2014-2015学年点拨高中数学必修2(北师大版)过关测试卷：第一章 立体几何初步 过关测试卷

第一章过关测试卷

(100分，60分钟)

一、选择题(每题6分，共36分)

1.已知正方体ABCD -1111D C B A 中，O 是BD 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误的是( )

A. A 1，M ，O 三点共线

B. M ，O ，A 1，A 四点共面

C. A ，O ，C ，M 四点共面

D. B ，B 1，O ，M 四点共面

2.圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，这个圆台的体积为( ) A.332π B.32π C.367π D.33

7π 3.若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )

A.若m β，α⊥β，则m ⊥α

B.若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β

C.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

4.〈山东省青岛一模〉一个几何体的三视图如图1所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是( )

A ．16π

B ．14π

C ．12π

D ．8π

图1 图2

5.如图2，在正四棱柱ABCD -1111D C B A 中，AB =1，AA 1=3，E 为AB 上的动点，则D 1E +CE 的最小值为( ) A.22 B.10 C.15+ D.22+

6.〈吉林省长春市第四次调研〉已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为( ) A.26- B.26- C.310- D.222-

二、填空题(每题5分，共20分)

7.某几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .

图3

8.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角为60°，则该截面的面积为 .

9.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是 .

10. 给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若某四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一

个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是．

三、解答题(11题14分，其余每题15分，共44分)

11.〈杭州模拟〉如图4，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC ＝135°，AB＝5，CD＝2

2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．

图4

12.〈厦门〉如图5，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，D，E分别是线段BC，PD的中点.

(1)若AP=AB=AC=2，BC=3

2，求三棱锥P-ABC的体积；

1AB，证明：直线EF∥平面P AC．(2)若点F在线段AB上，且AF=

4

图5

13. 如图6，在直四棱柱ABCD -1111D C B A 中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，M 是

棱BB 1上一点．

(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ；

(2)求证：MD ⊥AC ；

(3)当M 在BB 1上的何处时，有平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .

图6

参考答案及点拨

一、1.D 点拨：因为O 是BD 1的中点．由正方体的性质知，O 也是A 1C 的中点，所以点O 在直线A 1C 上，又直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则A 1，M ，O 三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B ，C 正确．

2.D

点拨：由题意，圆台的上底面半径r =1，下底面半径R =2，∵ S 侧=6π，设母线长为l ，则π·(1+2)l =6π，∴l =2，∴高

h =()22r R l --=3.∴V =31×3π×(12+1×2+22)=

337π. 3.C 点拨：对于C ，由m ∥α得，在平面α内必存在直线l ∥m .又m ⊥β，因此l ⊥β，且l α，故α⊥β.

4.A 点拨：由三视图可知，该几何体是挖去一个球的41而得到的.

其中两个半圆的面积为π×22=4π.

43球面的面积为43×4π×22=12π，所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π.

5.B 点拨：将正方形ABCD 沿AB 向下翻折到对角面ABC 1D 1内，成为正方形ABC 2D 2（如答图1)，在矩形C 1D 1D 2C 2中连接D 1C 2，与AB 的交点即为取得最小值时的点E ，此时D 1E +CE =D 1C 2.因为对角线AD 1=2，∴D 1D 2=3，故D 1C 2=()()222221D C D D +=2213+=10.

答图1 答图2 答图3

6.A 点拨：由题意可知，连接4个球的球心组成了正四面体，小球球心O 为正四面体的中心，到顶点的距离为6，从而所求小球的半径r =6－2.

二、7.

3

20 点拨：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥（如答图2)，则V =V 1+V 2=31×2×2×4+31×21×2×2×2=320. 8.π

点拨：如答图3，依题意，截面圆的半径r =O ′A =OA ·cos60°=1. 9.8 点拨：如答图4①为棱长为1的正方体形礼品盒，先把正方体的表面按答图4②方式展成平面图形，再把平面图形补成面积尽可能

小的正方形，则正方形的边长为22，其面积为8.

答图4 答图5

10.①⑤ 点拨：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方形ABCD -1111D C B A 中的四面体A -CB 1D 1；②错误，如答图5所示，底面△ABC 为等边三角形，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形，△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的公共边垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形（非正方形）时，此说法不成立，所以应填①⑤.

三、11.解：作CE ⊥AD ，交AD 延长线于E .由已知得：CE =2，DE =2，CB =5，S 表=S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧

=π(2＋5)×5＋π×52＋π×2×22

＝(60＋24)π，

V =V 圆台－V 圆锥 =3

1

(π·22＋π·52＋22252π )×4－3

1π×22×2 =3148π. 12.解：(1)在△ABC 中，AB =AC =2，BC =32，D 是线段BC 的中点，连接AD ，则AD ⊥BC ，易求得AD =1.

∴S △ABC =21×32×1=3.∵P A ⊥底面ABC ，

∴V P-ABC =31×3×2=3

32． （2）如答图6，取CD 的中点H ，连接FH ，EH .∵E 为线段PD 的中点，∴在△PDC 中，EH ∥PC .∵EH 平面P AC ，PC 平面P AC ，∴EH ∥平面P AC .∵AF =14AB ，∴在△ABC 中，FH ∥AC ，∵FH 平面P AC .AC 平面P AC ，∴FH ∥平面P AC ，∵ FH ∩EH =H ，∴平面EHF ∥平面P AC .∵EF 平面EHF ，∴EF ∥平面P AC .

答图6 答图7

13.(1)证明：由直四棱柱得BB 1∥DD 1，BB 1=DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD .而BD 平面A 1BD ，B 1D 1 平面A 1BD ，∴B 1D 1∥平面A 1BD .

(2)证明：∵BB 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又∵BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D .而MD 平面BB 1D ，∴MD ⊥AC .

(3) 解：当M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，如答图7所示．∵N 是DC 的中点，BD ＝BC ，∴BN ⊥DC .又∵DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，∴BN ⊥平面DCC 1D 1.又可证得O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM ＝ON ，

即四边形BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM 平面DMC1，∴平面DM C1⊥平面CC1D1D.