2015-2016学年度指数综合练习
2015-2016学年度指数综合练习
1．函数1()4x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ）
A ．（5，1）
B ．（1，5）
C ．（1，4）
D ．（4，1） 2．化简
的结果为（ ） A ．5 B ． C ．﹣ D ．﹣5
3．函数]1,0[在x a y =上的最大值与最小值的和为3，则=a （ ）
A B ．2 C ．4 D
4．函数()()01x f x a
a =<<在区间[0，2]则a 的值为（ ）
5，则N C M R 等于（ ） A ．[]1,1- B ．(1,0)- C ．[)3,1 D ．(0,1)
6．指数函数()(1)x
f x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a >
B ．2a >
C ．01a <<
D ．12a <<
7．函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ）
8．设d c b a ,,,都是不等于的正数，x x x x d y c y b y a y ====,,,在同一坐标系中的图像如图所示，则d c b a ,,,的大小顺序是（ ）
A 、d c b a <<<.
B 、c d b a <<<.
C 、c d a b <<<. C 、d c a b <<<.
9．设，则（ ）
A. B. C. D.
10．已知a
b ＝0.32，0.20.3
c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )
A ．b>c>a
B ．b>a>c
C ．a>b>c
D ．c>b>a
11．已知函数，若，则实数（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．9
12．函数
( )
(A)[0,+∞) (B)[0,2]
(C)[0,2) (D)(0,2)
13
．
(A) (-)1,-∞ (B) (),0()0,+∞∞- (C) (-1,+)∞ (D) (-),0()1,+∞-∞ 14．若函数 的定义域为R ，则a 的取值范围是(
) A ． B ． C ． D ． 15．-x 3在区间[-1,1]上的最大值等于（
）
16有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()2,1 C ．()+∞,0 D ．()1,0
1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???312y y y >>213y y y >>132y y y >>123y y y >>
高中数学函数相关知识点整理.doc
高中数学函数相关知识点整理 函数在高中数学中的地位不可动摇，考生必须掌握函数相关知识点，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 高中数学反比例函数知识点 形如 y=k/x(k为常数且k0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为|k|。 知识点： 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。 2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(xm)m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 高中数学对数函数知识点 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，
因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1，0)这点。 (4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 高中数学指数函数知识点 指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 可以得到： (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
实数指数幂及运算
实数指数幂及运算 教学目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。 掌握根式和有理数指数幂的意义 注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 教学重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件 教学难点：实数指数幂的运算 教学过程： 一、正整数指数幂（复习）： 1．()n a n N +∈的意义： n n a a a a =? 2．()n a n N +∈的运算： （1）m n m n a a a +?= （2）()m n m n a a ?= （3）(,0)m m n n a a m n a a -=>≠ （4）()m m m a b a b ?=? 二、负整数指数幂（拓展）： 规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a -=≠ 三、分数指数： 1．复习： 问题： 2x a = 3 x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展： 如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根； 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。 n 叫做根指数。 3．根式性质： (1) (1,)n a n n N +=>∈ (2) a n a n ?=?-?，当为正奇数时，当为正偶数时 4．分数指数幂（有理指数幂）： （1）正分数指数幂： 1 0)n a a => 0,,,)m n m a a n m N n +=>∈且为既约分数
（2）负分数指数幂：1 (0,,,)m n m n m a a n m N n a -+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 四、无理指数幂： 1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数 (1) a a a αβαβ+?= (2) ()a a αβαβ?= (3) ()a b a b ααα?=? 五、典型例题： 例1、（整数指数幂）化简下列各式： （1）()03.14π- （2）512-??- ??? （3）()42x - （4 ） ))109 22 （5）()32212339a b a b a b -----??- （6）()()()()33334411a a a a a a a a ----+-++- 练习： 一组： （1）57x x （2）232(2)a b --- （3）23(2)()x x -- （4）13 ()()a ab b - （5）2222(2)()a a a a ---+÷- （6）2222()()x y x y ---÷- 二组： （1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b =，则25m n -= . （2 ）已知21n a =，* ()n N ∈，则33n n n n a a a a ---=- （3）已知11a a --=，则66a a -+的值为 例2、（根式）求下列各式的值： （1 （2 （3 2 （4 )a b <
指数函数第3课时指数与指数幂的运算(三)
指数函数第3课时指数与指数幂的运算（三） （一）教学目标 1．知识与技能： 能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. 2．过程与方法： 通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质. 3．情感、态度、价值观 （1）培养学生观察、分析问题的能力； （2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. （二）教学重点、难点 1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值. 2．难点：有理指数幂性质的灵活应用. （三）教学方法 1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化. 2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程. （四）教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意 图 复习引入复习 1.分数指数幂的概念. * (0,,) m n m n a a a m n N =>∈ * 1 (0,,) m n m n a a m n N a - =>∈ 2.分数指数幂的运算性质. (0,,) r s r s a a a a r R s R + ?=>∈∈ ()(0,,) r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,) r r r a b a b a r R ?=>∈ 师：提出问题 生：复习回顾 师：总结完善 复 习旧 知，为 新课作 铺垫.
应用举例 例1．（P56，例4）计算下列各式 （式中字母都是正数） （1） 2115 11 3366 22 (2)(6)(3) a b a b a b -÷- （2） 3 1 8 8 4 () m n- 学生思考，口答，教师板演、点 评． 例 1 （先由学生观察以上两个 式子的特征，然后分析、提问、解答） 分析：四则运算的顺序是先算乘 方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号的.整数幂的运算性质 及运算规律扩充到分数指数幂后，其 运算顺序仍符合我们以前的四则运 算顺序. 我们看到（1）小题是单项式的 乘除运算；（2）小题是乘方形式的 运算，它们应让如何计算呢？ 其实，第（1）小题是单项式的 乘除法，可以用单项式的运算顺序进 行. 第（2）小题是乘方运算，可先 按积的乘方计算，再按幂的乘方进行 计算. 解：（1）原式 = 211115 326236 [2(6)(3)]a b +-+- ?-÷- =0 4ab =4a （2）原式= 3 1 88 8 4 ()() m n- =23 m n- 通 过这二 个例题 的解 答，巩 固所学 的分数 指数幂 与根式 的互 化，以 及分数 指数幂 的求 值，提 高运算 能力．
3.2.3指数函数与对数函数的关系教案
3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1).
高中数学-实数指数幂及其运算练习
高中数学-实数指数幂及其运算练习课时过关·能力提升 1根式等于() A.B.C.D.- 解析原式=(a-2. 答案A 2化简的结果是() A. B. C.3 D.5 解析原式=. 答案B 3()4()4等于() A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 解析原式==a2a2=a2+2=a4. 答案C 4若xy≠0,则等式=-2xy成立的条件是() A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 D.x<0, y<0 解析因为=2=2|x|·|y|·=-2xy,所以y>0,且x<0.答案C
5若a b+a-b=2,则a b-a-b的值等于() A. B.±2 C.-2 D.2 解析∵(a b-a-b)2=(a b+a-b)2-4, ∴(a b-a-b)2=8-4=4,∴a b-a-b=±2. 答案B 6有下列结论: ①当a<0时,(a2=a3;②=|a|;③在代数式y=(x-2-(3x-7)0中x的取值范围为(2,+∞);④若 100a=5,10b=2,则 2a+b=1.其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 解析只有④正确,由100a=102a=5,10b=2,得102a+b=5×2=10,故2a+b=1. 而①中(a2应为-a3,②中③中x的取值范围由确定, 得x∈. 答案B 7计算的值等于() A.1+ B.1- C.2+ D.2- 解析∵ =
= ==1-. ∴原式=×2=2-. 答案D 8+3的值等于. 解析+3=2+. 答案 9若x>0,则(2)(2)-4·(x-)=. 解析原式=4-33-4+4=-27+4=-23. 答案-23 10已知=0,则y x=. 解析∵=|x-1|+|y+3|=0, ∴|x-1|=|y+3|=0,∴x=1,y=-3. ∴y x=(-3)1=-3. 答案-3 11若m-=5,则m2+m-2=. 解析由m-=5可得=25,即m2+m-2-2=25,故m2+m-2=27. 答案27
知识讲解_指数函数及其性质_基础
指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
中职数学基础模块上册实数指数幂及其运算法则word教案
实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0)1(______ ; =-3)x 2(_______; 3)2 1(--=_______ ; =-223 )y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式 （1 （2；
（3）)0(322>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5）12 2 31111362515()()46x y x y x y ----- （6）111222m m m m --+++. 当堂检测： 1. (C 级)化简44)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式： 32x =_________；31a =_________；43)(b a +=_________； 322n m +=_________；32y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)4964(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1.(C 级)计算： (1) 21 6531 -÷a a a (2) )32(431313132----÷ b a b a (3) (4). 643 3)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）3163)278(--b a ； （2）632x x x x （3）22 121)(b a -； （4）302 32)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ）
指数与指数函数(3)
指数与指数函数080612 一、考题选析： 例1、（07江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时， ()31x f x =-，则有（ ） Ａ．132323f f f ?? ???? << ? ? ??????? Ｂ．231323f f f ?????? << ? ? ??????? Ｃ．213332f f f ?????? << ? ? ??????? Ｄ．321233f f f ?????? << ? ? ??????? 例2、（07上海春）若21,x x 为方程1 1 )2 1(2+-=x x 的两个实数解，则=+21x x ； 例3、（05全国Ⅱ）设函数11 ()2 x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围． 例4、（05江西10）已知实数a , b 满足等式,)3 1()2 1 (b a =下列五个关系式 ①0， 225()()4 x g x a e =+ 。若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－ x , 由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ， 则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3 －x ＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－ x . 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
指数函数的基础知识
指数函数基础知识 指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的定义。 一、指数函数的定义： 函数 )10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。 注意点1：为什么要规定01a a >≠且呢？ ①若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x <时，x a 无意义. ②若0a <，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义. 如x )2(-，这时对于 14x = ，1 2x =，…等等，在 实数范围内函数值不存在. ③若1a =，则对于任何x R ∈，1x a =，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定01a a >≠且。在规定以后，对于任何x R ∈，x a 都有意义，且0x a >. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,)+∞ 。 注意点2： 上述指数函数的定义是形式上的定义，它实质上是一种指数的对应关系，以a 为底数 作为指数对应过去。从对应的角度看指数函数的话，就能很容易理解为什么函数1 3+=x y 不 是指数函数，也能理解指数函数的解析式x y a =中，x a 的系数为什么是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 x y a k =+ (01a a >≠且，k Z ∈)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如x y a -= (01a a >≠且)，因为它可以化为 1x y a ?? = ???，其中10a >，且1 1 a ≠。 二、函数的图象 （1）①特征点：指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过两点(0，1)和(1,a)，我们称这两点为指数函数的两个特征点. ②指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象中，y ＝1反映了它的分布特征；而直线x ＝1与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐标则直观反映了指数函数的底数特征，我们称直线x ＝1和y ＝1为指数函数的两条特征线(如右图所示). （2）、函数的图象单调性 当a ＞1时，函数在定义域范围内呈单调递增； 当0＜a ＜1时，函数在定义域范围内呈单调递减；
2.3 指数与指数函数(含解析)
§2.3指数与指数函数1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 m n a＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义 是 m n a ＝1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 (1)R 题型一指数函数的图像与性质 例1(1)如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是_________________. （2）函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图象可能是()
在下列一次函数b ax y +=（10<，不吻合； 由()C ，1b >，则指数函数() x bx b y a a ==中底数01b a <<，不吻合； 所以，应该选()D 。 2、函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 指数函数与对数函数 1、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n 次方根等于a （* ,1N n n ∈>），那么这个数叫a 的n 次方根； n a 叫根式，当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，? ??<-≥==)0()0(||a a a a a a n n （2）、分数指数幂：正分数指数幂：n m n m a a =；负分数指数幂：n m n m a a 1= - 0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）； （3）、运算性质：当Q s r b a ∈>>,,0,0时：r r r rs s r s r s r b a ab a a a a a ===?+)(,)(,， r r a a 1 =； 2、对数及其运算性质：（1）、定义：如果)1,0(≠>=a a N a b ，数b 叫以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中a 叫底数，N 叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN ，以e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN （2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：01log =a ，③、底的对数等于1：1log =a a ，④、积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数： N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =， 方根的对数：M n M a n a log 1 log = ， 1 < 指数函数与对数函数练习题 1、 函数y =)1lg(2-x 的定义域是__________________. 2、已知函数f (x )=log 3(8x +7),那么f ( 2 1 )等于_______________. 3、 与函数y = x 有相同图象的一个函数是( ). A .y =x 2 B. y =x 2x C. y =a log a x (a >0, a ≠1) D. y = log a a x (a>0, a≠1) 4、在同一坐标系中，函数y =x 5.0log 与y =x 2log 的图象之间的关系是( ). A.关于原点对称 B.关于x 轴对称 C.关于直线y =1对称. D.关于y 轴对称 5、下列函数中，在区间(0，+∞)上是增函数的是( ). A.y =－x 2 B.y = x 2－x +2 C.y =(21 )x D.y =x 1log 3.0 6、函数y =)(log 2x -是( ). A. 在区间(－∞，0)上的增函数 B. 在区间(－∞，0)上的减函数 C. 在区间(0，+∞)上的增函数 D. 在区间(0，+∞)上的减函数 7、已知函数f (x )=||2x ,那么函数f (x )( ). A. 是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数 B. 是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数 C. 是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数 D. 是偶函数，且在(0，+∞)上是减函数 8、函数y =||log 3x (x ∈R 且x ≠0)( ) . A. 为奇函数且在(－∞，0)上是减函数 B. 为奇函数且在(－∞，0)上是增函数 C. 是偶函数且在(0，+∞)上是减函数 D. 是偶函数且在(0，+∞)上是增函数 9、如果函数y =x a log 的图象过点(9 1 ，2),则a =___________. 10、 实数2732–3log 22·log 21 8 +lg4+2lg5的值为_____________. 11、若1log 2 1>x ，则x 的取值范围是( ). A. 21< x B.2 10< §3 指数函数的概念及图像和性质（共3课时） 一. 教学目标： 1．知识与技能 （1）理解指数函数的概念和意义； （2）2x y =与1()2 x y =的图象和性质； （3）理解和掌握指数函数的图象和性质； （4）指数函数底数a 对图象的影响； （5）底数a 对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小 （6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观 （1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. （2）培养学生观察问题，分析问题的能力. 二．重、难点 重点： （1）指数函数的概念和性质及其应用. （2）指数函数底数a 对图象的影响； （3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点： （1）利用函数单调性比较指数幂的大小 （2）指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、教法与教具： ①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 四、教学过程 第一课时 讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2 y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R . 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤??x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如1 (2),,8 x y x x =-= 1 先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象. x 指数函数、对数函数、幂函数综合 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【知识框图】 【要点梳理】 要点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n a n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1)当n n n a a =；当n ,0, ,0; n n a a a a a a ≥?==? -∈>；()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： ()0,0,,a b r s Q >>∈ (1)r s r s a a a += (2)()r s rs a a = (3)()r r r ab a b = 要点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 R . 2.指数函数函数性质： 要点三、对数与对数运算 1.对数的定义 §1．4指数运算、指数函数 【复习要点】 1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】 1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 * >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2．指数函数的概念, 性质和图象如表： 中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4．会求函数y =a f (x)的单调区间。 5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1］43 的结果为 （ ） A.5 B.5 C.－5 D.－5 2．将3 22-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．21 2- B ．31 2- C ．2 12 - - D ．65 2- 3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2 33 1a a ?=a B ．2 12 1a a ?- =0 C ．(a 3)2=a 9 D ．61 3 12 1a a a =÷ 4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0 =1 ③y x y x +=+34 33 4 ④6 2 3)5(5-=- A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．化简11111321684 2 1212121212-----?????????? +++++ ? ? ? ? ????? ??????，结果是 （ ） A ．1 1 321122--? ?- ? ?? B ．1 13212--??- ? ?? C ．1 3212-- D ．1 321 122-??- ??? 6 ．4 4 ? ? ? ? 等 于 （ ） A ．16 a B ．8 a C ．4 a D ．2a 【例题选讲】 1．设3 2212 ,-==x x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有 （1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？ 2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）43 1.1，43 4.1，32 1.1 （2）4 316.0- ，2 35 .0- ，8325.6 （3）53 2 )1(+a ，43 2 )1(+a 3．已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围. 4．设01a <<，解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++-> 三角函数 1。角度和弧度的关系 360o =2π , 1= π 180 ,1o = 180 π 2。弧长公式 L=|α|R 扇形面积 S= 2 1LR= 2 1|α|R 2 3。Sin α=r y ,cos α=r x ,tan α=y x ,cot α= y x ,sec α=x r ,csc α=y r 4。当0<α<2 π 时，有sin α<α,sin α α cot 不存在 3 1 3 3 不存在 不存在 7。当角α的终过位于名个象限时，三角函数的正负号如下表 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限 角 sin α\csc α 正 正 负 负 cos α\sec α 正 负 负 正 tan α\cot α 正 负 正 负 8。三角函数的关系 平方关系 sin 2α+cos 2α=1 商数关系 α αcos sin =tan α , α αsin cos =cot α 倒数关系 cot α= α tan 1, csc α= α sin 1, sec α=α cos 1 1+tan 2 α=sec 2 α , 1+cot 2 α=csc 2 α 9。诱导公式 ① 2k π+α与α(k ∈z) Sin(2k π+α)=sin α, cos(2k π+α)=cos α, tan(2k π+α)=tan α, cot(2k π+α)=cot α ② π+α与α(k ∈z) Sin(π+α)= -sin α, cos(π+α）= -cos α, tan(π+α)=tan α, cot(π+α)=cot α ③ π-α与α(k ∈z) Sin(π-α)=sin α, cos(π-α)= -cos α, tan(π-α)= -tan α, cot(π-α)= -cot α ④ -α与α(k ∈z) Sin(-α)= -sin α, cos(-α)=cos α, tan(-α)= -tan α, cot(-α)= -cot α ⑤ 2k π-α与α(k ∈z) Sin(2k π-α)= -sin α, cos(2k π-α)=cos α, tan(2k π-α)= -tan α, cot(2k π-α)= -cot α ⑥ 2π-α与α Sin(2π-α)=cos α, cos(2 π -α)=sin α, 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 《 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； ' 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---21 3321x x 、 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 ？ 练习：（1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d | B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，4指数函数与对数函数基础知识点及练习题
3 指数函数的概念及图像和性质
人教A版数学必修一《指数函数、对数函数、幂函数》综合基础知识讲解
指数运算、指数函数
三角函数指数函数与对数函数公式
指数函数知识点总结