北京四中数学期中考试试卷
北京四中2012九年级期中数学试卷
（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）
班级 学号 姓名 分数
一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）
1．下列事件是必然事件的是（ ）．
A ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6
B ．掷一枚硬币，正面朝上
C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组
D ．打开电视，正在播放动画片
2．抛物线2(1)2y x =-+可以由抛物线2x y =平移而得到，下列平移正确的是（ ）．
A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）． A ．2250cm π
B ．2500cm π
C ．2750cm π
D ．21000cm π
4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（ ）．
A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）．
A ． 14
B ．13
C ．34
D ．1
2
6．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴
相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是
（ ）．
A ．(53)，
B ．(35)，
C ．(54)，
D ．(45)，
7．抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（ ）．
Q
P
O
N
x
y M
A．0 B．2 C．?1 D．1 4
8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，90
C
∠=，
6cm
CD=，
AD＝2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA、AD、DC运
动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度
都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．
设P点运动的时间为(s)
t，BPQ
△的面积为y2
(cm)．下图中能正确表示整个运
动中y关于t的函数关系的大致图象是（）．
A．B．C．D．
二．填空题（每小题4分，本题共16分）
9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm．
10．函数223(22)
y x x x
=+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A
与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一
点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是
_______________．
12．已知二次函数2
y ax bx c
=++满足：（1）a b c
<<；（2）
a b c
++=；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结
论中正确的有．
①0
a<②0
a b c
-+<③0
c>④20
a b
->⑤
1
24
b
a
-<
三．解答题（每小题5分，本题共30分）
13．计算：()
3
3
1
2
2
1
2
50
-
?
?
?
?
?
-
+
-
-
-π14．用配方法解方程：2
1
230
2
x x
--=
P
Q
A D
C
B
P
A
E
F
D
C
B
15． 已知2
21
(1)(3)m
m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？
16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：
（1）弦AB 的长； （2） AB
⌒ 的长．
17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y 的对应值表：
x 0 2 y
?3
?4
?3
（1）求出二次函数的解析式；
（2）将表中的空白处填写完整；
（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； （4）根据图象回答：
当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________
18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ．
x
O y
O
C B A O
A
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
四．应用题（19题6分，20题5分，21题4分）
19．桐桐和大诚玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的3张牌中也抽出一张．
桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．（1）请用列表（或树状图）表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
G O
B A
20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？
21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置． （保留作图痕迹，不写作法）
五．解答题（本题5分）
22．已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系．
六．综合运用（23、25题7分，24题8分）
23．已知： 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2?bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1． （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；
（2）求代数式akc
ab
b k
c +-22)(的值；
（3）求证： 关于x 的一元二次方程ax 2?bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根．
24．已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x 轴于点D．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的
周长．
试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？
第24题图
25．抛物线23y ax bx =+-交x 轴于B A 、两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为直线1=x ，4AB =．
（1）求二次函数23y ax bx =+-的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到C B 、两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于N M 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．
初三期中考试参考答案及评分标准 四中 2011.11．04
一、选择题：（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C
C
B
B
A
D
B
B
二、填空题：（本题共16分，每小题4分） 9．
322 10． ?4， 5 11． 849
π
- 12． ①②③⑤（少选1个扣1分，多选或选错均不得分）
三、 解答题：（本题共30分，每小题5分）
13． 计算：()3
031221250-??
? ??-+---π
解：原式=522127---…………．．4分（化简运算对一个数给1分） =4228-……………………5分 14．用配方法解方程：
2
12302
x x --= 解：
2
1(4)302x x --= ………．
．1分 2
1(2)52
x -= ………．．3分
210x -=±
∴ 12210,210x x =+=- ……．．5分
15．已知2
21
(1)(3)m
m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？
解：依题设，若原函数为二次函数，则有210
212m m m +≠??--=? (2)
解得 m =3 ………．．．5分 16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：
（1） 弦AB 的长； （2） AB
⌒ 的长． 解：依题设有OC ⊥AB 于C ，又∵AB 为⊙O 的弦
∴ AC =BC =1
2AB ……… 2分
连结OA 则 22AC OA OC =- 又∵OA =6，OC =3
∴ AC =33 ∴ AB =63 ………3分
（2）由（1）知，在Rt △ACO 中，OA =6，OC =3 ∴ ∠OAC =30° ∴ ∠AOC =60°
∴ ∠AOB =120° ………4分
∴ AB ⌒ = 123
OA π??=4π ………．．5 分
17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y 的对应值表：
x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0
（1）求出二次函数的解析式；
解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x =1， 顶点坐标为（1，4） ……1分
∴ 二次函数解析式可变形为2(1)4y a x =-- 又由图象过（0，-3），有-3=a -4，解得a =1 ∴ 二次函数解析式为223y x x =-- ．．．．．2分
（2）将表中的空白处填写完整； ．．．．．3分
（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2
+bx +c 的图象； ………4分 （4）根据图象回答：
当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．x 3．．．．．5分
18．如图，在△ABC 中，∠C =90°， AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点， 以
OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证： BC 是⊙O 切线；
O
C
B
A
（2）若BD =5， DC =3， 求AC 的长． 解：（1）证明： 如图1，连接OD ．
∵ OA =OD ， AD 平分∠BAC ，
∴ ∠ODA =∠OAD ， ∠OAD =∠CAD ． ………………1分
∴ ∠ODA =∠CAD ．
∴ OD //AC ． …………………………………2分
∴ ∠ODB =∠C =90?．
∴ BC 是⊙O 的切线． ……………………………3分 图1 （2）解法一： 如图2，过D 作DE ⊥AB 于E ． ∴ ∠AED =∠C =90?．
又∵ AD =AD ， ∠EAD =∠CAD ，
∴ △AED ≌△ACD ． ∴ AE =AC ， DE =DC =3．
在Rt △BED 中，∠BED =90?，由勾股定理，得 图2 BE =422=-DE BD ． ………………………………………………………4分 设AC =x （x >0）， 则AE =x ．
在Rt △ABC 中，∠C =90?， BC =BD +DC =8， AB =x +4， 由勾股定理，得 x 2 +82= （x +4） 2． 解得x =6．
即 AC =6． …………………………………………………………5分 解法二： 如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB ． ∵ AD =AD ， ∠EAD =∠BAD ， ∴ △AED ≌△ABD ． ∴ ED =BD=5．
在Rt △DCE 中，∠DCE =90?， 由勾股定理，得
CE =422=-DC DE ． ………… ……………4分 图3
在Rt △ABC 中，∠ACB =90?， BC =BD +DC =8， 由勾股定理，得 AC 2 +BC 2= AB 2．
即 AC 2 +82=（AC +4） 2．
解得 AC =6． …………………………………………………………5分
19． 解：（1） 树状图为：
共有12种可能结果． ·················································································· 3分 （2）游戏公平． ···················································································· 4分 ∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：
D
C
A
O
B E
B
D
C
A
O E
B D
C
A
O
G O B D A
C
E （6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．
∴ 桐桐获胜的概率P =
126=21
． ·································································· 5分 大诚获胜的概率也为2
1
． ··········································································· 6分
∴ 游戏公平．
20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件．若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？ 解：设若想盈利1200元，每件器材应降价x 元，则有
(40)(202)12
x x -+= ……………．2分 可解得1210,20x x ==，
答：若想盈利1200元，每件器材降价10元或20元均可 ………．3分 设降价x 元时，盈利为y 元，则 (40)(202)y x x =-+ 0 由此可知，当降价15元时，最大获利为1250元． …………5分． 21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置． （保留作图痕迹，不写作法） 任作2弦 给1分，两条中垂线各1分，标出并写出 点O 即为所求给1分 五．解答题（本题5分） 22． 已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系． 解：线段AC 与线段BC 垂直且相等 ………1分 证明：连结AD ………2分 ∵ 四边形AEDG 为正方形 ∴ ∠ADE =45° ∵ 四边形ABCD 内接⊙O ∴∠B +∠ADC =180° ……．．．3分 又∵∠ADE +∠ADC =180° ∴∠B =∠ADE =45° 又∵AB 为⊙O 直径 ∴ ∠ACB =90°，即AC ⊥BC ……4分 ∴ ∠BAC =45° ∴ AC =BC ……．．5分 23． 解：（1）解：由 kx =x +2，得（k -1） x =2． 依题意 k -1≠0．∴ 1 2 -= k x ． ……………………………………1分 ∵ 方程的根为正整数，k 为整数， ∴ k -1=1或k -1=2． ∴ k 1= 2， k 2=3． …………………………………………………2分 （2）解：依题意，二次函数y =ax 2-bx +kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a -b +kc ， kc = b -a ． ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.12 2-=--a ab ab a …3分 （3）证明：方程②的判别式为 Δ=（- b ）2-4a c = b 2-4ac ． 由a ≠0， c ≠0， 得ac ≠0． 证法一： （ i ）若ac <0， 则-4ac >0． 故Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根．……4分 （ ii ）若ac >0， 由（2）知a -b +kc =0， 故 b =a +kc ． Δ=b 2-4ac = （a +kc ）2-4ac =a 2+2kac +（kc ）2-4ac = a 2-2kac +（kc ）2+4kac -4ac =（a -kc ）2+4ac （k -1）． …………………………………………………5分 ∵ 方程kx =x +2的根为正实数， ∴ 方程（k -1） x =2的根为正实数． 由 x >0， 2>0， 得 k -1>0． …………………………………6分 ∴ 4ac （k -1）>0． ∵ （a -kc ）2≥0， ∴Δ=（a -kc ）2+4ac （k -1）>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………7分 证法二： （ i ）若ac <0， 则-4ac >0． 故Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根． ……4分 （ ii ）若ac >0，∵ 抛物线y =ax 2-bx +kc 与x 轴有交点， ∴ Δ1=（-b ）2-4akc =b 2-4akc ≥0． （b 2-4ac ）-（ b 2-4akc ）=4ac （k -1）． 由证法一知 k -1>0， ∴ b 2-4ac > b 2-4akc ≥0． ∴ Δ= b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………………7分 综上， 方程②有两个不相等的实数根． 证法三：由已知，a b kc =-，∴2222 244()(2)4(1)b ac b c b kc b c k c ?=-=--=-+- 可以证明2b c -和c 不能同时为0（否则0a =），而10k ->，因此20?>． 24．解：（1）∵A （2，0）， ∴OA =2． 作BG ⊥OA 于G ， ∵△OAB 为正三角形，∴OG =1，BG =3， ∴B （1，3）． ………………………………1分 连AC ，∵∠AOC =90°，∠ACO =∠ABO =60°． （第24题） 90AOC ∠=，∴OC = 3 3 2． ∴C （0， 3 3 2）． …………………………………2分 （2）∵∠AOC =90°，∴AC 是圆的直径， 又∵CD 是圆的切线，∴CD ⊥AC ． ∴∠OCD =30°，OD = 32．∴D （3 2 -，0）． 设直线CD 的函数解析式为y =kx +b （k ≠0）， 则??? ????+-==b k b 320332，解得?????==3323b k ∴直线CD 的解析式为y =3 3 23+x ．…4分 （3）∵AB =OA =2，OD = 32，CD =2OD =34 ，BC =OC =332， ∴四边形ABCD 的周长6+ 3 3 2． 设AE =t ，△AEF 的面积为S ， 则AF =3+ 33－t ，S =t 4 3（3+t -33 ）． ∵S =t 4 3（3+t -33）=??? ?????++???? ??+--2337639432 t ． ∵点E 、F 分别在线段AB 、AD 上， ∴?? ???+≤-+ ≤≤≤32233302 0t t ∴2331≤≤+t …………………………6分 ∴当t =639+时，S 最大=8 3 1237+．…………8分 25．（1）设抛物线的解析式为2(1)y a x h =-+， ∵点(3 0)B ，、0 3C -（，）在抛物线上， （第24题） E F ∴403.a h a h +=??+=-?， 解得1 4.a h =??=-? ， ∴抛物线的解析式为22(1)423y x x x =--=--． ……………2分 （2）223(1)(3)y x x x x =--=+-， ∴A （1-，0），B （3，0）． ∴221310AC =+=． ∴P A=PB ， ∴PB PC PA PC -=-． ………．．3分 如图1，在△P AC 中，PA PC AC -<， 当P 在AC 的延长线上时，10PA PC AC -==． 设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∴03.k b b -+=??=-?， 解得33.k b =-??=-? ， ∴直线AC 的解析式为33y x =--． 当1x =时，336y =--=-． ∴当点P 的坐标为（1，6-）时，PA PC -的最大值为10．……………．5分 （3）如图2，当以MN 为直径的圆与x 轴相切时，N y r =． ∵点N 的横坐标为1r +， ∴22(1)2(1)34N y r r r =+-+-=-． ∴24r r -=． 解得11172r +=，2117 2 r -+=． ……………．．7分 新课标第一网系列资料 2020北京四中高三（上）期中 语文 （试卷满分为150分，考试时间为150分钟） 一、本大题共5小题，共18分。 认真阅读下面的材料，然后完成1－5题。 材料一 就算让贾公彦拍破脑袋，也不会知道在一千年后，他会被人们认为是指纹识别技术的最早发现者。这位唐朝的儒生凭借对周礼的研究，曾做过太常博士。《周礼》中介绍过周代的一个官职“司市”，类似于现在的市场监管人员。在对“司市”的描述中，提到了一个词叫“质剂”。汉代的郑玄注释说：“质剂谓两书一扎，同而别之也，若今下手书。”“下手书”这个汉代的名词到唐朝时已经不被人熟悉了，贾公彦就在《周礼义疏》中写道：“汉时下手书即今画指券。”也就是说，汉朝的“下手书”就相当于唐朝的一种被称为“画指券”的契约文书， 它要求签约的甲乙方及中间人都要把手指在纸张上平放，画下食指上三条指节，以此作为证明。本来，贾公彦的这条注释十分平常，但德国学者罗伯特·海因德尔偶然看到了这一段文字，顿时大感兴奋。他不仅将文字的内容写入了其在1927年出版的《指纹鉴定》，还盛赞贾公彦是世界上最早发现并阐述指纹性质及其应用的人。于是，贾公彦这位古人就莫名其妙地多了一个身份——指纹识别第一人。 欧洲人对指纹的应用似乎要晚得多。但在认清了指纹的科学性质之后，他们迅速地把这些发现应用到了实践。渐渐地，人们还发现人脸、虹膜、声纹、DNA等都有和指纹类似的独特、 唯一的性质，可以被用来进行人的身份识别。于是，一种全新的，综合运用多种高科技手段，通过人体固有的生理特性和行为特征等“生物密钥”来实现个人身份鉴别的技术就诞生了。这种技术，就是我们现在十分熟悉的生物识别技术。 近几年，在智能手机、移动互联、人工智能等技术的推进之下，生物识别技术更是迅速普及。有了按指纹、刷脸等技术，我们就不再需要记忆繁琐的密码，进行身份验证时的效率一下子就提升了很多。当然，生物识别技术也有着缺陷和相应的风险。用生物密钥来进行身份识别的原理就是对关键点采样，然后对这些采样点的特征进行比对。在这样的背景下，很多因素都可能对识别结果产生干扰。一方面，一些外部环境因素可能对生物识别的准确性产生比较大的影响；另一方面，人们本身的生物特征变化也可能干扰生物识别的准确性，像整容、受伤、年龄变化，乃至佩戴隐形眼镜等事件都可能会对生物识别的结果产生影响。 （取材于陈永伟的相关文章） 1．根据材料一，下列表述正确的一项是（3分） 北京四中2021~2021学年初二上期中考试数学试题及 答案 （考试时刻：100分钟满分：120分） 姓名：班级：成绩: ____________ 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）． A．B．C．D． 2．下列各式不能 ．．分解因式的是（）． A．2 24 x x -B．2 1 4 x x ++C．22 9 x y +D．2 1m - 3．点P（－3，5）关于y轴的对称点的坐标是（）． A．（3，5）B．（3，－5）C．（5，－3）D．（－3，－5） 4. 如图，Rt ABC △中，90 C ∠=°，ABC ∠的平分线BD交AC于点D，若3cm CD=，则点D到AB的距离是（）． A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 5．下列各式中，正确的是（）． A． 33 55 x x y y - -= - B． a b a b c c +-+ -= C． a b a b c c --- = - D． a a b a a b -= -- 6．下列命题是真命题的是（）． A．等底等高的两个三角形全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 7．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，假如将 △ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′ 的度数（）． A．25?B．30?C．35?D．45? 8．在等腰ABC ?中，已知AB=2BC，AB=20，则ABC ?的周长为（）．A．40 B．50 C．40或50 D．无法确定 9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范畴是（）． A．2 < x < 12 B．5 < x < 7 C．1 < x < 6 D．无 法确定 10．如图，在RtΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平 A B D D' C （第7题图） D C B （第4题图） （第10题图） 高中数学精品资料 2020.8 【人教版高一数学模拟试卷】 北京市四中上学期高一年级期末测验数学试卷 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分 考试时间：120分钟 卷（I ） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ?210cos = A. 2 1 B. 2 3 C. 2 1- D. 2 3- 2. 设向量()?? ? ??==21, 21,0,1，则下列结论中正确的是 A. ||||= B. 2 2= ? C. 与-垂直 D. ∥ 3. 已知?? ? ??- ∈0,2πα，53cos =a ，则=αtan A. 43 B. 4 3- C. 3 4 D. 3 4- 4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===?，则=-|2| A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 5. 若 2 4 π θπ < <，则下列各式中正确的是 A. θθθtan cos sin << B. θθθsin tan cos << C. θθθcos sin tan << D. θθθtan sin cos << 6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PB D. 0=+PB PA 7. 函数14cos 22 -?? ? ? ?- =πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数 8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=?AC d ，则=?BC d A. 0 B. －4 C.4 D. 4或－4 9. 若函数()?? ? ? ?<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10. 若()()m x x f ++=?ωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=??? ? ?+4π，且18-=?? ? ??πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3± C. －3或1 D. －1或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。 12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若() c b a ∥+，则=m ________。 13. ??? ? ? + 6tan πα21=，316tan -=??? ? ? -πβ，则()=+βαtan _________。 14. 若函数()x x f 2 sin =，则=?? ? ??12πf _________， ，单调增区间是_________。 15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3= ，1||=AD ，则=?AD AC _________。 16. 定义运算b a *为：()()? ??>≤=b a b b a a b a *。例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。 三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17. （本小题满分6分） 已知：如图，两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为3 2π ，点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点。 【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x =3时，我们就 无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果()01b a N a a =>≠，且，那么数 b 叫做以a 为底N 的对数， 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数恒等式：log log a b N a a N a N N b ?=?=?=? 3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性 质 对数函数的图 像 与 对 数 的 概 念 指对互化 运 算 以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作. (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1)()log log log a a a MN M N =+； 推广：()()12 1212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N =-； (3)log log a a M M αα=. (五)换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n a a n ∈= 令 log a M=b ， 则有a b =M ， (a b )n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>= c c a M M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =?， 即a M b c c log log =， 即)1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a 北京四中2007-2008学年度第一学期期中测验初二年级数学学科 数学试卷 （考试时间为90分钟，试卷满分为100分） 班级_____________ 学号__________ 姓名___________ 一、选择题：（3分×10） 1.下列各式中，正确的是（ ） A ． 2 2 2 24(2)a ab b a b ++=+ B ．a b a b c c -+-= C ．1011(0.1)(0.1)10 -+= D ．3322 ()()a b a b a ab b +=+++ 2．代数式-1+分解因式的结果是（ ） A ．（-1+）2 B ．+1) C ．不能进行 D ．+1) 3．从关系式y=2x+b 中取得不同的b 值可以得到不同的直线，那么这些直线（ ） A ．交于一点 B ．互相平行 C ．有无数个交点 D ．没有确定的关系 4．下列四副图案中，不是轴对称图形的是（ ） 5．函数3 22x y x += --的自变量取值范围是（ ） A ．-2≤x ≥2 B. X ≥-2且x ≠1 C. X>-2 D. -2≤x ≥2且x ≠1 6．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，它的周长为24，又AD 垂直BC ，垂足为D ，△ABD 的周长为20，则AD 的长（ ） A ．6 B ． 8 C ．10 D ．12 7．下列命题中，不正确的是（ ） A ．关于某条直线对称的两个三角形全等； B ．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合； C ．角是轴对称图形； D ．等边三角形有3条对称轴 8．下列条件能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E B ．∠A=∠F ，∠B=∠E ，AC=DE C ．AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D D ．∠A=∠D ，∠C=∠F ，AC=EF ， 9．在函数y=|3-x|,y=x-3,y=2x,y=kx+b(其中之一k 、b 为常数，k<0,b>0)中，y 随x 的增大而 增大的函数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 10．一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列强论 ①k<0; ②a>0 ③当x<3时，y1 高一数学（必修1）期中模拟卷 一、选择题：（每小题5分，共12小题，合计60分） 1、 下列几个关系中正确的是（ ） A 、0{0}∈ B 、 0{0}= C 、0{0}? D 、{0}?= 2、设:f M N →是集合M 到集合N 的映射，下列说法正确的是（ ） a 、M 中每一个元素在N 中必有输出值。 b 、N 中每一个元素在M 中必有输入值。 c 、N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的。 d 、N 是M 中所有元素的输出值的集合。 3、下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ） A 、y = B 、2 x y x = C 、 log (0,a x y a a =>且1)a ≠ D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4、集合11 {|,},{|,}2442 k k M x x k Z N x x k Z == +∈==+∈，则（ ） A 、M N = B 、M N ? C 、N M ? D 、M N =? 5、已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=，则(5)f 的值为（ ） A 、19 B 、 13 C 、 -19 D 、 -13 6、若0a <，则函数(1)1x y a =--的图象必过点（ ） A 、(0,1) B 、（0，0） C 、（0，-1） D 、（1，-1） 7、要得到函数(2)1y f x =-+的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） a 向右平移2个单位，向下平移1个单位。 b 向左平移2个单位，向下平移1个单位。 c 向右平移2个单位，向上平移1个单位。 d 向左平移2个单位，向上平移1个单位。 8、定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ） A ．9 B. 14 C.18 D.21 9、已知函数()312f x ax a =+-在区间（-1，1）上存在0x ，使得0()0f x =，则（ ） A 、115a -<< B 、15a > C 、1a <-或1 5 a > D 、1a <- 10、对任意实数x 规定y 取1 4,1,(5)2 x x x -+-三个值中的最小值，则函数y （ A 、有最大值2，最小值1， B 、有最大值2，无最小值， C 、有最大值1，无最小值， D 、无最大值，无最小值。 11、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从2 4m 蔓延到2 12m 需要经过1.5个月; t/月 【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)， (,1)2π，(,0)π，3(,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质 要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）.2020-2021年北京四中高三(上)期中语文
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