2014广东高考文科数学试卷及答案解析(word版)

2014年全国统一考试(广东卷)

数学 (文科)

一、选择题

{}{}{}

{}{}

{}

1.2,3,4,0,2,3,5,().

.0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则

答案:B

2.(34)25,().

.34.34.34.34z i z z A i B i

C i

D i

-==---+-+已知复数满足则

答案:D 2525(34)25(34)

:=34,.34(34)(34)25

i i z i D i i i ++=

==+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),().

.(2,1).(2,1).(2,0)

.(4,3)

a b b a A B C D =-=--已知向量则

答案:B

28

4.,04,2().

03

.7.8.10.11

x y x y x z x y y A B C D +≤??

≤≤=+??≤≤?

若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C

提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.

A.x

x

2

12-

B.x x sin 3

C.1cos 2+x

D.x

x 22+ 答案:A

111:()2,(),()22(),

222

(),A .

x x

x

x x x f x f x R f x f x f x --=-

-=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选

6.1000,,40,()..50.40.25.20

:1000

:25.40

A B C D C

=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为

7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D A

a b

a b A B a b A B A B

?≤≤=∴≤?≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件

答案提示由正弦定理知

都为正数

2222

8.05,11().

165165

....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等

答案:D

提示:从而两曲线均为双曲线,

又故两双曲线的焦距相等,选D.

123412233414

14

14149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定

答案:D

12121222123

10.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:

①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*

②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();

z z z z z z **=**

④1221z z z z *=*；

则真命题的个数是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

12312313

23132312312312

312131213123123

123123

1231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,

;

B

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对

③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.

(一)必做题（11-13）

''

142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.

12.,,,d,e ________.2:

5

42

:105

x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====

曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示

13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则

2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.

212223242525242322212152:5

:log log log log log ,

log log log log log ,25log ()5log 410,5.

S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则

2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.

C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为

222

1212:(1,2)

:2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).

C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为

15.()1,,2,,___________.

:3:, 3.

ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AE

CDF

AEF AEF AE AE

=?=??+??∴

===?几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长

则

的周长答案的周长提示显然的周长

16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3

f x A x x R π

=+∈

，且5(

)122

f π=

（1） 求A 的值；

（2）

若()()(0,

)2f f π

θθθ--=∈，求()6

f π

θ-

553:(1)(

)sin()sin 3.121234(2)(1):()3sin(),

3

()()3sin()3sin()

33

3(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos

3sin 3

sin (0,),2f A A A f x

x f f πππππ

ππ

θ

θθθπ

πππ

θθθθπ

θθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=

∈解由得又cos ()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-===

17. 某车间20名工人年龄数据如下表:

(1)求这20名工人年龄的众数与极差;

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.

:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为

(2)茎叶图如下:

()2222222

(1928329330531432340)

3:

30,20120:(11)3(2)3(1)5041321020

11

(121123412100)25212.62020+?+?+?+?+?+=??-+?-+?-+?+?+?+??=+++++=?=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为

18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).

ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积

00:(1):,,,

,,,,,,,,,,

.

11

(2),,60,30,==,

22

,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥?∴⊥=?⊥∴⊥?∴⊥⊥?=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而

∥21

12,,2211.

33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ?-?=∴=∴==?=====∴=?==

{}{}2

22119.,(3)3()0,.

(1);

(2);

n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 9

2 8 8 8 9 9 9

3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2

4 0

(3)证明：对一切正整数n ，有

()()().

31

1111112211<+++++n n a a a a a a

221111*********

2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,

0,2, 2.

(2)(3)3()0,:(3)()0,

0(),0,30,,

2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---?=+-=∴+-=>∴==??-+--+=+-+=??>∈∴>+>∴=+?∴≥=-=+--+-?解令得即即由得从而当时12211222,

221,2().313

(3):,()(),221644

111111(1)2(21)44()()()

24411111

111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **?=?==?∴=∈∈+

>+-=-+∴==?

+++-+??

??=?=?-

??????-+--?+-??

????

∴+++++又解法一当时(1)

1111111

()()11111141223(1)444444111111().1143433

1(1)44111111

:(),.

(1)2(21)(21)(21)22121(:)

n n k k a a n n n n a a k k k k k k +??

??<-+-++-

????

-----+-??=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案

22

22

00

222

22

20.:1(0)

(1);

(2)(,),,.

:(1)3,954,

1.

94

(2),,4

x y

C a b

a b

C

P x y C P C P

c

c e a b a c

a

x y

C

x y

+=>>

====∴==-=-=

∴+=

已知椭圆的一个焦点为

求椭圆的标准方程

若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解

椭圆的标准方程为:

若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个

00

22

00

222

0000

22222

000000

(3,2),(3,2).

(),

(),1

94

(94)18()9()40,,0,

(18)()36()4(94)0,4()4

y y k x x

x y

y k x x y

k x k y kx x y kx

k y kx y kx k y kx

-±±

-=-

=-++=

??

++-+--=?=

??

??

----+=--

??

,

它们的坐标分别为

若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为

即将之代入椭圆方程中并整理得:

依题意

即:即2

2

2220

0000122

22

00

22

(94)0,

4

(9)240,,1,:1,

9

13,(3,2),(3,2),

13.

k

y

x k x y k y k k

x

x y

P x y

+=

-∴--+-=∴=-=-

-∴+=-±±

∴+=

两切线相互垂直即

显然这四点也满足以上方程

点的轨迹方程为

32

00

1

21.()1().

3

(1)();

111

(2)0,(0,)(,1),()=().

222

f x x x ax a R

f x

a x f x f

=+++∈

<∈

已知函数

求函数的单调区间

当时试讨论是否存在使得

3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222

111111

()()()()()3224222

11111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ??

-=+++-+++??

??

????=-+-+-??????????=-+++-++-????=-+++++=-

解法一2000020020014712)

111

(0,)(,1),()(),

222

11

4147

120(0,)(,1).

22

0,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x x a x f x f x x a a a a x x +++∴∈=+++=<∴?=-+=->=>∴<

<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,

1212

155,,,,

24425557111

(,)(,),(0,)(,1)()().

124

412222

257511(,][

,0),(0,)(

,1)(1212422a a a x a a x f x f a x f x ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=??

∈-∞---∈????即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().

2f =

00:0,10,

()3,11,(1)()(0,1),

11

1

(0,)(,1),

()=();

222

()30,(

)(0,1,

(1,511

1),()(0,),(,1),422

a i a f x x f x f ii a f x a f x <∴-≤--∈-<<-+-+=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;

51

2)3,11,,(14212525255

(1)()0,0,,;

222412124

51

3)0,01,,(0,142

1775(0)()0,0,,2224124x a x x a f f a a x a x x a f f a -<<-<-∈-+->+>>--<<--<<<-+∈-+->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007

.

12

:

25557111

(,)(,),(0,)(,1)()().

1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().

12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=??

∈-∞---∈=????

时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使