傅里叶变换的原理及matlab实现

傅里叶变换的原理及matlab实现

课程名称：数字图像处理

学院：信息工程与自动化学院

专业：计算机科学与技术

年级： 09级

学生姓名： 111 指导教师： 1111

日期： 2012-6-10

教务处制

一、傅立叶变化的原理； (3)

（1）原理 (3)

（2）计算方法 (3)

二、傅立叶变换的应用； (3)

（1）、频谱分析 (4)

（2）、数据压缩 (4)

（3）、OFDM (4)

三、傅里叶变换的本质； (4)

四、实验内容； (8)

五、傅立叶变换方法； (8)

六、实验结果及分析； (8)

七、傅立叶变换的意义； (9)

（1）、傅立叶变换的物理意义 (9)

（2）、图像傅立叶变换的物理意义 (10)

八、总结； (11)

九．附录； (11)

一、傅立叶变化的原理；

（1）原理

正交级数的展开是其理论基础！将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同频率谐波的叠加，从而达到解决周期函数问题的目的。在此基础上进行推广，从而可以对一个非周期函数进行时频变换。

从分析的角度看，他是用简单的函数去逼近（或代替）复杂函数，从几何的角度看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为坐标。从变幻的角度的看，他建立了周期函数与序列之间的对应关系；而从物理意义上看，他将信号分解为一些列的简谐波的复合，从而建立了频谱理论。

当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上，一个函数除了要满足狄氏条件外，一般来说还要在积分域上绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换。引入衰减因子e^(-st)，从而有了Laplace变换。（好像走远了）。

（2）计算方法

连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为

即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。

一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。

二、傅立叶变换的应用；

DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。

（1）、频谱分析

DFT 是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT 应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。

（2）、数据压缩

由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。 （3）、OFDM

OFDM （正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽为N 个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM 调制可以由IDFT 实现，而解调可以由DFT 实现。OFDM 还利用DFT 的移位性质，在每个帧头部加上循环前缀（Cyclic Prefix ），使得只要信道延时小于循环前缀的长度，就能消除信道延时对传输的影响。

三、傅里叶变换的本质；

傅里叶变换的公式为

dt e t f F t j ?

+∞

∞

--=

ωω)()(

可以把傅里叶变换也成另外一种形式：

t j e t f F ωπ

ω),(21

)(=

可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。

)(2,21)(2121Ω-Ω==?Ω-ΩΩΩπδdt e e e t j t j t j

下面从公式解释下傅里叶变换的意义

因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和t

j e

ω求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的

分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在t

j e

ω上的投影，积分值是

时间从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来，可以理解为f(t)在t

j e

ω上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为ω的分量，也就形成了频谱。

傅里叶逆变换的公式为

ωωπ

ωd e F t f t

j ?

+∞

∞

-=

)(21)( 下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义

傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在)(ωF 和t

j e

ω-求内积的时候，)(ωF 只有t

时刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t 时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t 时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。

对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。

优点：频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱。

缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

例子：

平稳信号：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)

傅里叶变换的结果：

由于信号是平稳信号，每处的频率都相等，所以看不到傅里叶变换的缺点。对于非平稳信号：信号是余弦信号，仍然有四个频率分量

傅里叶变换的结果：

由上图看出知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

四、实验内容；

（一）用快速傅立叶变换FFT 实现数字图像的傅立叶变换，进一步加深对DFT 算法原理和基本性质的理解（因为FFT 只是DFT 的一种快速算法，所以FFT 的算法结果必然满足DFT 的基本性质）。

（二）熟悉FFT 算法原理和FFT 子程序的应用。

（三）学习用FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分布误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。

五、傅立叶变换方法；

（1）、矩阵形式的傅立叶变换的算法如下：

数字图像F 的傅立叶正变换：A

A T R

c F

=Γ

数字图像F 的傅立叶反变换：F=

A

A R

T C

Γ

变换矩阵????

??

?

?????????-=

=----W W

W

W

W

W

W

W W W W W W W W W A A N N N N N N R C )1(12)

1(21

0)1(23

2

12100

000

，其中e N i W π

2-=，N 为图像的维数。

六、 实验结果及分析；

（一）对原图像进行傅立叶变换，实验结果如图5-1：

图5-1

分析：图像显示了原图像及其傅立叶频谱。观察傅立叶谱中心对称，在此图像进行傅立

叶变换的计算之前被乘以y

x +-)1(，以此增强了灰度级细节。

（二）输出彩色图像greens.jpg 的傅立叶频谱，实验结果如图5-2：

图5-2

分析：图像显示了原图像和其彩色图像傅立叶频谱。可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）

（三）对彩色图像football.jpg 进行二维DCT 变换，实验结果如图5-3:

图5-3

分析：二维DCT 变换后的频谱图亮点在左上角。

七、傅立叶变换的意义；

（1）、傅立叶变换的物理意义

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名

的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其

算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

（2）、图像傅立叶变换的物理意义

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存

在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

八、总结；

图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。

九．附录；

利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下：

%傅立叶变换Matlab图像的DFT

clc;

figure(1);

load imdemos saturn2;

imshow(saturn2);

title('原图像');

figure(2);

S=fftshift(fft2(saturn2));

figure(2);

S=fftshift(fft2(saturn2));

imshow(log(abs(S)),[]);

title('原图像傅立叶频谱');

%彩色图像的傅立叶频谱

figure(1);

A=imread('greens.jpg');

B=rgb2gray(A);

imshow(B);

title('原图像');

S=fftshift(fft2(B));

figure(2);

imshow(log(abs(S)),[]);

title('彩色图像的傅立叶频谱');

%二维DCT变换

RGB=imread('football.jpg');

figure(1);

imshow(RGB);

title('彩色图像');

GRAY=rgb2gray(RGB);

figure(2);

imshow(GRAY);

title('灰色图像');

DCT=dct2(GRAY);

figure(3);

imshow(log(abs(DCT)),[]); title('二维DCT变换');