matlab、lingo程序代码23-线性规划问题及灵敏度分析
线性规划问题及灵敏度分析在LINGO软件中的实现
（龙少波李东阳罗添元）
一、问题的提出：
某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所，已知这些动物的生长对饲
料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需
要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲
料1kg所含各种营养成分和成本如下表所示，如果每个小动物每周食用饲料不超
过52kg，才能满足动物生长需要。
A1 A2 A3 A4 A5 营养最
低
要求蛋白质(g) 0.3 2 1 0.6 1.8 60 矿物质(g) 0.1 0.05 0.02 0.2 0.05 3 维生素(mg) 0.05 0.1 0.02 0.2 0.08 8 成本（元/ kg）0.2 0.7 0.4 0.3 0.5
问题：
1．求使得总成本最低的饲料配方？
2．如果另一个动物研究对蛋白质的营养要求变为59单位，
但是要求动物的价格比现在的价格便宜0.3元，问该养殖所
值不值得接受？
3．由于市场因素的影响，X2的价格降为0.6元每千克，
问是否要改变饲料配方？
二、建立线性规划数学模型
解答：
（1）设需要饲料A1, A2, A3, A4分别为X1, X2, X3, X4kg，则建立线
性规划数学模型如下：
目标函数：MinS=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.5X5
约束条件：0.3X1+2X2+X3+0.6X4+1.8X5>=60
0.1X1+0.05X2+0.02X3+0.2X4+0.05X5>=3
005X1+0.1X2+0.02X3+0.2X4+0.08X5>=8
X1+X2+X3+X4+X5<=52
X1, X2, X3, X4, X5>=0
三、在LINGO软件中的求解
在LINGO中输入下面的命令：
Model：
Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;
0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;
0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;
0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8;
x1+x2+x3+x4+x5<52;
end
操作：选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果.
输出结果如下:
Global optimal solution found at iteration: 4
Objective value: 22.40000
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.7000000
X2 12.00000 0.000000
X3 0.000000 0.6166667
X4 30.00000 0.000000
X5 10.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 22.40000 -1.000000
2 0.000000 -0.5833333
3 4.100000 0.000000
4 0.000000 -4.166667
5 0.000000 0.8833333
四、结果分析：
(一) 一般分析
1.因此,每周每个动物的配料为饲料A2、A4、A5分别为12、30和10kg，合计为52KG，可使得饲养成本达到最小，最小成本为2
2.4元；
2. “Reduced Cost”表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量Xj, 相应的reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数增加的量。变量X1对应的reduced cost值为0.7，表示当非基变量x1的值从0变为1时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值= 22.4+0.7 = 2
3.1。
3.“Slack or Surplus”给出松驰变量的值：可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准
4.1g；
4.“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若增加1 个单位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0. 从“Dual Price”可以得到:
1.降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元，（第二个问题答案）
2.降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元，
3.降低矿物质的标准不会降低饲养成本，
4.如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低1kg可使得饲养成本增加0.88元.
（二）灵敏度分析
对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options…命令，选择Gengral Solver，在Dual Computation列表框中，选择Prices and Ranges选项并确定.
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease
X1 0.2000000 INFINITY 0.7000000
X2 0.7000000 INFINITY 0.1358974
X3 0.4000000 INFINITY 0.6166667
X4 0.3000000 1.400000 1.000000
X5 0.5000000 0.1247059 INFINITY
Right hand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 60.00000 4.800000 4.800000
3 3.000000 4.100000 INFINITY
4 8.000000 0.3428571 0.4800000 4
5 52.00000 1.846154 1.411765
(1)系数价格变化的分析：
目标函数中X1原来的费用系数为0.2，允许增加（Allowable Increase）到无穷大、或者允许减少（Allowable Decrease）=0.7，说明当它在[0，+∞]范围变化时，最优基保持不变。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化）。
对于X2来说，目标函数中原来的费用系数为0.7，允许增加（Allowable Increase）到无穷大、或者允许减少（Allowable Decrease）=0.136，说明当它在[0.7-0.136，+∞]=[0.564, +∞]范围变化时，最优
基保持不变。（第三个问题答案）
（2）约束中右端项变化的分析：
第2行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为60，当它在[60-4.8，60+4.8] = [55.2，64.8]范围变化时，最优基保持不变。第3、4、5行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。
lingo灵敏度分析实例
一个实例理解Lingo的灵敏性分析 线性规划问题的三个重要概念： 最优解就是反应取得最优值的决策变量所对应的向量。 最优基就是最优单纯形表的基本变量所对应的系数矩阵如果其行列式是非奇异的，则该系数矩阵为最优基。 最优值就是最优的目标函数值。 Lingo的灵敏性分析是研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。下面是一道典型的例题。 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题： 1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 模型代码： max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; 运行求解结果： Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息。 其中，“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量Xj, 相应的reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题)。本例中X1，X2均为基变量。 “Slack or Surplus”给出松驰变量的值，模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束。3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus给出这3种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为
matlab、lingo程序代码23-线性规划问题及灵敏度分析
线性规划问题及灵敏度分析在LINGO软件中的实现 （龙少波李东阳罗添元） 一、问题的提出： 某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所，已知这些动物的生长对饲 料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需 要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲 料1kg所含各种营养成分和成本如下表所示，如果每个小动物每周食用饲料不超 过52kg，才能满足动物生长需要。 A1 A2 A3 A4 A5 营养最 低 要求蛋白质(g) 0.3 2 1 0.6 1.8 60 矿物质(g) 0.1 0.05 0.02 0.2 0.05 3 维生素(mg) 0.05 0.1 0.02 0.2 0.08 8 成本（元/ kg）0.2 0.7 0.4 0.3 0.5 问题： 1．求使得总成本最低的饲料配方？ 2．如果另一个动物研究对蛋白质的营养要求变为59单位， 但是要求动物的价格比现在的价格便宜0.3元，问该养殖所 值不值得接受？ 3．由于市场因素的影响，X2的价格降为0.6元每千克， 问是否要改变饲料配方？ 二、建立线性规划数学模型 解答： （1）设需要饲料A1, A2, A3, A4分别为X1, X2, X3, X4kg，则建立线 性规划数学模型如下： 目标函数：MinS=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.5X5 约束条件：0.3X1+2X2+X3+0.6X4+1.8X5>=60 0.1X1+0.05X2+0.02X3+0.2X4+0.05X5>=3 005X1+0.1X2+0.02X3+0.2X4+0.08X5>=8
数学中的灵敏度分析
假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性 一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~ 随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。这里就可以采用灵敏度分析的方法。它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。 一、局部灵敏度分析方法 局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。 1．直接求导法 对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。假设要考虑的初值问题是 ，（1） 同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。代表初值数组。 式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程
（2） 或以矩阵形式表示为（3） 式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。微分方程（2）的初始条件为零向量。 上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。而矩阵的值又是由系统变量的真实值确定，因此，需同时或预先求得（1）方程的解。 对于非时变（静止）系统，将其代数方程，式中，Y是n维输出变量，X是m维输入因素。令表示隐性代数方程式的解。对输入因素求导数，得到下面的灵敏度公式： （4） 式中，称为静态灵敏度矩阵，和由静态点的变量值计算。对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出的系统，直接法是一个简单快速的灵敏度分析方法。 2．有限差分法 局部灵敏度最简单的计算方法是有限差分法，其基本做法是使设计变量有一个微小的摄动，用差分格式来计算输出对设计变量的近似导数。其中比较简单的是采用向前差分格式 （5） 式中，截断误差与同阶。有时采用更为精确的中心差分公式 （6） 而，
第06章_MATLAB数值计算_例题源程序汇总
第6章 MATLAB 数值计算 例6.1 求矩阵A 的每行及每列的最大和最小元素，并求整个矩阵的最大和最小元素。 1356 78256323578255631 01-???? -? ?=???? -??A A=[13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1]; max(A,[],2) %求每行最大元素 min(A,[],2) %求每行最小元素 max(A) %求每列最大元素 min(A) %求每列最小元素 max(max(A)) %求整个矩阵的最大元素。也可使用命令：max(A(:)) min(min(A)) %求整个矩阵的最小元素。也可使用命令：min(A(:)) 例6.2 求矩阵A 的每行元素的乘积和全部元素的乘积。 A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12]; S=prod(A,2) prod(S) %求A 的全部元素的乘积。也可以使用命令prod(A(:)) 例6.3 求向量X =(1！，2！，3！，…，10！)。 X=cumprod(1:10) 例6.4 对二维矩阵x ，从不同维方向求出其标准方差。 x=[4,5,6;1,4,8] %产生一个二维矩阵x y1=std(x,0,1) y2=std(x,1,1) y3=std(x,0,2) y4=std(x,1,2) 例6.5 生成满足正态分布的10000×5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。 X=randn(10000,5); M=mean(X) D=std(X) R=corrcoef(X)
例6.6 对下列矩阵做各种排序。 185412613713-?? ??=?? ??-?? A A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13]; sort(A) %对A 的每列按升序排序 -sort(-A,2) %对A 的每行按降序排序 [X,I]=sort(A) %对A 按列排序，并将每个元素所在行号送矩阵I 例6.7 给出概率积分 2 (d x x f x x -? e 的数据表如表6.1所示，用不同的插值方法计算f (0.472)。 x=0.46:0.01:0.49; %给出x ，f(x) f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683]; format long interp1(x,f,0.472) %用默认方法，即线性插值方法计算f(x) interp1(x,f,0.472,'nearest') %用最近点插值方法计算f(x) interp1(x,f,0.472,'spline') %用3次样条插值方法计算f(x) interp1(x,f,0.472,'cubic') %用3次多项式插值方法计算f(x) format short 例6.8 某检测参数f 随时间t 的采样结果如表6.2，用数据插值法计算t =2，7，12，17，22，17，32，37，42，47，52，57时的f 值。 T=0:5:65; X=2:5:57;
同济大学数值分析matlab编程题汇编
MATLAB 编程题库 1.下面的数据表近似地满足函数2 1cx b ax y ++=，请适当变换成为线性最小二乘问题，编程求最好的系数c b a ,,，并在同一个图上画出所有数据和函数图像. 625 .0718.0801.0823.0802.0687.0606.0356.0995 .0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0i i y x ---- 解： x=[-0.931 -0.586 -0.362 -0.213 0.008 0.544 0.628 0.995]'; y=[0.356 0.606 0.687 0.802 0.823 0.801 0.718 0.625]'; A=[x ones(8,1) -x.^2.*y]; z=A\y; a=z(1); b=z(2); c=z(3); xh=-1:0.1:1; yh=(a.*xh+b)./(1+c.*xh.^2); plot(x,y,'r+',xh,yh,'b*')
2.若在Matlab工作目录下已经有如下两个函数文件，写一个割线法程序，求出这两个函数 10 的近似根，并写出调用方式： 精度为10 解： >> edit gexianfa.m function [x iter]=gexianfa(f,x0,x1,tol) iter=0; while(norm(x1-x0)>tol) iter=iter+1; x=x1-feval(f,x1).*(x1-x0)./(feval(f,x1)-feval(f,x0)); x0=x1;x1=x; end >> edit f.m function v=f(x) v=x.*log(x)-1; >> edit g.m function z=g(y) z=y.^5+y-1; >> [x1 iter1]=gexianfa('f',1,3,1e-10) x1 = 1.7632 iter1 = 6 >> [x2 iter2]=gexianfa('g',0,1,1e-10) x2 = 0.7549 iter2 = 8
最优化方法(线性规划)——用Lingo对线性规划进行灵敏度分析
lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析 注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。 一、用lingo 软件求解线性规划 例1： m a x 23..4310 3512,0 z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥ 在模型窗口输入： model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10; 3*x+5*y<12; ! the optimal value is :7.454545 ; End 如图所示： 运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）： Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值） Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2（迭代次数）
Variable （最优解） Value Reduced Cost X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.454545 1.000000 2 0.000000 0.9090909E-01 3 0.000000 0.5454545 例2： 12123124125m a x 54.. 390280450 z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥ 在模型窗口输入： model: max=5*x1+4*x2; x1+3*x2+x3=90; 2*x1+x2+x4=80; x1+x2+x5=45; end 运行（solve ）结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 215.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 35.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 25.00000 0.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 215.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 3.000000 例3
matlab数值分析例题
1、 在MATLAB 中用Jacobi 迭代法讨论线性方程组， 1231231234748212515 x x x x x x x x x -+=?? -+=-??-++=? （1）给出Jacobi 迭代法的迭代方程，并判定Jacobi 迭代法求解此方程组是否收敛。 （2）若收敛，编程求解该线性方程组。 解（1）：A=[4 -1 1;4 -8 1;-2 1 5] %线性方程组系数矩阵 A = 4 -1 1 4 -8 1 -2 1 5 >> D=diag(diag(A)) D = 4 0 0 0 -8 0 0 0 5 >> L=-tril(A,-1) % A 的下三角矩阵 L = 0 0 0 -4 0 0 2 -1 0 >> U=-triu(A,1) % A 的上三角矩阵 U = 0 1 -1 0 0 -1 0 0 0 B=inv(D)*(L+U) % B 为雅可比迭代矩阵 B = 0 0.2500 -0.2500 0.5000 0 0.1250 0.4000 -0.2000 0 >> r=eigs(B,1) %B 的谱半径
r = 0.3347 < 1 Jacobi迭代法收敛。 (2)在matlab上编写程序如下： A=[4 -1 1;4 -8 1;-2 1 5]; >> b=[7 -21 15]'; >> x0=[0 0 0]'; >> [x,k]=jacobi(A,b,x0,1e-7) x = 2.0000 4.0000 3.0000 k = 17 附jacobi迭代法的matlab程序如下： function [x,k]=jacobi(A,b,x0,eps) % 采用Jacobi迭代法求Ax=b的解 % A为系数矩阵 % b为常数向量 % x0为迭代初始向量 % eps为解的精度控制 max1= 300; %默认最多迭代300，超过300次给出警告D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f; k=1; %迭代次数 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x=B*x0+f; k=k+1; if(k>=max1) disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛'); return; end end
【2017年整理】lingo灵敏度分析实例
【2017年整理】lingo灵敏度分析实例一个实例理解Lingo的灵敏性分析 线性规划问题的三个重要概念: 最优解就是反应取得最优值的决策变量所对应的向量。 最优基就是最优单纯形表的基本变量所对应的系数矩阵如果其行列式是非奇异的，则该系数矩阵为最优基。 最优值就是最优的目标函数值。 Lingo的灵敏性分析是研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围(此时假定其它系数不变)时，最优基保持不变。灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。下面是一道典型的例题。 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: 1) 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资,若投资，每天最多购买多少桶牛奶, 2) 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元, 3) 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划, 模型代码: max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100; 运行求解结果: Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息。 其中，“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量 Xj, 相应的 reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题)。本例中X1，X2均为基变量。 “Slack or Surplus”给出松驰变量的值，模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束。3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”:原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus给出这3种资源在最优解下是否有剩余:原料、劳动时间的剩余均为 零，车间甲尚余40(公斤)加工能力。
第3章 MATLAB数值计算-习题 答案
roots([1 -1 -1]) x=linspace(0,2*pi,10); y=sin(x); xi=linspace(0,2*pi,100); y1=interp1(x,y,xi); y2=interp1(x,y,xi,'spline'); y3=interp1(x,y,xi,'cublic'); plot(x,y,'o',xi,y1,xi,y2,xi,y3) x=[0 300 600 1000 1500 2000]; y=[0.9689 0.9322 0.8969 0.8519 0.7989 0.7491]; xi=linspace(0,2000,20); yi=1.0332*exp(-(xi+500)/7756); y1=interp1(x,y,xi,'spline'); subplot(2,1,1);plot(x,y,'o',xi,yi,xi,y1,'*') p=polyfit(x,y,2); y2=polyval(p,xi); subplot(2,1,2);plot(x,y,'o',xi,yi,xi,y2,'*') x=[0 300 600 1000 1500 2000]; y=[0.9689 0.9322 0.8969 0.8519 0.7989 0.7491]; xi=linspace(0,2000,20); y1=interp1(x,y,xi,'spline'); subplot(2,1,1);plot(x,y,'-o', xi,y1,'-*') p=polyfit(x,y,2); y2=polyval(p,xi); subplot(2,1,2);plot(x,y,'-o',xi,y2,'-*')
灵敏性分析
LINGO灵敏性分析（Range，Ctrl+R） 用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在 什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。为了激活灵敏性分析，运行 LINGO|Options…，选择 General Solver Tab，在 Dual Computations 列表框中，选择 Prices and Ranges 选项。灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。 下面我们看一个简单的具体例子。 例 5.1某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示： 若要求桌子的生产量不超过 5 件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？ 用 DESKS、TABLES 和 CHAIRS 分别表示三种产品的生产量，建立 LP 模型。 max=60*desks+30*tables+20*chairs; 8*desks+6*tables+chairs<=48; 4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20; 2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8; tables<=5; 求解这个模型，并激活灵敏性分析。这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看 到如下结果。
“Global optimal solution found at iteration: 3”表示 3 次迭代后得到全局最优解。“Objective value:280.0000”表示最优目标值为 280。“Value”给出最优解中各变量的值：造 2 个书桌（desks）, 0 个餐桌（tables）, 8 个椅子（chairs）。所以 desks、chairs 是基变量（非 0）， tables 是非基变量（0）。 “Slack or Surplus”给出松驰变量的值： 第 1 行松驰变量 =280（模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束） 第 2 行松驰变量 =24 第 3 行松驰变量 =0 第 4 行松驰变量 =0 第 5 行松驰变量 =5 “Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的 reduced cost 值应为 0，对于非基变量 Xj, 相应的 reduced cost 值表示当某个变量 Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max 型问题)。本例中：变量 tables 对应的 reduced cost 值为 5，表示当非基变量 tables 的值从 0变为 1 时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值 = 280 - 5 = 275。 “DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。输 出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为 p，表示对应约束中不等式右端项若增加 1 个单位，目标函数将增加 p 个单位（max 型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。本例中：第 3、4 行是紧约束，对应的对偶价格值为 10，表示当紧约束 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 20 变为 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 21 时，目标函数值 = 280 +10 = 290。对第 4 行也类似。 对于非紧约束（如本例中第 2、5 行是非紧约束），DUAL PRICE 的值为 0, 表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。有时, 通过分析 DUAL PRICE, 也可对产生不可行问题的原因有所了解。 灵敏度分析的结果是 目标函数中 DESKS 变量原来的费用系数为 60，允许增加（Allowable Increase）=4、允许减少（Allowable Decrease）=2，说明当它在[60-4，60+20] = [56，80]范围变化时，
东南大学-数值分析上机题作业-MATLAB版
2015.1.9 上机作业题报告 JONMMX 2000
1.Chapter 1 1.1题目 设S N =∑1j 2?1 N j=2 ，其精确值为 )1 1 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2程序 1.3运行结果
1.4结果分析 按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。 可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。 2.Chapter 2 2.1题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321= *=*-=*x x x ○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。 ○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 2.2程序
lingo结果分析及灵敏性分析
lingo结果分析及灵敏性分析 问题描述 程序代码： max = 60*desks + 30*tables + 20*chairs; 8*desks + 6*tables + chairs <= 48; 2*desks + 1.5*tables + 0.5*chairs <= 8; 4*desks + 2*tables + 1.5*chairs <= 20; tables<= 5; 部分结果一： Variable Value Reduced Cost DESKS 2.000000 0.000000 TABLES 0.000000 5.000000 CHAIRS 8.000000 0.000000 ⑴Value:给出最优解中各变量的值，Value=0(非基变量)，反之为基变量。
⑵Reduced Cost：表示当非基变量有微小变动时, 目标函数的变化率。本例中： 变量tables 对应的reduced cost 值为5，表示当非基变量tables 的值从0 变为1 时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值= 280 - 5 = 275。 部分结果二： Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.0000 1.000000 2 24.00000 0.000000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 10.00000 5 5.000000 0.000000 ⑴“Slack or Surplus”――松驰变量。 ⑵“Dual Price”――对偶价格表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化 率。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位，目标函数将增加p个单位（max 型问题）。 ⑶如果在最优解处约束正好取等号（紧约束，也称为有效约束或起作用约束）， 对偶价格值才可能不是0。本例中：第3、4 行是紧约束，对应的对偶价格值为10，表示当紧约束4) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 20 变为4) 4 DESKS + 2 TABLES + 1. 5 CHAIRS <= 21 时，目标函数值= 280 +10 = 290。
Matlab大数值计算题目
Matlab大数值计算题目 1、统计附件1中的数据，对其中的数据划分区间，从0到50，每 10个单位一个区间，分为5个区间，统计每个区间的数量，画出柱状图。 Matlab程序： clear;clc;close all Data=xlsread('数据.xls'); Q=0:10:50; n=length(Data); m=length(Q); T=zeros(size(Q)); for s=1:n for t=1:m-1 if Data(s)>Q(t)&Data(s) 2、统计附件2中第二列数据中1至100每个数字出现的总次数， 附件2中第三列为每出现第二列数字所对应的次数，最后画出柱状图。 Matlab程序： clear;clc;close all Data=load('WEIBOIDWITHCOMMENTS.txt'); DATA=Data(:,2); t=Data(:,3); % m=max(DATA); m=100; T=zeros(m,1); for i=1:m data=DATA; data(data~=ones(size(data))*i)=0; data(data~=0)=1; n=data.*t; N=sum(n); T(i)=N; end bar(T) 3、 找到矩阵迷宫的通路,矩阵第1行第1列为迷宫的入口，第8行 第8列为迷宫的出口。（0表示路，1表示墙） 000 00000011 11010000 01010010 11010010 11010010 00011010 01000011 11110?????????????????????????? Matlab 程序： 主程序： clear all clc maze=[0,0,0,0,0,0,0,0; 0,1,1,1,1,0,1,0; 0,0,0,0,1,0,1,0; 0,1,0,0,0,0,1,0; 0,1,0,1,1,0,1,0; 0,1,0,0,0,0,1,1; 0,1,0,0,1,0,0,0; 0,1,1,1,1,1,1,0]; total=0; maze(1,1)=3; Lingo 与线性规划 线性规划的标准形式是 1111111..0,1,2,,n n m mn n m i a x a x b s t a x a x b x i n +≤????+≤??≥= ? (1) 其中11n n z c x c x =++称为目标函数，自变量i x 称为决策变量,不等式组(1)称为约束条件. 满足不等式组(1)的所有1(,,)n x x 的集合称为可行域，在可行域里面使得z 取最小值 的**1(,,)n x x 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。 求解优化模型的主要软件有Lingo 、Matlab 、Excel 等。其中Lingo 是一款专业求解优化模型的软件，有其他软件不可替代的方便功能。本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。 一、基本规定 1、目标函数输入格式 max=函数解析式； 或者 min=函数解析式； 2、约束条件输入格式 利用：>、<、>=、<=等符号。但是>与>=没有区别。Lingo 软件默认所以自变量都大于等于0. 3、运算 加(+),减(-),乘(*),除(/),乘方(x^a)，要注意乘号(*)不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。 5、标点符号 每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“;”结束）。但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。endsets ，enddata ，end 尾部不加任何符号。 6、命令不考虑先后次序 7、MODEL 语句 一般程序必须先输入MODEL ：表示开始输入模型，以“END”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。 8、改变变量的取值范围 @bin(变量名)； 限制该变量为0或1. @bnd(a,变量名,b )； 限制该变量介于a,b 之间. @free(变量名)； 允许该变量为负数. @gin(变量名)； 限制该变量为整数. 例1 求目标函数1 223z x x =+的最小值，约束条件为 输入Lingo 程序： min = 2*x1 + 3*x2; x1 + x2 >= 350; x1 >= 100; 2*x1 + x2 <= 600; 有两种运行方式： 熟悉LINGO软件的灵敏度分析功能 2012——2013学年第一学期 合肥学院数理系 实验报告 课程名称：运筹学 实验项目：熟悉LINGO软件的灵敏度分析功能实验类别：综合性□设计性□√验证性□专业班级： 姓名：学号： 实验地点： 实验时间： 2012年11月22日 指导教师：管梅成绩： 一.实验目的 1、学会使用LINGO 软件求解线性规划问题的灵敏度分析。 2、学会分析LINGO 软件求解的结果。 二.实验内容 1、求解线性规划： 12 1212max 2251228Z x x x x x x =++≥?? +≤? 并对价值系数、右端常量进行灵敏度分析。 2、已知某工厂计划生产I ，II ，III 三种产品，各产品需要在A 、B 、C 设备上加 I II III 设备有效台时 （每月） A 8 2 10 300 B 10 5 8 400 C 2 13 10 420 单位产品利润 （千元） 3 2 2.9 (1)如何发挥生产能力，使生产盈利最大？ (2)若为了增加产量，可租用别工厂设备B ，每月可租用60台时，租金1.8万元，租用B 设备是否合算？ (3)若另有二种新产品IV 、V ，其中新产品IV 需用设备A 为12台时、B 为5台时、C 为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品V 需用设备A 为4台时、B 为4台时、C 为12台时，单位产品盈利1.87千元。如A 、B 、C 的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？ (3)对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品I 需用设备A 为9台时、设备B 为12台时、设备C 为4台时，单位产品盈利4.5千元，这时对原计划有何影响？ 三. 模型建立 1、模型略 数值分析上机题(matlab版)(东南大学) 数值分析上机报告 第一章 一、题目 精确值为)1 1 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序 1 1 131121222-+??+-+-= N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序 1 21 1)1(111222-+??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算6 42 10,10, 10S S S ,并指出有效位 数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 clear N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn using different algorithms (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); 1. 使用444（x）对数据进行插值，并写出误差分析理论。 建立脚本 x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); for j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp('4次牛顿插值多项式'); P4=vpa(collect((sum(d))),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,保留小数点后5位数figure ezplot(P4,[0.2,1.08]); 输出结果为 P4 =- 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 插值余项：R4(x)=f(5)( ξ)/ (5!)* (x - 0.6)*(x - 0.4)*(x - 0.8)*(x - 1)*(x-0.2) 新建一个M-file syms x l; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(x1); Ls=sym(0); for i=1:n l=sym(y1(i)); for k=1:i-1 l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k)); end for k=i+1:n l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k)); end Ls=Ls+l; end Ls=simplify(Ls) %为所求插值多项式Ls(x). figure ezplot(Ls,[0.2,1.08]); 输出结果为 Ls =- (25*x^4)/48 + (5*x^3)/6 - (53*x^2)/48 + (23*x)/120 + 49/50 插值余项：R4(x)=f(5)( ξ)/ (5!)* (x - 0.6)*(x - 0.4)*(x - 0.8)*(x - 1)*(x-0.2) 2. 试求3次、 合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。 建立脚本 X=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0]; Y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46]; p1=polyfit(X,Y,3) p2=polyfit(X,Y,4) 1.采用数值计算方法，画出dt t t x y x ?=0sin )(在]10 ,0[区间曲线，并计算)5.4(y 。 （提示：cumtrapz 快捷，在精度要求不高处可用；quad 也可试。巧用find 。）第一种答： 程序代码 clear; t=0:0.1:10; y=sin(t)./t; s =cumtrapz(t,y); plot(t,y) > y='sin(t)./t'; quad(y,0,4.5,0.01) 运行结果： ans = 1.6541 第二种答： 程序代码 d=0.5; %分区间的区间间隔 tt=0:d:10; t=tt+(tt==0)*eps; %使0被一个极小数代替 y=sin(t)./t; s=d*(cumtrapz(y)); %计算累计积分 plot(t,s),xlabel('x'),ylabel('y'),hold on y1=interp1(t,s,4.5) %插值法计算y(4.5) plot(4.5,y1,'*'),hold off 运行结果： y1 = 1.6542 4. 设0)0(,1)0(,1)(2)(3)(22===+-dt dy y t y dt t dy dt t y d ，用数值法和符号法求5.0)(=t t y 。 （提示：注意ode45和 dsolve 的用法。） 数值法： 编写M 函数文件DyDt.m function ydot=DyDt(t,y) ydot=[y(2);3* y(2)-2*y(1)-1]; %解算微分方程 tspan=[0.5,1]; y0=[1;0]; [tt,yy]=ode45(@DyDt,tspan,y0); figure(1) plot(tt,yy(:,1)) xlabel('t'),title('x(t)')Lingo与线性规划
熟悉LINGO软件的灵敏度分析功能
数值分析上机题(matlab版)(东南大学)
MATLAB解决数值分析问题
matlab程序题