

6

(

)

)

?

)

(<

(

g

n

?

n

=n

-

f

n

g

n

f

6

)

(

)

=

(

)

(=

?

(

)

g

n

n

?

g

-

f

n

n

f

?

(

)

<

)

6

(>

)

(

(

)

所以当6

2<

当6

n时，选择两种方案都一样；

=

当6

n时，选择方案A.

>

这样我们的问题就解决了。

归纳小结：

任意两个实数a ，b 都能比较大小：

如果a －b>0，则a>b; 如果a －b<0，则a

要求学生明确要确定两个实数的大小，只需确定他们的差a －b 与0的大小关系。

以上就是比较两个数（或式）的大小的方法——差值比较法.其实差值比较法我们很早就已经用过了，请同学们回忆一下哪里用过？（研究函数的单调性的时候，作差）

下面我们再看几个比较大小的例题

(二)范例启迪

（例题由老师重点讲解，结合投影并简单板演示范） （出示例1）

例1：试比较(1)(5)x x ++与2(3)x +的大小

分析：其差为常数，学生很容易得到答案，对学生进行肯定与表扬 解：(1)(1)(5)x x ++-2(3)x +

=)56(2++x x -（962++x x ） =-4<0

∴(1)(5)x x ++<2(3)x +

（出示例2）

例2：比较32+x 与3x 的大小

分析：学生提出作差，但是对结果不容易判定正负，故引导学生向配方的方向走。教师要捕捉学生的闪光点，若有同学说该式子恒大于0，则应追问原因，直

到解决这个问题。若用函数观点去看这个问题，顶点在x 轴上方，且开口向上，故函数值恒大于0

解： 32+x -x 3=4

3

)23(2+-x >0

∴32+x >x 3 （出示例3）

例3.当1

分析：学生会发现例3与例2惊人的相似,学生想到的肯定先是做差和配方但

是学生会得到以下结果：41

)23(3222--=-+x x x ，发现不能判定正负，教师正好

提醒，既然配方

法不能用，还有其他的方法吗？从函数观点来看，顶点在x 轴下方，图象开口向上，所以函数图象与x 轴有两个交点，故方程0232=+-x x 是有根的，可以将解析式改为两根式表示，即将其因式分解。 解： 22+x -x 3=(1-x )(2-x )

10, 2-x <0

∴(1-x )(2-x )<0

∴22+x

差值比较法的一般步骤：1.作差 2.变形 3.定号 4.下结论 （配方法和因式分解为代数变形的常用方法）

（三）课堂小练

练习1、比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小

练习2、比较x x -2与2-x 的大小关系 练习3、当x>1时,x x 322+与6+-x 的大小

比较大小除了差值比较法之外，还有很多其他的方法。 例：如何比较3.02和23.0的大小？

如果学生自己找出答案应给予表扬，若学生思考无果，则如下引导：

（1）3.02和1哪个大？ （2） 23.0与1哪个大？ 学生恍然大悟：2003.03.03.0122>==> 不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据） 若a>b,b>c,则a>c.

例4：建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增

加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

分析：例2以建筑设计为背景，研究比较大小在实际生活中的应用，这是一个难点.应该指导学生进行正确的审题。

解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a 和b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求b a <，且

%10≥b

a

. 由于0)

()

(>+-=-++m b b a b m b a m b m a ， 于是

b a m b m a >++，又%10≥b a

， 因此 %10≥>++b

a

m b m a

所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了！

结论：一般地，设a ，b 为正实数，且0,>

b

a

m b m a >++ 这是一个非常重要的不等式，其意思为：一个正的真分数，

当分子和分母同时加上一个正数后得到的分数比原来的大。例如

<<<4

3

3221 这个不等式在生活中还有一个模型。大家能否用这个不等式解释一下： 在一杯不太甜的糖水里加糖，糖水变甜了. 设在b g 糖水里有a g 糖，此时糖水浓度为

b

a

，在加入m g 糖后，这杯糖水的浓度为

m b m

a ++，按照常识可知b

a m

b m a >++. （四）思考交流

（放映芭蕾舞演员的表演视频） 引言中的问题：

为什么芭蕾舞演员在表演时脚尖立起给人一种美的享受？

你们知道黄金分割吗？黄金分割是一个值0.618，一本书的短边长与长边长之比接近0.618时，视觉上要优美一些，而对于人的身材也是一样的。

一个人的身材比例为0.618时是最优美的。一般的人，下半身长x （肚脐眼以下部分）与全身长y 的比值

y

x

在0.57-0.6之间，而芭蕾舞演员在演 出时，脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了m ，则下半身长与全身长之比由

y

x 变成m y m x ++,这个比值更加接近黄金分割值0.618.

实际的生活中，很多的女士为了追求美而选择穿高跟鞋，其目的就是在追求黄金分割值。

实践作业：请大家回去为自己和家人量一量身材，也许最美的东西就在你身边哦！如果是女性可以为她们设计高跟鞋的高度（是不是越高越好呢）。

人员 下半身长x （cm ） 全身长y(cm) 鞋子高度m(cm) y

x

m

y m

x ++ 甲 乙 丙

但是我们作为学生应该追求内在美，不能穿高跟鞋。

（五）回顾与小结

请同学们相互讨论：

本节课你学到了哪些知识？

（引导学生归纳本堂课的重要知识，重要方法）

（1）比较大小的方法：差值比较法；

（2）不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据）；

（3）比较大小在实际问题中的应用。

（六）布置作业

课本74页课后思考交流2以及练习2

教学设计说明

现代教育心理学的研究认为，有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：

㈠在学生已有知识结构和新知识间寻找“最近发展区”．

㈡引导学生通过同化，顺应掌握新知识。

㈢设法走出“性质概念一带而过，演习作业铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程”的新天地。

我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则；注重对学生思维的发展；贯彻教师对本节内容的理解；体现“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质相结合”的原则。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用．