数学复习

统考复习（数学）

S= AH

AE

余弦定理

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。[

·公式含义如下图所示，在△ABC中，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

勾股定理是余弦定理的特例。当为时，，

余弦定理可简化为，即勾股定理。[

·定理应用

余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：

?当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

?当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。[3]

求边

余弦定理公式可变换为以下形式：

因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。[3]

·三角函

如上图所示，△ABC，在c上做高，将c边写：

将等式同乘以c得到：

运用同样的方式可以得到：；

将两式相加：

·向量

中，，，：；

；；

。

求角

余弦定理公式可变换为以下形式：；；

因为余弦函数在上的单调性，可以得到：

因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。[3]

·西姆松定理说明

相关的结果有：

（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

鸡爪定理

编辑

设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则

KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC组成的图形形似鸡爪，故形象地称为“鸡爪定理”。·证明

由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2

∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ

同理，∠ICJ=90°

∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径

∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB

∴KB=KI

由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点

∴KB=KI=KJ=KC

·塞瓦定理

塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现。塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。

·证法

（Ⅰ）本定理可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴(CB/BD)×(DO/OA)×(AE/EC)=1①

∵△ABD被直线COF所截，

∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②/①约分得：

(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③

同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB④，AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③×④×⑤得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

共边定理

设直线AB与PQ交于M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM

有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

几何课本里有相似三角形、全等三角形，但没有共边三角形。其实，共边三角形在几何图形中出现的频率更多。比如，平面上随意取四个点A、B、C、D，这其中一般没有相似三角形，也没有全等三角形，但却有许多共边三角形。由此，我们说一下共边定理共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM

证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证

证法2：S△PAB=(S△PAM-S△PMB)

=(S△PAM/S△PMB+1)×S△PMB

=(AM/BM+1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）

同理，S△QAB=(AM/BM+1)×S△QMB

所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）

定理得证！

特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=△QAB，则PB∥AQ

·燕尾定理

燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有

S△AOB：S△AOC=BD：CD

S△AOB：S△COB=AE：CE

S△BOC：S△AOC=BF：AF

因此图类似燕尾而得名。是五大模型之一，是一个关于平面三角形的定理，俗称燕尾定理。

证明

证法1下面的是第一种方法：利用分比性质(若a÷b=c÷d，则（a-b）÷b=（c-d）÷d,b≠0，d≠0,）

注：∵（a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1,

(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1,

a/b=c/d

∴（a-b）÷b=（c-d）÷d

∵△ABD与△ACD同高

∴S△ABD：S△ACD=BD：CD

同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD

利用分比性质，得

方法1

从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。

·勾股定理

勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2，(a,b,c)叫做勾股数组。

勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，商朝的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

如果

，则△ABC是钝角三角形。

如果

，则△ABC是锐角三角形。

《几何原本》：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。[1]

推导过程编辑

加菲尔德证法

加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国总统，所以人们又叫它总统定理。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，

，

，

∵

加菲尔德证法变形

图示

该证明为加菲尔德证法的变形。

如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。

大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:

青朱出入图

青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。

刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。[3]

欧几里得证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

?如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）?三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

?任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

?任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

1. 设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

2. 其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

3. 画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

4. 分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

5. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

6. ∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

7. 因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

8. 因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

9. 因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

10. 因此四边形BDLK=BAGF=AB2。

11. 同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。

12. 把这两个结果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

13. 由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

14. 由于CBDE是个正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。[2]

图形体积、长度及面积

圆台体积V=(S1+S2+根号下S1*S2)÷3*H

圆柱体积V=π*R2*h

球缺体积h－球缺高r－球半径a－球缺底半径

V＝πh(3a2+h2)/6 V＝πh2（3r-h

3a2＝h(2r-h)

圆V＝4

3πr3

长方形

周长=（长+宽）×2

面积=长×宽

圆环

R－外圆半径

正方形

周长=边长×4 面积=边长×边长

三角形

面积=底×高÷2

平行四边形

面积=底×高

梯形

面积=（上底+下底）×高÷2 圆周长=π×d=π×r×2 面积=π×r×r

长方体

表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 体积=长×宽×高

正方体

表面积=棱长×棱长×6 体积=棱长×棱长×棱长

圆柱

侧面积=底面圆的周长×高表面积=上下底面面积+侧面积体积=底面积×高

圆锥

圆锥体积=底面积×高÷3 r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4

椭圆

D－长轴d－短轴S＝πDd/4

立方图形

名称符号面积S和体积V

正方体a－边长S＝6a2 V＝a3

长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc

棱柱S－底面积h－高V＝Sh

棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3

长方体（正方体、圆柱体）

长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高

名称符号周长

C和面积S

正方形a—边长C＝4a S＝a2

长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab

三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半s＝(a+b+c)/2 A,B,C－内角S ＝

ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA)

四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα

平行四边形a,b－边长h－a边的高

棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3

拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6

圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πr S

底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h

空心圆柱R－外圆半径

·弧长计算公式

弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，l是圆心角弧长。

L=n（圆心角度数）xπ（圆周率）x r（半径）/180（角度制）

L=α（弧度）x r(半径) （弧度制）

·例子

如果已知它的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。

·补充公式

S扇=nπr^2/360=πrnr/360

=2πrn/360×1/2r

=πrn/180×1/2r

所以：S扇=rL/2

还可以是S扇=nπr2/360

(n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。)

·等比数列求和公式

等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。

注：q=1 时，an为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

定义编辑

一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数（这个常数通常用q来表示），且数列中任何项

都不为0，

即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，

这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。

如：

2、4、8、16......2^10

就是一个等比数列，其公比为2，

可写为an=2×2^(n-1）

公式编辑

奇数幻方口诀

“1”坐边中间，斜着把数填；出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间

偶数阶幻方填法

以4阶为例，说说偶数阶的填法：

首先，按顺序写下１６个数：

接下来固定对角线上数字不动（这里是１、６、１１、１６和４、７、１０、１３），其它数字作左右对换，如２与３换，５与８换等，得到下面的排列：

继续固定对角线，其他数字作上下对称变换，如８与１２换，２与１５换

这就是四阶幻方，每行每列四个数字之和均为３４，其他偶数阶幻方填法可类推！

各种问题公式及例题

浓度问题公式及例题

摘要：浓度问题公式分成4种，分别是求溶液的质量、浓度、溶质的重量、溶液的重量，其中题目中最常见的就是已知溶液的重量和浓度求溶质的重量。

浓度问题公式：

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

【例一】有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度变为20％，需加盐多少千克?

解：设加盐χ千克，由题意：

（20×15%+χ）/（20+χ）=20％

解得：χ=1.25(千克)

答：需加盐1.25千克。

【例二】在浓度为50％的硫酸溶液100千克中，再加人多少千克浓度为5％的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25％的硫酸溶液？

解：设加入浓度5％的硫酸溶液χ千克，由题意：

100×50%+5%×χ=25％

解得：χ＝125(千克)．

答：加入浓度5％的硫酸溶液125千克。

时钟问题

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，

具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度

时针速度：每分钟走十二分之一小格，每分钟走0.5度

注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。

要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。

例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65又11分之5 分。

【例1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？

【解析】闹钟比标准的慢那么它一小时只走（3600-30）÷3600个小时，手表又比闹钟快那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时手表则走（3600-30）÷3600X（3600+30）÷3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）÷3600X（3600+30）÷3600】

=1—14399÷14400=1÷14400个小时，也就是1÷14400X3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒

工程问题公式

（1）一般公式：

工效×工时=工作总量；

工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时。

工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：

1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。

（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。）

其他公式

1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数

总数÷总份数＝平均数

2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数

3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度

4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价

5、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数

6、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数

7、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数

8、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数

和差问题

·先求大数

大数=（和+差）÷2

小数=和－大数或者小数=大数-差

·先求小数

小数=（和-差）÷2

大数=和－小数或者大数=小数+差[2]