Trie树题解
基于Hash和Trie树的IPv6高速查找和快速增量更新路由算法设计与实现
昆明学院2012届毕业设计（论文） 设计（论文）题目基于Hash和Trie树的IPv6高速查找和快速增量更新路由算法设计与实现 子课题题目 姓名刘晓青 学号 20081101420 所属系信息技术学院 专业年级08级计算机科学与技术 指导教师何英 2012年5月
摘要 由于Internet的速度不断提高、网络流量不断增加和网络规模不断扩大，使得路由器成为制约Internet性能的主要瓶颈之一。随着路由器技术的发展，路由查找速度依然是进一步提高路由器性能的关键要素。本论文首先研究了各种经典的IPv6路由查找算法，并分析了各种路由查找算法的复杂度和存在的问题，对IPv4向IPv6过度的路由查找算法的存在的问题以及路由查找算法的性能参数和复杂度，给出了一种基于hash和trie树高速查找和快速增量更新路由查找算法；其次，对路由缓存优化策略进行改进，并就路由节点进行生物智能化处理，使得路由负载平衡得到改善；最后，通过仿真实验，得出该算法优于以往算法。 关键字：路由查找；最长前缀匹配；Hash表；Trie树；生物智能
Abstract With the development of the internet,the increasing of throughput and the expanding of network,making the router becomes the one of the main bottleneck restricting the internet performance.With the development of routing technology,the speed of the routing lookup is still a key element to further improvement of router performance.This paper studied various classic IPv6 routing lookup algorithms firstly, then analysis the complexity of the various routing lookup algorithms and some existing problems,find the exiting problems in routing lookup algorithms from IPv4 to IPv6 and the performance parameters and complexity of routing lookup algorithms,i served a high speed lookup and fast incremental update routing lookup algorithms based on hash and trie tree;Secondly,i have been done for route cache optimization strategies improvement and conducted route nodal biological intelligent,make the routing load balancing improving;Finally,via the simulation experiment,i know that this algorithm is better than before. Keywords :Route lookup；Longest prefix match；Hash table；Tire；Biological intelligence；
实验三 二叉树的基本操作实现及其应用
二叉树的基本操作实现及其应用 一、实验目的 1．熟悉二叉树结点的结构和对二叉树的基本操作。 2．掌握对二叉树每一种操作的具体实现。 3．学会利用递归方法编写对二叉树这种递归数据结构进行处理的算法。 4.会用二叉树解决简单的实际问题。 二、实验内容 设计程序实现二叉树结点的类型定义和对二叉树的基本操作。该程序包括二叉树结构类型以及每一种操作的具体的函数定义和主函数。 1 按先序次序建立一个二叉树， 2按（A:先序 B:中序 C:后序）遍历输出二叉树的所有结点 以上比做，以下选做 3求二叉树中所有结点数 4求二叉树的深度 三、实验步骤 ㈠、数据结构与核心算法的设计描述 /* 定义DataType为char类型 */ typedef char DataType; /* 二叉树的结点类型 */ typedef struct BitNode { DataType data; struct BitNode *lchild,*rchild; }*BitTree; 相关函数声明： 1、/* 初始化二叉树，即把树根指针置空 */ void BinTreeInit(BitTree *BT) { BT=(BitTree)malloc(sizeof(BitNode)); BT->data=NULL; cout<<"二叉树初始化成功!"<
树结构
第3章树结构 3.2 习题 3.2.1 填空题 3-1已知(L,N)，(G,K)，(G,L)，(G,M)，(B,E)，(B,F)，(D,G)，(D,H)，(D,I)，(D,J)，(A,B)，(A,C)，(A,D)是表示一棵树中具有父子关系的边，那么： （1）树的根、叶、非叶结点分别是__________。 （2）树的高度为______________。 （3）各个结点的度数分别是_____________。 （4）各个结点的层数分别是_____________。 （5）结点G的父亲、真祖先、儿子、真子孙、兄弟分别是__________。 3-2含3个结点的普通树的树形共有（1）____种，其树形分别为（2）__________。 3-3含3个结点的二叉树的树形共有（1）____种，其树形分别为（2）___________；其中有（3）____个是完全二叉树。 3-4图3-1中： 二叉树1的先序、中序、后序序列分别为：（1）_____________。 二叉树2的先序、中序、后序序列分别为：（2）_____________。 图3-1 3-5任何二叉树的叶结点在先序、中序和后序序列中的相对次序_____。 3-6由二叉树的先序序列和中序序列，求后序序列： 先序序列ABDGCEF，中序序列DGBAECF，后序序列是（1）___________。 先序序列ABEFGCD，中序序列BFEGADC，后序序列是（2）___________。 3-7由二叉树的后序序列和中序序列，求先序序列： 后序序列DBKHFEGCA，中序序列DBAKHEFCG，先序序列是（1）__________。
字符串前缀、后缀、子串、字典树
Sicily 1426. Phone List（判断电话号码是否前缀重复）Sample Input 2 3 911 97625999 91125426 5 113 12340 123440 12345 98346 Sample Output NO YES/*用string 类型数组读进所有电话号码，然后用sort 函数对其进行排序。 排序与每个号码的长短无关（前面相同的较短的较小），而是从首位开始逐位比较。 如对13,123,124,11456使用sort函数进行排序，结果会是11456,123,124,13 这样排序之后如果有不相容的两个号码肯定会出现在相邻的两位了，所以对整个数组所有相邻的两位逐位进行比对即可得到结果。*/ #include
树状数组及其应用
树状数组及其应用 ( Binary Indexed Trees ) 一、什么是树状数组 【引例】 假设有一列数{A i}（1<=i<=n），支持如下两种操作： 1.将A k的值加D。（k，D是输入的数） 2.输出A s+A s+1+…+A t（s，t都是输入的数，s<=t） 分析一：线段树 建立一颗线段树（线段长度1~n）。一开始所有结点的count值等于0。 对于操作1，如果把A k的值加D，则把所有覆盖了A k的线段的count值加D。只有log2n 条线段会受到影响，因此时间复杂度是O（log2n）。 每条线段[x..y]的count值实际上就是A x+A x+1+…+A y的值。 对于操作2，实际上就是把[s..t]这条线段分解成为线段树中的结点线段，然后把所有的结点线段的count值相加。该操作（ADD操作）在上一讲线段树中已介绍。时间复杂度为O （log2n）。 分析二：树状数组 树状数组是一种特殊的数据结构，这种数据结构的时空复杂度和线段树相似，但是它的系数要小得多。 增加数组C，其中C[i]=a[i-2^k+1]+……+a[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。由c数组的定义可以得出：
为了对树状数组有个形象的认识，我们先看下面这张图。 如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。 【操作1】修改A[i]的值。可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。 定理1：若a[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2]……C[p m]，则p1=k，而p i+1=p i+2li （l i为p i在二进制中末尾０的个数）。 例如a[1]……a[8]中，a[3] 添加x； p1=k=3 p2=3+20=4 p3=4+22=8 p4=8+23=16>8 由此得出，c[3]、c[4]、c[8]亦应该添加x。 定理的证明如下： 【引理】 若a[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2] ……C[p m]，且p1 实验三二叉树的基本运算 一、实验目的 1、使学生熟练掌握二叉树的逻辑结构和存储结构。 2、熟练掌握二叉树的各种遍历算法。 二、实验内容 [问题描述] 建立一棵二叉树，试编程实现二叉树的如下基本操作： 1. 按先序序列构造一棵二叉链表表示的二叉树T； 2. 对这棵二叉树进行遍历：先序、中序、后序以及层次遍历，分别输出结点的遍历序列； 3. 求二叉树的深度/结点数目/叶结点数目；(选做) 4. 将二叉树每个结点的左右子树交换位置。（选做） [基本要求] 从键盘接受输入（先序），以二叉链表作为存储结构，建立二叉树（以先序来建立）， [测试数据] 如输入：ABCффDEфGффFффф（其中ф表示空格字符） 则输出结果为 先序：ABCDEGF 中序：CBEGDFA 后序：CGEFDBA 层序：ABCDEFG [选作内容] 采用非递归算法实现二叉树遍历。 三、实验前的准备工作 1、掌握树的逻辑结构。 2、掌握二叉树的逻辑结构和存储结构。 3、掌握二叉树的各种遍历算法的实现。 一实验分析 本次试验是关于二叉树的常见操作，主要是二叉树的建立和遍历。二叉树的遍历有多种方法，本次试验我采用递归法，递归法比较简单。 二概要设计 功能实现 1.int CreatBiTree(BiTree &T) 用递归的方法先序建立二叉树, 并用链表储存该二叉树 2.int PreTravel(BiTree &T) 前序遍历 3. int MidTravel(BiTree &T) 中序遍历 4.int PostTravel(BiTree &T) 后序遍历 5.int Depth(BiTree &T) //计算树的深度 6.int howmuch(BiTree T,int h) 采用树节点指针数组，用于存放遍历到的元素地址，如果有左孩子，存入地址，j加一，否则没操作，通过访问数组输出层次遍历的结果。k计算叶子数，j为总节点。 7. int exchang(BiTree &T) 交换左右子树，利用递归，当有左右孩子时才交换 三详细设计 #include 第5章树 【例5-1】写出如图5-1所示的树的叶子结点、非终端结点、每个结点的度及树深度。 解： （1）叶子结点有：B 、D 、F 、G 、H 、I 、 J 。 （2）非终端结点有：A 、C 、E 。 （3）每个结点的度分别是：A 的度为4，C 的度为2，E 的度为3，其余结点的度为0。 （4）树的深度为3。 【例5-7】如图5-5所示的二叉树，要求： （1）写出按先序、中序、后序遍历得到的结点序列。 （2）画出该二叉树的后序线索二叉树。 解： （1） 先序遍历序列：ABDEFC 中序遍历序列：DEFBAC 后序遍历序列：FEDBCA b a c d e f 图5-5 A B C D E F G H I J 图5-4 （2）其后序线索二叉树如图5-6所示。 5％、、G 、H 的 3.假定一棵三叉树的结点数为50，则它的最小高度为（3.C ）。 A.3 B.4 C.5 D.6 4.在一棵二叉树上第4层的结点数最多为（4.D ）。 第六步： 25 30 9 9 18 7 12 8 15 27 43 图5-13 A.2 B.4 C.6 D.8 5.用顺序存储的方法将完全二叉树中的所有结点逐层存放在数组中R[1..n]，结点R[i]若有左孩子，其左孩子的编号为结点（5.B）。 A.R[2i+1] B.R[2i] C.R[i/2] D.R[2i-1] 6.由权值分别为3,8,6,2,5的叶子结点生成一棵哈夫曼树，它的带权路径长度为（6.D）。 A.24 B.48 C.72 D.53 7.线索二叉树是一种（7.C）结构。 A.逻辑 B.逻辑和存储 C.物理 D.线性 8.线索二叉树中，结点p没有左子树的充要条件是（8.B）。 A.p->lc=NULL B.p->ltag=1 C.p->ltag=1且p->lc=NULL D.以上都不对 9.设 10. A. 11. A. 12. A. B. C. D. 13. A. C. 14. A. 15. A. C. 1. 2. 3. 4. 5.由二叉树的先序序列和后序序列可以唯一确定一颗二叉树。（5.×） 6.树的后序遍历与其对应的二叉树的后序遍历序列相同。（6.√） 7.根据任意一种遍历序列即可唯一确定对应的二叉树。（7.√） 8.满二叉树也是完全二叉树。（8.√） 9.哈夫曼树一定是完全二叉树。（9.×） 10.树的子树是无序的。（10.×） 三、填空题 1.假定一棵树的广义表表示为A（B（E），C（F（H，I，J），G），D），则该树的度为_____，树的深度为_____，终端结点的个数为______，单分支结点的个数为______，双分支结点的个数为______，三分支结点的个数为_______，C结点的双亲结点为_______，其孩子结点为_______和_______结点。1.3，4，6，1，1，2，A，F，G Trie树（字典树） Trie树就是字符树，其核心思想就是空间换时间。 举个简单的例子。 给你100000个长度不超过10的单词。对于每一个单词，我们要判断他出没出现过，如果出现了，第一次出现第几个位置。 这题当然可以用hash来，但是我要介绍的是trie树。在某些方面它的用途更大。比如说对于某一个单词，我要询问它的前缀是否出现过。这样hash就不好搞了，而用trie还是很简单。 现在回到例子中，如果我们用最傻的方法，对于每一个单词，我们都要去查找它前面的单词中是否有它。那么这个算法的复杂度就是O(n^2)。显然对于100000的范围难以接受。现在我们换个思路想。假设我要查询的单词是abcd，那么在他前面的单词中，以b，c，d，f之类开头的我显然不必考虑。而只要找以a开头的中是否存在abcd就可以了。同样的，在以a开头中的单词中，我们只要考虑以b作为第二个字母的……这样一个树的模型就渐渐清晰了…… 假设有b，abc，abd，bcd，abcd，efg，hii这6个单词，我们构建的树就是这样的。 对于每一个节点，从根遍历到他的过程就是一个单词，如果这个节点被标记为红色，就表示这个单词存在，否则不存在。 那么，对于一个单词，我只要顺着他从跟走到对应的节点，再看这个节点是否被标记为红色就可以知道它是否出现过了。把这个节点标记为红色，就相当于插入了这个单词。 这样一来我们询问和插入可以一起完成，所用时间仅仅为单词长度，在这一个样例，便是10。 我们可以看到，trie树每一层的节点数是26^i级别的。所以为了节省空间。我们用动态链表，或者用数组来模拟动态。空间的花费，不会超过单词数×单词长度。 由字母a～z所组成的字符串的一个集合中，各个字符的长度之和为n。设计一个O(n)时间的算法，将这个集合中所有字符串依字典进行排序。注意，这里可能存在非常长的字符串。 #include 树状数组 武钢三中 吴豪【引言】 在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。 【理论】 为了对树状数组有个形 象的认识，我们先看下面这张图。 如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。 这里，C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，或者说是i用 2的幂方和表示时的最小指数。( 当然，利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) ）同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。所以,当我们修 改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开 成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。 接着，我们考察这两种操作下标变化的规律： 首先看修改操作： 已知下标i，求其父节点的下标。我们可以考虑对树从逻辑上转化： 如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。 有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。 因而父节点下标 p=i+2^k (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)即 p = i + i&(i^(i-1)) 。 接着对于求和操作： 因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。即 p = i - i&(i^(i-1)) 。 至此，我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。 在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。 【代码】 求最小幂2^k: in t L o wb i t(in t t) { retur n t & ( t ^ ( t - 1 ) ); } 求前n项和： in t S um(in t e n d) { in t sum = 0; wh il e(e n d> 0) { 浙江大学城市学院实验报告 课程名称数据结构 实验项目名称实验十二叉树的基本操作 学生姓名专业班级学号 实验成绩指导老师（签名）日期 一.实验目的和要求 1、掌握二叉树的链式存储结构。 2、掌握在二叉链表上的二叉树操作的实现原理与方法。 3、进一步掌握递归算法的设计方法。 二.实验内容 1、按照下面二叉树二叉链表的存储表示，编写头文件binary_tree.h，实现二叉链表的定义与基本操作实现函数；编写主函数文件test10.cpp，验证头文件中各个操作。 二叉树二叉链表存储表示如下： typedef struct BiTNode { TElemType data ; struct BiTNode *lchild , *rchild ; }BiTNode,*BiTree ; 基本操作如下： ①void InitBiTree(BiTree &T ) //初始化二叉树T ②void CreateBiTree(BiTree &T) //按先序遍历序列建立二叉链表T ③bool BiTreeEmpty (BiTree T); //检查二叉树T是否为空，空返回1，否则返回0 ④int BiTreeDepth(BiTree T); //求二叉树T的深度并返回该值 ⑤void PreOrderTraverse (BiTree T); //先序遍历二叉树T ⑥void InOrderTraverse (BiTree T); //中序遍历二叉树T ⑦void PostOrderTraverse (BiTree T); //后序遍历二叉树T ⑧void DestroyBiTree(BiTree &T) //销毁二叉树T 高一入学测试说明 一、命题指导思想 符合选拔性测试的规律和要求，反映各测试科目初中课程标准的整体要求，部分内容可 超出初中各科教学大纲，以有利于选拔具有学习潜能和创新精神的合格新生。 试题以能力测试为主导，在考查考生对基础知识、基本技能和方法掌握程度的同时，注 重能力和科学素养的考查，注重考查运用所学知识分析、解决具体问题的能力；强调知识之间的内在联系；注重理论联系实际。全面落实对“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与 价值观”三维目标的考查。 二、测试范围内容和测试能力要求 语文测试说明 主题内容 测试范围 依据初中、高中课程标准，根据广东奥林匹克学校对高一奥班新生 文化素质的要求，结合奥校初中、高中语文教学实际，确定语文科测 试内容。 考查内容主要分为“语言文字运用”、“古代诗文阅读”、“现代 文阅读”和“写作”四大板块。 一、语言文字运用 正确、熟练、有效地运用语言文字。 1.识记 (1)识记现代汉语普通话常用字的字音 (2)识记并正确书写现代常用规范汉字 2.表达应用 (1) 正确使用词语(包括熟语) (2) 辨析并修改病句 (3) 扩展语句，压缩语段 (4) 正确运用常见的修辞手法 (5) 语言表达简明、连贯、得体、准确 二、古代诗文阅读 阅读浅易的古代诗文。 1.识记常见的名句名篇。 2.理解 (1)理解常见的文言实词和虚词 (2)翻译文中的句子 3.分析综合 (1)筛选文中的信息 (2)归纳内容要点，概括中心意思 三、现代文阅读 (一)文学类文本阅读 阅读鉴赏中外文学作品。 2 / 7 1、整体把握文学作品的内容、情感、形象 2、理清作者思路和作品线索 3、揣摩作品中的精彩细节 4、品味语言，领悟内涵 5、鉴赏作品的写作技巧和艺术特色 6、探索作品蕴涵的民族心理和人文精神 (二)实用类文本阅读 1、整体把握实用类文本的主要内容 2、阅读科技、社科、新闻作品，筛选信息，概括要点 3、运用文中知识对相关实际问题进行分析推断 4、阅读论述类文章，理解观点与材料之间的联系 5、联系实际，对文中的观点作出自己的判断 6、体会和分析实用类文本的语言特点 四、写作 能熟练写作记叙文，会写简单的论述类、实用类等文章。 能力要求考查考生识记、理解、分析综合、鉴赏评价、表达应用和探究六种能力，其中阅读理解、分析归纳和写作能力是考查的重点。 测试题型1.选择题约25% 2.非选择题约75% 数学I 测试说明 主题内容 测试范围 命题范围为国家教育部2001 年颁布的《全日制义务教育数学课程标 准（实验稿）》、《义务教育课程标准实验教科书——数学（七、八、 九年级）》（人民教育出版社）所规定的内容。主要包括： (1)实数及其运算 (2)整式、分式、二次根式的概念与运算 (3)一元一次方程、一元二次方程、方程组 (4)一元一次不等式、一元一次不等式组 (5)一次函数、反比例函数、二次函数的性质及其图象 (6)三角形、四边形、多边形、圆及相应图形的性质 (7)平移、对称、旋转、相似等图形变换的性质 (8)概率、统计中的概念与运算 3 / 7 (9)以上内容在实际问题中的应用 能力要求 主要考查五种数学能力和四种思想方法，即： (1)空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数 据处理能力 (2)等价转换思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想 测试题型 (1)选择题，共6 道 (2)填空题，共6 道 (3)解答题，共4 道 二叉树的基本操作及实现 二叉树的基本操作及实现的代码如下： #include 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* //二叉树的基本操作 #include cout<<"--------------请选择------------"< 树的结构是怎样的 树从上到下主要分为四部分：树叶、树枝、树干、树根。 叶是植物合成营养物质的器官。叶子内含有叶绿体，是植物进行光合作用的主要器官。自然界中的氧气都是由植物的叶子产生的。同时，植物的蒸腾作用也是通过叶的气孔实现的。 根通常位于地表下面，负责吸收土壤里面的水分及溶解其中的离子，并且具有支持和贮存合成有机物质的作用。当然，位于地表外的气生根（榕树）也属于根的一种。 树干是植物的运输通道，一方面将由叶子产生的营养物质运输到根部或其他部位，它是在韧皮部中的管道中实现的。另一方面则是在木质部的管道中实现的，由下到上将根部吸收的水分和无机盐运送到叶部。 树枝也是植物的运输通道，此外它也有支持作用，让植物生长更多的叶子，以便产生适合其自身生长所需要的营养物质。 什么是年轮 一个年轮，代表着树木经历了所生长环境的一个周期的变化，通常气候是一年一个变化周期，所以年轮也就代表着一年中树木生长的情况。 根据年轮的数目，可以推知树木的年龄，用来考查森林的年代。不过，由于形成层有节奏的活动，有时在一年内也有可以产生几个年轮的，这叫假年轮。像柑属类植物，一年可产生3个年轮。所以，由年轮计算出来的树木年龄，只能是一个近似的数字。 年轮不仅可用来计算树木的年龄，从年轮的宽窄，还可以了解树木的经历以及树木与当时当地环境气候的关系。 在优越的气候条件下，树木生长得好，木质部增加得多，年轮也就较宽；反之年轮就窄。比如，树木最初的年轮一般比较宽，这表示那时它年轻力壮，生长力强；有时一棵树在出现了很多窄的年轮以后，突然出现有宽的年轮，这表明在年轮宽的那几年，环境气候适宜，对树木生长有利。 另外，还有偏心的年轮，那就说明树木两边环境不同，通常在北半球朝南的一面较朝北的一面温暖，所以朝南的一面年轮较宽。 通过对年轮变化规律的研究和对它所在地区气候的了解，对制定超长期气象预报及制定造林规划等方面，都有指导意义。 线段树 目录 定义 基本结构 实现代码 树状数组 编辑本段定义 区间在[1,5]内的线段树 线段树又称区间树，是一种对动态集合进行维护的二叉搜索树，该集合中的每个元素 x 都包含一个区间 Interval [ x ]。 线段树支持下列操作： Insert(t,x)：将包含区间 int 的元素 x 插入到树中； Delete(t,x)：从线段树 t 中删除元素 x； Search(t,i)：返回一个指向树 t 中元素 x 的指针。 编辑本段基本结构 线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a , b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a , (a + b ) / 2]，右结点代表的线段为[( a + b ) / 2 , b]。 右图就是一棵长度范围为[1 , 5]的线段树。 长度范围为[1 , L] 的一棵线段树的深度为log ( L - 1 ) + 1。这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L)。 线段树支持最基本的操作为插入和删除一条线段。下面以插入为例，详细叙述，删除类似。 将一条线段[a , b] 插入到代表线段[l , r]的结点p中，如果p不是元线段，那么令mid＝（l＋r）/2。如果b 插入（删除）操作的时间复杂度为O (Log N)。 上面的都是些基本的线段树结构，但只有这些并不能做什么，就好比一个程序有输入没输出，根本没有任何用处。 最简单的应用就是记录线段有否被覆盖，并随时查询当前被覆盖线段的总长度。那么此时可以在结点结构中加入一个变量int count；代表当前结点代表的子树中被覆盖的线段长度和。这样就要在插入（删除）当中维护这个count值，于是当前的覆盖总值就是根节点的count值了。 另外也可以将count换成bool cover；支持查找一个结点或线段是否被覆盖。[1] 相信对算法设计或者数据结构有一定了解的人对线段树都不会太陌生。它是能够在log(MaxLen)时间内完成线段的添加、删除、查询等操作。但一般的实现都有点复杂而线段树应用中有一种是专门针对点的。（点树？）它的实现却非常简单。 这种数据结构有什么用？我们先来考虑一下下面的需求（全部要求在LogN 时间内完成）：如何知道一个点在一个点集里的大小“排名”？很简单，开一个点数组，排个序，再二分查找就行了；如何在一个点集内动态增删点？也很简单，弄个平衡树就行了（本来平衡树比线段树复杂得多，但自从世界上有了STL set 这么个好东东，就……^_^）那如果我既要动态增删点，也要随时查询到一个点的排名呢？那对不起，可能就要出动到我们的“点树”了。 其实现原理很简单：每当增加（或删除）一个大小为X的点时，就在树上添加（或删除）一条(X,MaxLen)的线段（不含端点），当要查询一个点的排名时，只要看看其上有多少条线段就可以了。针对这一需求，这里有个非常简单的实现（见以下代码，十多行，够短了吧？）其中clear()用于清空点集；add()用于添加一个点；cntLs()返回小于n的点的个数，也就是n的升序排名，类似地cntGt 是降序排名。 这个点树有什么用呢？其中一个应用时在O(NlogN)时间内求出一个排列的逆序数（https://www.360docs.net/doc/089729721.html,/show_problem.php?pid=1484，你有更好的算法吗？欢迎交流）方法是每读到一个数x，就让逆序数+=cntGt(x);然后再 add(x)。 这个实现还可以进行一些扩展。比如删除del(int n)，只要把add(int n)中的++size换成--size，把a[i/2]++改成a[i/2]--即可。另外还可以通过二分查找功能在O(logN)时间内查到排名第n的点的大小。应该也可以三四行内搞定。 补充:杨弋同学在2008年信息学奥赛冬令营上新发明了一种线段树的省空间堆式存储法,具体方法可以见08年冬令营课件. 编辑本段实现代码 template < int N > // 表示可用区间为[0,N)，其中N必须是2的幂数; class PointTree { int a[ 2 * N]; int size; void clear() { memset( this , 0 , sizeof ( * this ));} void add( int n) { 二叉树的创建与遍历 一、实验目的 1．学会实现二叉树结点结构和对二叉树的基本操作。 2．掌握对二叉树每种操作的具体实现，学会利用递归和非递归方法编写对二叉树这种递归数据结构进行处理的算法。 二、实验要求 1．认真阅读和掌握和本实验相关的教材内容。 2．编写完整程序完成下面的实验内容并上机运行。 3．整理并上交实验报告。 三、实验内容 1．编写程序任意输入二叉树的结点个数和结点值，构造一棵二叉树，采用三种递归和非递归遍历算法(前序、中序、后序)对这棵二叉树进行遍历。 四、实验步骤 源程序代码1 #include Search trees：实例--二叉搜索树 什么是二叉搜索树 二叉搜索树(Binary Search Tree)是一棵有序的二叉树，所以我们也可以称它为二叉排序树（不知道二叉树的童鞋，先看看二叉树：传送门）。 具有以下性质的二叉树我们称之为二叉搜索树：若它的左子树不为空，那么左子树上的所有值均小于它的根节点；若它的右子树不为空，那么右子树上所有值均大于它的根节点。它的左子树和右子树分别也为二叉搜索树。 2、二叉搜索树的结构 二叉搜索树能够高效的进行一下操作：①插入一个数值②查询是否包含某个数值③删除某个数值 根据实现的不同，还可以实现其他各种操作，这是一种使用性很高的数据结构。我们来看一个例子： 这就是二叉搜索树的存储结构，所有的节点，都满足左子树上的比自己小，而右子树上的所有节点比自己大。二叉搜索树因为其有序性，所以它能够高效的管理数的集合 (1)查询 我们查找是否存在17： <1>根节点是7，因为小于17，所以去右子树查找 <2>走到节点12，还是小于17，所以继续往右子树找 <3>走到节点17，此时找到17。 (2)插入 我们使用查找的方式进行插入，以数字6为例，如图所示： (3)删除 删除操作相对之前的其他两种操作，就略显复杂一些。一般来说我们可以分为三种情况： <1>需要删除的节点没有左儿子，那么就把右儿子提上去 <2>需要删除的节点的左儿子没有右儿子，那么就把左儿子提上去 <3>不满足上述的两种情况的话，就把左子树中最大的节点放到要删除的节点上。 3、二叉搜索树的复杂度 无论我们执行哪一个操作，其所花的时间都和树的高度成正比。我们不难得知，二叉搜索树的平均复杂度为O(log n)。二叉树的基本操作实验
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