正五边形

②取AB的2/3长度延长AK到C，使CK=2/3AB。

③以点C为圆心，已知边长AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M，N。

④顺次连接A，B，N，C，M各点即近似作得所要求的正五边形。

(2)民间口诀画正五边形

口诀介绍：“九五顶五九,八五两边分”。

画法:

①画线段AB=20mm。

②作线段AB的垂直平分线l，垂足为G。

③在l上连续截取GH，HD，使 GH=9.5/5*10mm=19mm，

HD=5.9/5*10mm=11.8mm。

④过H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。

⑤连结DE，EA，AB，BC，CD。

五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形。

尺规作图画法

理论依据：cos36°=(1+√5)/4

正五边形 - 几何画板

1. 在平面内作一圆，圆心为O；

2. 在圆O上取一点A，连接AO并延长交圆O于另一点B；【假令|AB|=4】

3. 过点O作CD⊥AB，交圆O于C、D两点；【此时|CD|=4】

4. 作OB垂直平分线MN，交OB于E点，交圆O于M，N【此时|OE|=|BE|=2】

5. 以点E为圆心，EC长为半径作弧，交BO延长线于点F；【此时|EC|=|EF|=√5】

6. 以点B为圆心，BF长为半径作弧，交圆O分别于G、H两点；【此时|BF|=|EF|+|BE|=1+√5】

【此时可知cos∠ABG=(|EF|+|BE|)/|AB|=(1+√5)/4=36°】【而∠AOG=2∠ABG=72°=360°/5(直径所对的圆周角)】【此时便得到了圆周上的五等分点的其中两个。。。。。】7. 以点G为圆心，GA长为半径作弧，交圆O于P点；

8. 以点H为圆心，HA长为半径作弧，交圆O于Q点；

9. 连接AG、GP、PQ、QH、HA,则五边形AGPQH为正五边形。圆内接正五边形

圆内接正五边形的定义与性质

圆内接正五边形指内接于圆的正五边形。圆内接正五边形的每一条边相等（即圆的每一条弦相等），每个角均为108°，每个角在圆内所对的优弧相等。

正五边形的内角和求法

因为五边形的内角和可看为3个三角形的内角和，所以，

3×180°=540°

正五边形的内角求法

据上一条“正五边形的内角和求法”可知道，正五边形的内角和为540°。

往下拓展：因为正五边形的五个角均相等，且五边形的内角和为540°；

所以正五边形的每个内角均为540°÷5=108°

[精品]画正多边形教案

画正多边形教案教学目标： 1、使学生能应用画正多边形解决实际问题; 2、会应用“口诀”画正五边形的近似图; 3、能对较复杂的几何图形进行分解，然后通过画正多边形进行组合. 4、通过解决实际问题培养学生会从实际问题中抽象出数学模型的抽象能力及用数学意识; 5、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力; 6、通过对民间正五边形近似画法依据的探索，培养学生探索问题的能力; 7、通过有关图形的分解与组合培养学生的观察能力、分解组合能力以及画图能力. 教学重点：应用正多边形的计算与画图解决实际问题教学难点：

从实际问题中抽象出数学模型，然后正确运用正多边形的有关计算，画图知识解决问题. 教学过程：一、新课引入：上节课我们学习了运用量角器等分圆周画正多边形和运用尺规画特殊的正多边形，这节课我们继续研究正多边形的画法在实际问题中的应用等. 二、新课讲解：在前几课学习了正多边形的有关计算和画法的基础上系统复习本部分内容并会综合运用解决实际问题.本节有关“地基”问题的例题就是通过复习正方形画法进而画正八边形，并对正八边形进行有关计算.通过此例不仅复习了正多边形的画法、计算，而且复习了查三角函数表，解直角三角形的方法，更为重要的是培养了学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观点. 上节课我们学习了正多边形的画法，哪位同学能叙述用量角器等分圆法画半径3cm的正十边形?(安排中等生回答：先画出半径3cm的圆⊙O，然后用量角器画出36°的中心角，然后依次画36°的中心角，或者用圆规量出36°中心角所对弦长，

圆内接正多边形

圆内接正多边形学习目标： 1、理解圆内接正多边形及正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 2、掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行有关正三角形，正方形，正六边形的计算。 1学习过程： 1、复习回顾正n边形的有关计算公式：每个内角= ，每个外角= 。 2、预习、交流并展示阅读课本97页到98页，回答下列问题（1）都在同一个圆上的正多边形叫做，这个圆叫做该正多边形的。 (2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，正n边形的中心角是，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的。如上图，五边形ABCDE是☉O的，☉O是五边形ABCDE 的圆，叫做正五边形ABCDE的中心，是正五边形ABCDE的半径，是正五边形ABCDE的中心角，中心角是

度，OM⊥BC，垂足为M，是正五边形ABCDE的边心距。（3）利用尺规作一个已知圆的内接正多边形以圆内接正六边形为例：由于正六边形的中心角为，因此它的边长和外接圆的半径R ，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形。作法如下：（1）☉O的任意一条直径AD，如图（1）（2）分别以A、D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于B、F和C，E则A，B，C，D，E，F是☉O的六等分点。（3）顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA，便得到正六边形ABCDEF，图（2）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求正六边形的中心角、边长和边心距。

正五边形尺规作图的画法及其他(精品)

正五边形尺规作图的画法及其他正五边形的画法第一种：圆内接正五边形的画法如下: 1、作一个圆，设它的圆心为O； 2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY； 3、作OY的中点M； 4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N； 5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦 AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。第二种作法： 1. 以O为圆心，半径长为R画圆，并作互相垂直的直径MN和AP； 2. 平分半径OM于K，得OK=KM； 3. 以K为圆心，KA为半径画弧与ON交于H，AH即为正五边形的边长； 4. 以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连结这些点。五边形ABCDE 即为所求。

第三种：圆内接正五边形的画法如下: 1、作一个圆，设它的圆心为O； 2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY； 3、作OY的中点M； 4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N； 5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦 AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整

个图形，这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年． 17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如 Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi： F0＝3，F1＝5，F2＝17， F3=257，F4=65 537 验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么

正n边形的画法

正四边形的画法正四边形:过任意两点AB作直线,在直线上截取AC,分别以A、C为圆心，AC、CA为半径作圆，作以A、C为顶点的两个平角的角平分线（作直角或垂直的方法），分别交⊙A于D、E，交⊙C于F、G，连接DF、EG，则四边形ABFD ABGE为所求作正四边形。正五边形的画法正五边形：作直线AB，截取线段AB，作BC⊥BA，且AB=2BC（作AB的垂直平分线），连接AC。以C为圆心，BC为半径作圆交AC于P，再以A为圆心，AP为半径作圆，交AB于M。以M为圆心，MB为半径作圆交AB的垂直平分线于D，以A、D为圆心，AD、AB为半径作圆交于一点E，以B、D为圆心，BD、AB为半径作圆交于一点F。连接AD、BD、AE、BF、EF。则五边形ADBFE 为正五边形。一先画个圆 2 在画出这个圆的一对成直角的直径 3 随便选你画的直径上你任何一个半径，找到它的中点 4 用圆规以这个你找的中点为一点，量出与你找中点所在半径所垂直的半径与圆的边的交点的长度 5 保持这个长度 6 以你所找的中点为圆心，以你找的长度画圆 7 我们就可以看见中点所在的直径上有有了一个点 8 找到新的点，还是用圆规量出与你点所在半径垂直的半径与圆边的交点的距离 9 保持这个距离在圆的边上找一点，画个圆，得到3个点，在分别用其他两个点画园，又可以得到两个点 11 连接5个点正六边形的画法正六边形：作⊙O，及过O点作直线AB，交⊙O于A、B。分别以A、B为圆心，AO、BO 为半径作圆交⊙O于C、D、E、F（C、E在AB同侧），连接AC、AD、BE、BF、CD、EF，则六边形ACEBFD为所求作正六边形。

圆内正五边形

正五边形的定义与性质五条长度相等的线段，首尾相连构成的一个封闭形状的平面图形叫正五边形。正五边形每个角均为108°，每条边长度相等。正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形。正五边形正五边形的面积公式为S正五边形=1/4a^2*√﹙25+10√5﹚ 编辑本段正五边形的画法常规画法 (1)已知边长作正五边形的近似画法 ①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K。 ②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=1/2AB。 ③以点C为圆心，已知边长AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M，N。 ④顺次连接A，B，N，C，M各点即近似作得所要求的正五边形。 (2)民间口诀画正五边形口诀介绍：“九五顶五九,八五两边分”。画法: ①画线段AB=20mm。 ②作线段AB的垂直平分线l，垂足为G。 ③在l上连续截取GH，HD，使 GH=9.5/5*10mm=19mm，HD=5.9/5*10mm=11.8mm。 ④过H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。 ⑤连结DE，EA，AB，BC，CD。五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形。尺规作图画法 1.作线段AB 2.作线段AB的垂直平分线HI垂足为H(基本作图)

3.以线段AB为一边,作正方形(不会作,看下面小步骤) (1)以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交直线AB(看清楚,是直线)于点C、D。（2）分别以点C、D为圆心，大于二分之一CD长为半径，画弧，两弧交于点E。（3）过点E作直线AE，并以点A为端点在直线AE上截取线段AF=AB。（4）以点F、B为圆心，线段AB长为半径，画弧，两弧交于点G。（5）连结线段FG、BG。则四边形ABGF为正方形。 4.继续。以点H为圆心，线段HG长为半径，画弧，交射线HC于点J。 5.分别以点A、J为圆心，线段AB长为半径画弧，两弧交于点K，连结AK BK。 6.作线段HJ的垂直平分线L。 7.以点J为圆心，线段AK长为半径，画弧，交直线L于点M 8.再分别以点A。M为圆心，线段AK长为半径，画弧，两弧交于点N 连结JM、MN、AN 五边形AJBMN就是正五边形。编辑本段圆内接正五边形圆内接正五边形的定义与性质圆内接正五边形指内接于圆的正五边形。圆内接正五边形的每一条边相等（即圆的每一条弦相等），每个角均为108°，每个角在圆内所对的优弧相等。圆内接正五边形的尺规作图（1）以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和 AP. （2）平分半径ON，得OK=KN. （3）以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长. （4）以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形。

《小海龟画正五边形》教学设计

《小海龟画正五边形》教学设计及反思【教学目标设计】 1．知识目标：学会指挥小海龟准确地画出正多边形，学会使用变量命令。 2．能力目标：通过编程练习，培养严谨、认真、科学的编程习惯，提高计算能力、思维能力和推理能力。 3．情感目标：在独立思考的基础上，同学之间相互协作，以组为单位相互竞赛，养成积极进取的学习习惯。【教学重点、难点】教学重点：变量的功能及格式。难点：1、让学生自己“悟”出重复命令中的内容 2、重复次数和重复内容间的关系。教具：1张大纸，做表格，板书用。【教学对象分析】本节课是和华师版小学信息技术第四册下册第4课的内容，学生在此以前学会了LOGO 的基本命令。这节课命令形式从单一命令到复合命令，命令功能从一步操作到多步操作，学生的认识过程也从形象过度到抽象，学生对LOGO语言有更多的认识，更深刻的理解。【教学方法】任务驱动法、启发式教学法、发现教学法。【教学过程】一、游戏，激趣导入师：我找一个同学和老师一起表演游戏。同学们注意观察。师：我下命令，这个同学按我命令行走。前进100步，向右转90度，前进100步，向右转90度，前进100步，向右转90度，前进100步，向右转90度。师：发现这个同学走了个什么图形？现在展示的就是画正四边形的命令组，仔细观察这四组命令有什么共同点？生：全部都是重复的，一样的命令。师：计算机应该给我们方便、快捷的服务，这样重复输入你感觉怎么样？有没有更好、更方便的方法一次完成这些操作呢？LOGO中就有这样的命令，好，看老师的。repeat 4 [fd 100 rt 90] 老师棒不棒？学习完这节课，你会发现，原来你自己也非常棒。师：今天这节课我们就学习logo中的重复命令省时省力来画图。板书：省时省力来画图二、教授新知出示四条。师：仔细看这命令，你发现这四条命令与老师输入的一条命令有什么相同点不同点？生：重复了4次，中括号里的内容是一样的。师：我们重复了4次，重复这个单词就是REPEAT。输入命令时要注意什么呢？中括号。师：好，自己试一试，感受一下重复命令的魅力。

圆的内接正多边形与计算

一、正多边形与圆 1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形的相关概念（1）我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. （2）外接圆的半径叫做正多边形的半径. （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. （4）中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距. 3、正多边形的性质（1）正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。（2）偶数边的正多边形是中心对称图形。 4、正多边形的有关计算（1）正n边形的每个内角都等于（2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于（3）正n边形的边长a，半径R,边心距r，周长P,面积S的关系（特别要掌握正三角形、正方形和正六边形）巩固练习： 1、已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 2、正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为 3、边长为a的正方边形的边心距为 4、半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为 5、正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_________． 6、若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是 7、有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm． 8、已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是____________． 9、下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）（A）正三角形．（B）正五边形．（C）正六边形．（D）正七边形．二、圆中计算的相关公式

1、若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l （1）弧长公式：（2）扇形面积公式：（3）圆锥的侧面积：（4）圆锥表面积：（4）圆柱体表面积公式： 2、常见组合图形的周长、面积的几种常见方法（1）公式法（2）割补发（3）拼凑法（4）等积变换法巩固练习： 1、扇形的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长 2、若75°的圆心角所对的弧长是π5.2，此弧所在圆的半径为 3、一扇形的弧长为π 12，圆心角为120°，求扇形的面积 4、已知扇形的弧长是2π厘米，半径为12厘米，则这个扇形的圆心角是 5、已知扇形的圆心角为150 ，它所对的弧长为20π厘米，则扇形的半径是________厘米，扇形的面积是__________平方厘米． 6、扇形的圆心角为120 ，弧长为6π厘米，那么这个扇形的面积为_________． 7、圆锥的母线长为5厘米，高为3厘米，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是_________度． 8、已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是 9、一个圆柱形油桶的底面直径为0.6米，高为1米，那么这个油桶的侧面积为 10、一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是 11、在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝ 90．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2 ，那么S 1 ∶S 2 等于 12、在Rt△ABC中，∠C＝ 90，AＢ＝3，BC＝1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得

几何作图的方法(含六边形画法等)

六、几何作图 1、正六边形的画法绘制正六边形，一般利用正六边形的边长外接圆半径的原理，绘制步骤如图1-14所示。图1-14 正六边形画法 2、正五边形的画法 1．已知正五边形的边长AB，绘制正五边形的方法如图1-15所示。 (1)分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，与AB的中垂线交于K； (2)在中垂线上自K向上取CK＝2AB/3，得到C点； (3)以C点为圆心，AB为半径画圆弧与前面所画两段圆弧相交于D、E点，即可得到正五边形的五个顶点。图1-15 已知边长画正五边形 2．已知外接圆直径，绘制正五边形的方法。 (1)取半径的中点K； (2)以K点为圆心，KA为半径画圆弧得到C点； (3)AC即为正五边形边长，等分圆周得到五个顶点。 3、斜度与锥度 1．斜度斜度是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度。工程上用直角三角形对边与邻边的比值来表示，并固定把比例前项化为1而写成1 : n的形式，如图1-17(a)所示。若已知直线段AC的斜度为1 : 5，其作图方法如图1-16所示。

图1-16斜度的画法 2．锥度锥度是指圆锥的底圆直径D与高度H之比，通常，锥度也要写成1 : n的形式。锥度的作图方法如图1-17所示。图1-17 锥度的画法 4、圆弧连接圆弧与圆弧的光滑连接，关键在于正确找出连接圆弧的圆心以及切点的位置。由初等几何知识可知：当两圆弧以内切方式相连接时，连接弧的圆心要用R－R0来确定；当两圆弧以外切方式相连接时，连接弧的圆心要用R＋R0来确定。用仪器绘图时，各种圆弧连接的画法如图1-18所示。这些作图方法在计算机绘图中实现起来既准确又快捷，充分体现了计算机高速和精确的特点。 (a)用圆弧连接两已知直线 (b) 用圆弧连接直线和圆弧 (c)与两圆弧外切的画法 (d)与两圆弧内切的画法

圆内接正五边形的作法

圆内接正五边形作法 : (1) 作⊙O 的互相垂直的直径AQ 、FG 。 (2) 以OQ 中点M 为心，MF 为半径作圆与AO 交于N 。 (3) 以Q 为心，QN 为半径作圆交⊙O 于B 、E ，则AB 、AE 为⊙O 内接正五边形边长。 (4) 分别以B 、E 为心，以AB = AE 为半径作弧交⊙O 于C 、D ，则ABCDE 是圆内接正五边形。证明：连结EQ 设OF ＝R ∵M 是OQ 中点 ∴OM ＝ 2 R ∴MF ＝R R R 25)2(22=+ ∵MN ＝MF ∴MN ＝R 2 5 ∴QN ＝R 2 15EQ 215225＋＝ ∴+=+R R R ∵AQ ＝2R ∴AE ＝R 2 5210R 45210R 45264R EQ AQ 22222－＝－＝＋－＝－

如图（2） ABCDE 半径为R 的圆内接正五边形，作OG ⊥AB 交⊙O 于G ，连结BG 、作∠OBG 平分线交OG 于H ∵∠AOB ＝?725 360＝ ∵OA ＝OB OG ⊥AB ∴∠BOG ＝36° ∴∠OBG ＝∠OGB ＝72° ∴∠GBH ＝∠OBH ＝36° ∴∠GBH ＝∠BOG ∴ΔBGH ∽ΔOGB ∴GH OG BG 2?=＝ BG GH OG BG ∵∠OBH ＝∠BOG ＝36° ∴OH ＝BH ∴BG 2＝R （R －OH ）＝R （R －BG ） ∴BG 2＋BGR －R 2＝0 ∴BG ＝2R 5±R ∴BG ＝R 2 15）－（ ∵OG ⊥AB ∠OGB ＝72° ∴∠GBA ＝18° ∴∠HBA ＝18° ∴∠GM ＝HM ∴GH ＝R －OH ＝R －BG ＝R － R R 253215-=- ∴GM ＝R 4 5210R 453R 215BM 45322－＝）－－（）－（＝ ∴-R ∴AB ＝2BM ＝ R 25210－故图（1）中AE 与图（2）中AB 相等，且半径都为R ，故AE 为正五边形边长

作圆内接正五边形

第1讲线段的切分点人教版八下P49页第10题： 1、如图，线段AB 的长为1，在线段AB 上的点C 满足AB BC AC ?=2，求线段AC 的长。但是题目并没有给出点C 是如何作出来的？在《历史数学命题赏析》P399中给出了这个点的两种作法： ①如图1，以AB 为边作正方形ABDE 取AE 的中点F ，以F 为圆心FB 为半径画弧交EA 延长线于G ，以AG 为边作正方形AGHC ，则C 为所求的点： AB BC AC ?=2。（《几何原本》第四次印刷版，P97第二卷命题11） ②如图2，过B 作,AB BD ⊥ 且 ,2 1AB BD = 连接AD ，以D 为圆心，DB 为半径画弧交AD 于E ；以A 为圆心AE 为半径画弧交AB 于C ，则点C 为所求。以上作法中给出的点C ，人们称之为黄金分割点，而 2 15-这个数叫做黄金分割数。

第2讲弦切角、切割线定理 1、弦切角及弦切角定理顶点在圆上，一条边与圆相交而另一条边与圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角已知：BAC ∠所夹的弧是弧AB，APB ∠是⊙O的弦切角，AC与⊙O相切，BAC ∠ 是弧AB所对的圆周角求证：BAC ∠=APB ∠ 分析：类似于圆周角与圆心的三种位置关系，弦切角与圆心得位置关系也有三种：圆心在弦AB上；圆心在弦切角BAC ∠的内部。 ∠的外部；圆心在弦切角BAC 2、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。已知：如图，P为⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。求证：2 =? PA PB PC 切割线定理的逆定理如图，P为⊙O外一点，A是⊙O上一点，，PT是⊙O的割线，PT交⊙O于点B、C。2 =? PA PB PC 求证：PA是⊙O的切线

圆内接多边形

8 圆内接正多边形【教学目标】知识技能目标: 1.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念. 2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题. 过程性目标: 学生在探讨正多边形和圆的关系学习中,体会到要善于发现问题、解决问题,培养学生的概括能力和实践能力. 情感态度目标: 通过学习,体验数学与生活的紧密相连;通过合作交流,探索实践培养学生的主体意识. 【重点难点】重点:掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系,并能进行有关计算. 难点:正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 【教学过程】一、创设情境社会调查(提前一周布置) 以4人合作小组为单位,开展调查活动: (1)各尽所能收集生活中各行各业、各学科中应用的各种正多边形形状的物体或照片.

(2)对收集的其中最感兴趣的一件正多边形形状的物体进行研究. 各小组派代表展示自己课前所调查得到的正多边形形状的物体(可以是照片、资料等),并讲解从中获取的知识(选3—4个小组代表讲解) 二、探究归纳学习圆内接正多边形及有关概念顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆. 把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正多边形. 五边形ABCDE是圆O的内接正五边形,圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径;∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义. 例:在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解:连接OD, ∵六边形ABCDEF为正六边形, ∴∠COD==60°, ∴△COD为等边三角形. ∴CD=OC=4. 在Rt△COG中,OC=4,CG=2, ∴OG=2,

正多边形的画法

正三角形的画法第一步：用圆规画一个圆，第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于两点A、B，第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点P、Q(P是第二步中的P)，第四步：以A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ即为圆内接等边△。正四边形的画法取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O 于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片正五边形的画法 ①以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP。 ②平分半径ON，得OK=KN。

③以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边形的边长。 ④以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点，正七变形的画法 ①以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP. ②过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT 的平行线，把MN七等分. ③以M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点（图中是1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M. 再分别以AB、BC、 CM为边长，在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形. 正八边形的画法

正九边形的画法内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意一端点的距离为半径，画圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。

圆内接正多边形

第三章圆《圆内接正多边形》一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过圆和正多边形，对圆和正多边形的特点有所了解，在本章前面几节课中，又学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系的基本技能. 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索圆的性质，解决了一些简单的现实问题，感受到了圆的性质，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析根据学生已有的认识基础和本课的教材地位、作用，依据教学大纲，确定本课的教学目标为：知识目标：（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力. 情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识. 教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.

教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题. 三、教学设计分析本节课设计了八个教学环节：课前准备——社会调查、情境引入、圆内接正多边形的概念、例题学习、尺规作图、练习与提高、课堂小结、布置作业. 第一环节情境引入活动内容：设计一个小故事提出问题‘有一个亭子它的地基半径为r的正六边形,求地基的周长和面积’ 活动目的：激起学生对探索正多边形与圆的兴趣，让学生学会用数学语言表述问题，培养学生从物体中获取知识的能力，由此引出我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）第二环节圆内接正多边形的概念活动内容：学习圆内接正多边形及有关概念顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆. 把一个圆n等分（3 n），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正 ≥ 多边形. 如图3－35，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；OM⊥，垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中BC 也有同样的定义. 活动目的：让学生了解有关正多边形的概念，引导学生逐步深入的学习. 第三环节问题探究活动内容：正n(n≧3)边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？（小组讨论完成）活动目的：有关正多边形的中心角与外角的计算，通过讨论加深学生对概念

足球的正五边形和正六边形边长的关系

足球直径与构成足球的正五边形和正六边形边长的关系其他回答共 2 条一、首先确认足球皮的构成，它是由12个正五边形和20个正六边形组成的，且五边形同六边形边长相等，二、确定正边形的边长（L）与球体直径（D）的关系 1.首先要确定正边形在球体上的位置. 为了计算方便，我们先将正边形的曲边模拟成直边。如右上图2 所示，正边形必须与球体相切，图示点的位置即为切点。 2.计算特征边长，下图3所示的“赤道”线，恰好穿过10个正六边形，且穿过每个正六边形的距离相等，也就是说“赤道”线在每个正六边形上的距离（如图4弧AB）是十分之一个周长即πD /10，而弦AB 的长度正好等于3L/2(如图5)，由此推出公式L=2*D*SIN(18)/3（图6）. 三、确定其他公式 1. 五边形的偏角A A角对应的正弦边长度＝五边形的内切圆半径＝L*tan(54)/2 Sin A = (L*tan(54)/2) / (D/2) = tan(54)*sin(18)*2 / 3 A=ASIN(TAN(54)*SIN(18)*2/3)*PI()/180 / 注：按UG的表达式标准书写 2. 六边形的偏角B B角对应的正弦边长度＝六边形的内切圆半径＝L*tan(60)/2 Sin B = (L*tan(60)/2) / (D/2) = tan(60)*sin(18)*2 / 3 B=ASIN(TAN(60)*SIN(18)*2/3)*PI()/180 / 注：按UG的表达式标准书写 3. 五边形的偏移高度H H=D*COS(A)/2 注：六边形的高度也可以求，但知道五边形的H值就可以画出足球皮了四、UG表达式书写五、绘制足球皮 1. 画基础球体插入 >成形特征 >球，输入直径=D（注意大小写）, 定位到原点。 2. 画正五边形插入 >曲线 >多边形，输入边数＝5，边长＝L，定位到0，0，H /注：直接输入H 3. 画正六边形插入 >曲线 >多边形，输入边数＝6，边长＝L，角度=36, 定位到-S，0，H 编辑 >转换，选中正六边形，绕重合边旋转角度A+B,如图9 4. 由直线生成球皮曲线插入 >曲线操作 >投影曲线，将正五边形和正六边形投影到球体上，如图10 5. 为了下一步凸垫操作简单，切除一半球体插入 >特征操作 >裁剪，去除－Z 方向的球体. 6. 以步骤4中生成的曲线按凸垫方法生成五边形和六边形的球皮 7. 通过镜像方法，生成余下30块球皮

五边形、六边形、椭圆几何作图的方法

几何作图 1、正六边形的画法绘制正六边形，一般利用正六边形的边长外接圆半径的原理，绘制步骤如图1-14所示。图1-14 正六边形画法 2、正五边形的画法 1．已知正五边形的边长AB，绘制正五边形的方法如图1-15所示。 (1)分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，与AB的中垂线交于K； (2)在中垂线上自K向上取CK＝2AB/3，得到C点； (3)以C点为圆心，AB为半径画圆弧与前面所画两段圆弧相交于D、E点，即可得到正五边形的五个顶点。图1-15 已知边长画正五边形 2．已知外接圆直径，绘制正五边形的方法。 (1)取半径的中点K； (2)以K点为圆心，KA为半径画圆弧得到C点； (3)AC即为正五边形边长，等分圆周得到五个顶点。 3、斜度与锥度 1．斜度斜度是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度。工程上用直角三角形对边与邻边的比值来表示，并固定把比例前项化为1而写成1 : n的形式，如图1-17(a)所示。若已知直线段AC的斜度为1 : 5，其作图方法如图1-16所示。