无锡市高二数学试题(理科) - 地址

江苏省无锡市2010年秋学期普通高中期末考试试卷 2011．1

高二数学（理科）

注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为

160分

一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分；把结果直接填在题中的横线上） 1．直线x +3y －3=0的倾斜角是_______________．

2．对于命题p ：R x ∈?，使得x 2+ x +1 < 0．则p ?为：_________．

3．若双曲线

2214x y b

-= (b ＞0) 的渐近线方程为y =±12x ，则b 等于 ． 4．以点(2，－1)为圆心且与直线x +y =6相切的圆的方程是 ．

5．已知M （－1，3），N （2，1），点P 在x 轴上，且使PM +PN 取得最小值，则最小值为 ． 6．已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：

①若,//n m n αβ= ，则//,//m m αβ；②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； ③若//,m m n α⊥，则n α⊥；④若,m n αα⊥?，则.m n ⊥ 其中所有真命题的序号是 ．

7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角B —A 1C 1—B 1的正切值为 ．

8．若点P 到直线y =－1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点P 的轨迹方程为 ．

9．设F 1、F 2为曲线C 1：x 26 +y 22 =1的焦点，P 是曲线C 2：x 23

－y 2

=1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面

积为 ． 10．函数f （x ）=（x －3）e x 的单调递增区间是 ．

11．已知p ：一4＜x －a ＜4，q ：(x 一2)(3一x )＞0，若?p 是?q 的充分条件，则实数a 的取值范围是 ．

C D B 1

A 1

D 1

C 1

12．正四面体棱长为1，其外接球的表面积为 ．

13．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 中点为(2，2)，则直线l 的方程为

14．已知函数f (x )=x 3－2x 2+ax +1（a ∈R ），若函数f (x )在区间（1

3

，1）内是减函数，则a 的取值范围是 ．

二、解答题（本大题共有6小题，满分80分．解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤）

15．如图，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2，0)，直角顶点B （0，－22），顶点C 在x 轴上，

点P 为线段OA 的中点． （Ⅰ）求BC 边所在直线方程；

（Ⅱ）M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；

（Ⅲ）若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．

16．（本题满分14分

）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC =2a ，60A ∠=

，E 为线段AB 的

中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使A ′C =2a ， F 为线段A ′C 的中点．

（Ⅰ）求证：BF ∥平面A ′DE ；

（Ⅱ）求证：平面A ′DE ⊥平面ABCD ．

17． 如图，某纸箱厂用矩形硬纸板（PQST ）割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱．其中矩形ABCD 为长方体的下底面，两全等矩形EFNM 、HGNM 拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB 为x ．

（Ⅰ）若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm 、50cm 、40cm 、则硬纸板PQST 的长、宽应为多大？

（Ⅱ）若硬纸板PQST 的长PT =240cm ，宽TS =150cm ，按此设计，当纸箱的长AB 为何值时，纸箱体积最大？并计算最

大体积．

A

E

C

F

A

D

C A B D

E H M 1

N 1 Q T

S H 1 E 1 G 1 G F F 1

P M

N

E D

C

G

H A B M N F

18．（本题满分16分）

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a ．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．

19．（本题满分16分）

在平面直角坐标系中，椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=(a＞b＞0)，圆O

：x2+y2=a2，且过点A（

a2

c，0）

所作圆的两条切线互相垂直．

（Ⅰ）求椭圆离心率；

（Ⅱ）若直线y=23与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；

（Ⅲ）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点P到点T的最远距离不大于52，求椭圆C的短轴长的取值范围．

20．(本题满分16分)

已知f（x）=x ln x，g（x）=x3+ax2－x+2．

(Ⅰ)若a=1，求函数y= g（x）的图像过点P(－1,3)的切线方程；

(Ⅱ)对一切的x∈（0，+∞），2 f（x）≤g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围．

江苏省无锡市高二数学试题（理科）参考答案

一、填空题（每题5分，共70分）

1．56π 2．R x ∈?，均有x 2+ x +1≥0 3．1． 4．(x －2)2+(y +1)2=25

2 5．5 6．②④ 7． 2 8．x 2=12y 9． 2 10．(2，+∞) 11．－1≤a ≤6 12． 3

2π 13． y =x 14．（－∞，1]

二、解答题

15．（Ⅰ）∵k AB =－2，AB ⊥BC ，∴k CB =

2

2

， ……………………………………………………2分 ∴直线BC 方程为:y =

2

2

x －22． …………………………………………………4分 （Ⅱ）直线BC 与x 轴交于C,令y =0，得C (4，0)，∴圆心M （1，0），………………………7分

又∵AM =3，∴外接圆的方程为2

2

(1)9x y -+=． …………………………………10分 （Ⅲ）∵P (－1，0)，M (1，0)，

∵圆N 过点P (－1，0)，∴PN 是该圆的半径．

又∵动圆N 与圆M 内切，∴MN =3－PN ，即MN + PN =3． ……………………………12分 ∴点N 的轨迹是以M 、P 为焦点，长轴长为3的椭圆， ……………………………13分

∴a =32，c =1，b 2=a 2－c 2=5

4，∴轨迹方程为

22

195

4

4

x y +=． …………………………………14分 16． (Ⅰ) 取A ′D 的中点G ，连结GF ，GE ，由条件易知：

FG ∥CD ，FG =

12CD ，BE ∥CD ，BE =1

2

CD ． ………………………………………3分 ∴FG ∥BE ，FG =BE ．

∴四边形BEGF 为平行四边形,

∴BF ∥EG ， …………………………………………………5分 又BF ?平面A ′DE 内，

∴BF ∥平面A ′DE ． …………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC =2a ，AE =EB =EA ′=AD = DA ′=a ，

取DE 中点H ，连结AH 、CH ，则H 为DE 中点，∴AH ⊥DE ，A ′H ⊥DE ， ……………8分

∵∠A ＝∠A ′=60°，∴AH = A ′H =

32a ，DH =a 2

． 在△CHD 中, CH 2=DH 2+DC 2－2 DH ×DC cos60°=(a 2)2+(2a)2－2×a 2×2a ×12=13

4a 2 ． ……………9分

在△CHA ′中，∵CH 2+ A ′H 2=

134a 2 +(3

2

a )2=4a 2=A ′C 2， ∴A ′H ⊥HC ， ………………………………………………11分

又∵HC ∩DE =H ，∴A ′H ⊥面ABCD ． ………………………………………………12分 又∵A ′H ?面ADE ，∵面ADE ⊥面ABCD ． …………………………………………………14分 17．（Ⅰ）由题意：PQ =AB +2H 1A =80+2×40=160（cm ），

PT =AD +2AH +2HM =2AD +2AH =2×50+2×40=180（cm ）． …………………………4分 （Ⅱ）∵PT =240，PQ =150，AB 为x （0＜x ＜150）， ∴AH =AH 1=12（TS －AB ）=1

2（150－x ）．

∵AD = M 1H +EM ，AH =DE ，

∴AD =12（MM 1－2AH ）=12（PT －2AH ）=12[240－（150－x ）]=45+1

2

x ， ……………7分

∴纸箱体积V （x ）=12 x （150－x ）（45+12x ）=－1

4 x 3+1

5 x 2+3375x ． …………………8分

V ′(x )=－3

4

x 2+30 x +3375．

令V ′(x )=0，x 2－40x －4500=0，解得：x 1=90，x 2=－50（不合题意，舍去）．………10分

当x ∈（0，90）时，V ′(x )＞0，V （x ）是增函数；

当x ∈（90，150）时，V ′(x )＜0，V （x ）是减函数，

∴当x =90时，V （x ）取到极大值V （90）=243000． …………………12分 ∵V （x ）在（0，150）上只有一个极值，所以它是最大值．

∴当纸箱的长AB =90时，纸箱体积最大，最大体积为243000（cm 3）．………………14分

18．（1）建立如图坐标系，于是)0,0,1(B ，)1,0,1(1B ，)1,1,0(1C ，),0,0(1a A ，（0>a ），

)0,1,1(11-=→-C B ，),0,1(1a B A -=→-，∴ 1111-=?→

-→-B A C B ．…………………………………………3分

由于异面直线B A 1与11C B 所成的角060，

所以→

-11C B 与→

-B A 1的夹角为0

120， 即1120cos ||||0

111-=?→

-→

-B A C B ，

11)2

1

(122=?-=-+??a a ．………………6分

（2）设向量),,(z y x n =→且⊥→

n 平面11BC A

于是→

--→

⊥B A n 1且→

--→

⊥11C A n ，即01=?→

--→B A n ，且011=?→

--→

C A n ，

又)1,0,1(1-=→

-B A ，)0,1,0(11=→

-C A ，所以0,

0,

y z y -=??=?不妨设)1,0,1(=→n …………………………8分

同理得)0,1,1(=→m ，使⊥→

m 平面11C BB ， ……………………………………………………………10分 设→

m 与→

n 的夹角为θ，所以依θcos ||||??=?→

→→→n m n m ，

0602

1

cos 1cos 22=?=

?=???θθθ， …………………………………………12分 ⊥→

m 平面11C BB ，⊥→

n 平面11BC A ，

因此平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为060．………………………………………14分

19（Ⅰ）由条件：过点A （a 2

c ，0）作圆的两切线互相垂直，

∴OA =2a ，即：a 2c =2a ，∴e =2

2

． …………………………………………………3分

（Ⅱ）∵e =22，∴a 2=2c 2，a 2=2b 2

，∴椭圆C ：x 22b 2+y 2b

2=1． …………………………………………5分

222

,

x y a y ?+=??

=??得x 2=a 2－12，∴DE =2a 2－12,

22

221,2x y b b

y ?+=???=?

得x 2=2b 2－24，∴MN

=, …………………………………7分 由DE =2MN ，得：2

12a -=4（2b 2－24），∴2b 2－12=4（2b 2－24）解得：b 2=14，a 2=28，

∴椭圆方程为：

22

12814

x y +=． …………………………………………………9分 （Ⅲ）∵点T （0，3）在椭圆内部，∴b ＞3， 设P （x ，y ）为椭圆上任一点，则

PT 2=x 2+(y －3)2=2b 2－2y 2+(y －3)2=－(y +3)2+2b 2+18，其中，－b ＜y ＜b ， …………………12分 ∵b ＞3，∴－b ＜－3，

∴当y =－3时，PT 2的最大值2b 2+18． ……………………………………………………14分 依题意：PT ≤52，∴PT 2≤50， ∴2b 2+18≤50，∴0＜b ≤4，

又∵b ＞3，∴3＜b ≤4，即6＜2b ≤8，

∴椭圆C 的短轴长的取值范围6＜b ≤8． …………………………………………………16分 20．解:(Ⅰ) a =1时，g （x ）=x 3+x 2－x +2， g ′(x )=3x 2+2x －1， ……………………………………………1分

(ⅰ)若P (－1,3)不是切点,设切点坐标是M （x 0，y 0）（x 0≠－1），

有：y 0－3x 0+1

=3x 02+2x 0－1， ………………………………………………………3分

将y 0=x 03+x 02－x 0+2代入上式整理得：x 0（x 02+2x 0+1）=0， 得x 0=0，x 0=－1（不合舍去）， ……………………………………………………………7分

此时切线斜率k 1=3×02

+2×0－1=－1， 切线方程为y －3=－（x +1），即x +y －2=0． …………………………………………5分 (ⅱ)若P （－1,3）是切点, 则切线斜率k 2=23(1)2(1)10?-+?--=．

此时切线方程为y =1． ……………………………………………………………………7分 综上, 函数()223+--=x x x x g 的图像过点P (－1,3)的切线方程为x +y －2=0或y =1． ………8分 (Ⅱ)由题意:2123ln 22+-+≤ax x x x 在()+∞∈,0x 上恒成立，

即123ln 22++≤ax x x x ，

可得31

ln 22a x x x ≥-

-， …………………………………………………………………………10分 设()x x x x h 2123ln --=, 则22

131(1)(31)

()222x x h x x x x -+'=-+=，……………………………………………………………12分

令h ′(x )=0，得x =1，x =－1

3

(舍)，

当10<x h ;当1>x 时, ()0'

∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =－2 ， ……………………………………………………15分 ∴a ≥－2．

∴a 的取值范围是[2,)-+∞． …………………………………………………………………………16分