泄洪设施修建计划论文

数学建模论文

题目：泄洪设施修建计划

目录

一摘要 (3)

二问题的重述 (4)

三问题的分析 (4)

四建模过程 (5)

1）问题一 (5)

1.模型的假设 (5)

2．定义符号说明 (5)

3. 模型的建立 (5)

4．模型的求解 (8)

2）问题二…………………………………………………………8.

1．模型的假设 (8)

２．符号的说明 (8)

３．模型的建立 (8)

４．模型的求解 (8)

3）问题三..................................................................11. 1．模型的假设 (11)

２．符号说明 (11)

３．模型的建立 (11)

４．模型的求解 (11)

4）问题四 (13)

五．模型的评价与推广 (13)

六．参考文献 (14)

七．附录 (14)

摘要

本文针对泄洪设施修建问题，采用0-1规划建立数学模型，求解得到三年开挖排洪沟和修建新泄洪河道的最优计划和策略。

对于问题一： 1）用Matlab分别对四条河采用1，3，1，5次拟合出四条天然河流的泄流量关于时间的函数，并采用一元线性回归分析方法对函数进行了检验，用于预测2010年至2014年四条天然河流的泄流量。 2）用0-1规划模型，由lingo软件求解得到此计划最小总费用为171.2210万元。 3）泄洪设施修建计划的实施方案如下：2010年挖第1,3,5,6号排洪沟， 2011年挖第2号排洪沟， 2012年挖第7号排洪沟，三年修建完成一段20公里长的新泄洪河道，可泄洪量为100万立方米/小时，使得每年的可泄洪量达到并超出了政府设定的指标。

对于问题二：通过分析为达到费用最低，每个村庄流出的河道只能修一条，那么每条河的泄洪量则为100万立方米/小时的整数倍。采用从东向西逐一分析，通过比较两村间的实际距离跟下游地区泄洪量扩大的问题综合考虑，设计出多种方案。主体泄洪河道分为交叉和不交叉两种，不交叉的方案中费用最低的是（2-1-3-4-5-8，6-5，9-7-8，10-8），总费用为579.2657万元；交叉河道方案中费用最低的方案是（1-3-7-8,2-7-8，6-5-8,10-8，9-7-8，），总费用为572万元。

对于问题三：维修人员选择任一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作并留宿是等概率的，根据问题（2）利用古典法构造出维修人员在任意两个村对于庄之间走动的转移概率矩阵。再建立马氏链模型，利用Lingo9.0编程求解得到在各村庄留宿的概率，由此可知他在各村留宿的概率分布较稳定。

对于问题四：方法一：由于问题二得到的村间修建新泄洪河道网络规划是在约定了流出口仅为8号村庄的情况下建立的0-1模型，结合实际发现，仅从一个出口流出并不是最优的。故取消对8号村庄的限制，但仍保留流量的限制，采用最小部分树模型，使得政府的投入减小。方法二：拓宽拓深天然河道，在合适的时间调水冲淤，辅助修建一些泄洪河道。

关键词：MATLAB 拟合生成有向最小树马氏链模型 LINGO

问题的重述

在进行泄洪设施修建时，解决防汛水利设施建设问题。从两方面考虑，一是在各村开挖一排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，以通过修建新泄洪河些道的办法把洪水引出到主干河流。在资金、人力和物力各种因素的限制情况下，人们常常想在满足现实需要的情况下以最小的代价解决防汛、泄洪问题。

在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时利用三年的时间修建一段20公里长的新泄洪河道。对该模型进行评估后，得到了一些基本的数据。即，修建

新泄洪河道的费用为L

（万元），其中Q表示泄洪河道的可泄洪量

66

.0

Q

P51.0

（万立方米/小时），L表示泄洪河道的长度（公里）。从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，对于挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）如下表所示：

如何使我们的基金使用量达到最优解。因此我们可以使用最小生成树的方法使得新修在建的河道泄洪量尽可能的小，然后我们又运用最短路径的相关知识使得修建河道的总长度尽可能的小。

第四问中：你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法。本题需要我们设计一种排洪沟的开挖和资金的分配方案，使我们使用的资金尽可能的少，而且能保证泄洪工作正常进行。

问题的分析

问题一：由于修建新泄洪河道过程历时三年，又乡政府从2010年开始，只提供三年的资金用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，所以新河道需在2010年动工，至2013年才能投入使用解决防汛问题。那么2010至2012年的泄洪量指标只能通过开挖排洪沟完成。

假设修建新泄洪河道的费用只需在第三年完工时结清，则2010及2011年政府的拨款可先支付开挖排洪沟的费用，剩下的用于支付修建新泄洪河道工程。新泄洪河道长度L已知为20公里，可泄洪量Q为100万立方米/小时，故修建费用P 一定，故只需考虑开挖排洪沟的计划。

为得到一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道的，保证该村从

2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，且整个方案的总开支尽量节省，考虑利用0-1规划模型，求出满足前三的要求后，来估测第四五年的情况是否达到可泄洪量180,190万立方米/小时。

问题二：修建新泄洪河道的费用为L Q P 51.066.0=，即受泄洪河道的可泄洪量

Q （万立方米/小时）及泄洪河道的长度L （公里）两个因素共同制约。因为从村

A →村

B 的新泄洪河道，一般要求能够承载村A 及上游新泄洪河道的泄洪量，所以流出河道的可泄洪量之和应不小于流入河道的可泄洪量及村A 要求达到的100万立方米/小时的泄洪量之和，泄洪河道自西向东流，。又因为计划完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力，故从每村流出的新泄洪河道的可泄洪量之和应满足指标。在满足以上两个约束条件的前提下，泄洪河道自西向东流还存在单向问题，使得此方案所需的总费用尽量节省。

问题三：新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定。

问题四：对该乡村提出更合理的排洪方案。

问题一

1.1模型的假设

（1）每条排洪沟的可泄洪量的减小速率恒为每年10%； （2）新修建的排洪沟在当年修成并能投入使用；

（3）在天然河道的泄洪能力非常小的情况下，认为其泄洪量为零

1.2符号的说明

ij x 表示第i 年开挖第j 条排洪沟，其中 1 i j

0 i j ij x ?=?

?第年开挖第条排水沟第年不开挖第条排水沟

j c 表示开挖第j 条沟的费用 j q 表示第j 条沟的泄洪能力

i Q 表示第i 年排洪要求 1i Q 表示第i 年四条天然河道的排洪量总量

()L i 表示第i 年修的泄洪道的长度为()L i 公里

1.3模型的建立

对问题一的模型的建立主要分为以下几个步骤：

（1） 根据已知数据对四条天然河道在2009年后五年内的排水量进行拟合来预

测2010-2014年四条天然河道泄洪能力，对这四条天然河道分别用多项式拟合.对天然河道泄洪能力的预测结果见下表（matlab 程序见附录1）。

17.24502083.11+-=x y 24.287966.0031.0232++-=x x y

98

.4199085.23+-=x y

8.13856.8535.2757.438.001269.023454+-+-+-=x x x x x y

根据多项式拟合的方法可求得从2010年至2014年的河道泄洪量如下表所示：

（2） 建立目标函数

8

0.51

1

31310.66()60; (1.1)()20; (1.2) 1; (j=1,2,3,4,5,6,7,8) j ij j i ij i Q L i c x L i x ===??+≤??=≤∑∑∑（其中[]表示取整）

(4)约束条件81111188

2112211 (1.3) ; (1.4) 0.9; j j j j j j j j j Q x q Q Q x q x q Q ===+≥++≥∑∑∑888

231

1233

111

88832

411234111

(1.5) 0.90.9 (1.6)

0.90.90.9100; (1j j j j j j j j j j j j j j j j j j Q x q x q x q Q Q x q x q x q Q ======+++≥++++≥∑∑∑∑∑∑888

432

511235111.7)

0.90.90.9100; (1.8)

j j j j j j j j j Q x q x q x q Q ===???

?

??

?

??

?

?

?

??????????

?++++≥??

∑∑∑其中

(1.1)式表示第i 年修泄洪道的费用（取整）与第ｉ年用来挖排洪沟的费用之和应小于每年最多可提供的60万元；

(1.2)式表示三年内修的泄洪道总长要达到20公里； (1.3)式表示三年内第j 条排洪沟最多只能被挖一次；

(1.4)式表示第一年挖排洪沟的排洪量8

111j j j x q =∑与天然河道排洪量的总和不小于

第一年所要求的最小排洪量1Q ；

(1.5)式表示第二年新挖的排洪沟的排洪量8

21j j j x q =∑，第一年已挖的排洪沟在第二

年具有的排洪量8

11

0.9j j j x q =∑，天然河道在第二年具有的排洪量21Q ，这三个排

量的总和应不小于第二年所要求的最小排洪量2Q ，同理有(1.6)式； (1.7)-(1.8)式表示泄洪河道与天然河道及三年内已挖的排洪沟一起进行排洪 它们排洪量的总和应不小于每年所要求的排洪量；

1.4模型的求解

运用Lingo9.0 求解模型（程序见附录2），求得的结果如下： x(1,1)=x(1,3)=x(1,5)=x(1,6)=x(2,2)=x(3,7)=1

即：第一年修四条排洪沟分别为1 ,3, 5，6号就能满足要求，第一年开挖排洪沟花了39万元，修了5.6431公里。第二年修建一条 2号就能满足，修建泄洪河道7.6689公里。第三年也修一条为7号就能满足要求，修建泄洪河道6.688公里。三年修建排洪沟所用的总费用为P=172万元,此模型既满足了前三年所需的要求，经计算也远远满足了第四，五年的排洪要求，使得费用最低。

问题二

2.1模型假设

（1）泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力； （2）每条泄洪河道允许有交叉；

（3）修建泄洪河道费用只与泄洪量与距离有关，不考虑其他因素； （4）地势相同的两个村不修泄洪河道；

2.2符号假设与说明

P 为修建10个村泄洪河道所用的总费用 L 为修建十个村的泄洪河道的总距离

2.3模型的建立

建立目标函数：P=∑=9

1i i 0.51L Q 66.0

要求：泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力；

泄洪河道自西向东流具有单向性

2.4模型的求解

1．根据该乡10个村大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。建立各村预修建的网络图，如下：

2．利用有向最小生成树算法，逐步分析，再兼顾泄洪量对其的影响，到得到如下两大类：

河道不交叉的方案：

A图

A路径的总费用P=632.4713万元

B图

B路径的总费用P=718.9818万元

C图

C路径的总费用P=579.2657万元

D图

D图路径的总费用P=605.7545万元

F图

F图路径的总费用P=590.3233万元

河道交叉路径方案：

X1图

X1图路径的总费用P=574.0622万元

X2图

X2图路径的总费用为P=573.2232万元

X3图

X3路径的总费用P=571.2271万元

比较分析的最优的修建方案为x1图，可得开挖的线路为1-3-7-8,2-7-8， 6-5-8,10-8，9-7-8，所需的总费用为P=572万元。.

问题三

3.1模型的假设

（1）假设维护人员是等概率对相通的村庄进行维修； （2）假设问题二中所求的修建河道的路线是合理的； （3）假设维护人员每到一处一天都修好； 3.2符号说明 P 为转移矩阵

W 为维修员到各村的稳定概率向量 3.3模型的建立

假设维护人员是等概率对相通的村庄进行维修，如x3图，有4条泄洪河道经过村庄⑦，分别是③-⑦ ，②-⑦，⑧-⑦，⑨-⑦ ，现在进行等概率假设，即当维护人员在村庄⑦时，去③、②、⑧、⑨村庄的概率均为1/4，同理，当维护人员在村庄③时，去①、⑦村庄的概率均为1/2，又如村庄①，仅有一条泄洪河道经过，因此当维护人员在这个村庄停留时，去下一个村庄的概率就为1，而①-②之间没有路线，则维护人员从村庄①直接到村庄②的概率为0.依次类推可以得到去各村的概率。 以{,0,1,2,...}n X n =记维修员第n 天留宿的村庄号，这是个Markov 链。 根据上面的模型假设，这是个Marko 链，可以得到以下转移矩阵P 满足下列方程组：

()??

?

?

???===∑10110211,i w w w w w w wP

其中

()102,1w w w w =为维修员到各村的稳定概率 3.4模型的求解

1. 根据模型假设建立转移矩阵P P=[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0; 1/2 0 0 0 0 0 1/2 0 0 0; 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;

O O O 1/3 0 1/3 0 1/3 0 0; 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;

0 1/4 1/4 0 0 0 0 1/4 1/4 0;

0 0 0 0 1/3 0 1/3 0 0 1/3;

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ;

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0]

2.利用matlab对模型求解:(编程见附录3)

求得的结果如下：

W=(0.0556 0.0556 0.1111 0.0556 0.1667 0.0556 0.2222

0.1667 0.0556 0.0556)

由结果说明：维修人员到任意两个村维修的概率是稳定的。

问题四

方法一：由于问题二得到的村间修建新泄洪河道网络规划是在约定了流出口仅为8号村庄的情况下建立的0-1模型，结合实际发现，仅从一个出口流出并不是最优的。故取消对8号村庄的限制，但仍保留流量的限制，采用最小部分树模型，使得政府的投入减小。

方法二：在求解问题一时，该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。这四条天然河流在2002年的总泄洪量达到31.3+15.9+25.8+46.2=119.2万立方米/小时，可以看出，天然河道有着很大的泄洪潜力，如果充分利用天然河道的天然优势，则可以大大减少修建新泄洪河道花费的资金。

在这种情况下，可以在采取拓宽拓深天然河道，在合适的时间调水冲淤，辅助修建一些泄洪河道，连接成河道网络，从而解决该乡的泄洪问题。

模型的评价及推广

1模型的评价

1.1模型的优点：

（1）问题一建立的线性规划模型，先是在满足前三年的情况下，算出最优解，然后用第四、第五年的泄洪量进行检验是否满足。如果仍要以第四、第五年的泄洪量建立约束函数，综合求解，这样使计算量增大。所以，用第四、第五年的泄洪量进行检验，简化了计算过程。

（2）问题二根据采用动态规划逆算法求最短路径并且满足从西向东流的要求，再得到最优的河道网络图。这样先简单后复杂，在原来的基础上，增加要考虑泄洪量的因素，得到最终结果。

（3）问题三河道网络中的交汇点即为村庄，那么可以把河道简化为线，把村庄简化为交点，在建立的马氏链模型中，维护人员是沿着线从一个点转移到另一个点。所以建立的马氏链模型跟现实很逼近，误差很小。

1.2模型的缺点：

（1）模型一假设新建的泄洪河道是在完工后才能进行泄洪。在现实中，泄洪河道有边挖边用可能性。而在模型中并没有分别讨论，进行求解，这样使模型不完善。

（2）模型二河道在交叉点交汇时没有考虑对下游泄洪量的影响，这也可能会对总费用产生影响，在交叉点不交汇时也会产生修建涵洞等设施的费用，这也同样会对总费用造成影响。

（3）模型三第三问的解决是在第二问合理的基础上计算的，如果第二问假设不合理，会对第三问的结果产生影响。

2、模型的推广

本题虽然是以河道为研究对象，但是建立的模型有很好的代表性。因为修建的泄洪河道可以等效为现实生活中的公路、铁路、轮船的航线、铺设的管线等，泄洪河道经过的村庄可以等效为城市、码头、工厂等。所以，本题中建立的四个模型可以推广到现实生活中，用于指导生产实践。

对于本题建立的四个模型，线性规划模型、马氏链模型要考虑的因素不多，并且与实际很接近，误差较小，可以直接推广。

但是基于天然河道的最优泄洪基本模型考虑的因素还不多，如有些地方可能因为地貌不能挖泄洪河道、有的地方河道没法加宽、以及修建排洪沟……这样会使建立的模型对实际产生较大的误差。因此，推广前还要对模型进行修订，以减小误差。

参考文献

【1】《数学建模方法及其应用》韩中庚高等教育出版社

【2】《优化建模与LINDO/LINGO软件》谢金星薛毅清华大学出版社【3】《MATLAB基础及数学软件》阳明盛林建华大连理工大学出版社

附录

问题一的MATLAB程序(附录1)

>> x=2001:1:2009;

>> y=[32.3 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7];

>> p=polyfit(x,y,1);

>> px=poly2str(p,'x');

>> z=polyval(p,x);

>> plot(x,y,'k+',x,z,'r')

>> px=poly2str(p,'x')

px =

-1.2083 x + 2450.175

问题一的LINGO程序(附录2)

model:

sets:

nian/1..3/;

gou/1..8/:c,q;

links(nian,gou):x;

yuce/1..5/:Qy,Qx;

endsets

min=@sum(nian(I):@sum(gou(J):c(J)*x(I,J)));

@for(nian(I):

@sum(gou(J):c(J)*x(I,J))<=60);

@sum(nian(I):@sum(gou(J):c(J)*x(I,J)))<=42;

@for(gou(J):

@sum(nian(I):x(I,J))<=1);

Qy(1)+@sum(gou(J):x(1,J)*q(J))>=Qx(1);

Qy(2)+0.9*@sum(gou(J):x(1,J)*q(J))+@sum(gou(J):x(2,J)*q(J))>=Qx(2); Qy(3)+0.9^2*@sum(gou(J):x(1,J)*q(J))+0.9*@sum(gou(J):x(2,J)*q(J))+@su m(gou(J):x(3,J)*q(J))>=Qx(3);

Qy(4)+0.9^3*@sum(gou(J):x(1,J)*q(J))+0.9^2*@sum(gou(J):x(2,J)*q(J))+0 .9*@sum(gou(J):x(3,J)*q(J))+100>=Qx(4);

Qy(5)+0.9^4*@sum(gou(J):x(1,J)*q(J))+0.9^3*@sum(gou(J):x(2,J)*q(J))+0 .9^2*@sum(gou(J):x(3,J)*q(J))+100>=Qx(5);

@for(links:@bin(x));

data:

Qy=41.58 27.16 24.04 20.75 17.45;

Qx=150 160 170 180 190;

c=5 7 5 4 6 5 5 3;

q=25 36 32 15 31 28 22 12;

enddata

end

问题一显示结果如下：

问题三的MATLAB程序等概率：

P=zeros(10,10);

B=ones(1,10);

p(1,3)=1;

p(2,7)=1;

p(3,1)=1/2;

p(3,7)=1/2;

p(4,5)=1;

p(5,4)=1/3;

p(5,6)=1/3;

p(5,8)=1/3;

p(6,5)=1;

p(7,2)=1/4;

p(7,3)=1/4;

p(7,8)=1/4;

p(7,9)=1/4;

p(8,5)=1/3;

p(8,7)=1/3;

p(8,10)=1/3;

p(9,7)=1;

p(10,8)=1;

A=(p-eye(10))';

c=[A;B];

d=[zeros(10,1);1]; PPI=c\d