高等数学微积分习题
《高等数学B(1)》教学大纲
二、课程描述
中文：高等数学B课程是我校经济、管理类学科各专业一门必修的重要基础理论课程，它能使学生获得微积分学方面的一些基本概念、基本理论和基本方法，并为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
高等数学课程安排上下两个学期讲授，其主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、多元函数的微积分、无穷级数、常微分方程、差分方程等。
高等数学课程在传授知识的同时，将通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力和自学能力，并注重培养学生具有比较熟练的运算能力以及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
湖南大学的高等数学课程是国家级精品课程，课程的教学团队是国家级教学团队。
英文：Course Description：
Advanced Mathematics B is an important pubic basic compulsory course for the students majoring in economics or management at Hunan university.In this course, students will learn the basic concepts,basic theories and basic principles in the differential and integral calculus to obtain the necessary mathematics fundamentals for further courses or advanced mathematics studies.
Advanced Mathematics B is lectured in two semesters,covering functions,limits and continuity,derivative and differential,the mean value theorem of differential calculus and the application of derivatives,indefinite integral,definite integral and its applications,calculus of multivariate functions,infinite series,ordinary differential equation,difference equation,etc.
In this course,the professor not only imparts knowledge,but also cultivates a student’s ability to draw abstraction and generalization,to make logical reasoning and to study independently.This course also focuses on enhancing a student’s ability to achieve relatively proficient calculation and the ability to analyze and solve the problems with all knowledge in hand.
Advanced Mathematics B in Hunan University is listed in China Excellent Courses, whose faculty is a national teaching team.
三、课程内容
（一）课程教学目标
1．掌握一元和多元函数微积分、无穷级数、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本方法。
2．学会高等数学处理问题、解决问题的思想方法，并为学习后继的数学课程及经管学科的专业课程奠定必要的数学基础。
（二）基本教学内容
第一章、
教学目的与要求：掌握微积分的研究的主要对象-函数的概念和性质。
教学重点：，邻域，复合函数，初等函数
教学难点：复合函数，反函数。
教学内容：理解函数、函数图象、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等概念及性质。理解复合函数的概念，了解反函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图象。了解初等函数的概念。了解常见的经济变量间的数量关系。
学时分配：大课主讲6学时，小课2学时。
第二章、
教学目的与要求：掌握微积分研究的主要方法及思路-极限思想。教学重点：极限的运算，连续性的讨论
教学难点：极限的分析性定义的理解
教学内容：理解数列极限的概念。掌握单调有界数列必有极限的准则，掌握数列极限的夹逼定理，并会用它们求极限。理解函数极限的概念
（含自变量趋于有限值或无穷大时的极限及单侧极限）。掌握极限的性质及四则运算法则，掌握利用两个重要极限求有关极限的方法。理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小的阶的比较，会用等价无穷小求极限。理解函数连续性概念，会判断函数的间断点。了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，掌握这些性质的简单应用。
学时分配：大课主讲14学时，小课3学时。
第三章、
教学目的与要求：掌握导数的概念及运算。
教学重点：导数的概念的理解，运算法则及计算技巧。
教学难点：复合函数的导数，分段函数的导数。
教学内容：理解导数和微分的概念、关系和几何意义，理解函数的可微性与连续性的关系。熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，熟练掌握基本初等函数的求导公式。掌握反函数求导法，隐函数求导法和参数方程确定的函数的求导法，掌握对数求导法。理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
学时分配：大课主讲14学时，小课3学时。
第四章、
教学目的与要求：掌握导数与微分的应用。
教学重点：对导数的几何意义及边际与弹性分析，微分的思想的灵活应用
教学难点：中值定理及微分的应用
教学内容：理解并能应用罗尔定理，拉格朗日中值定理，知道柯西中值定理。掌握罗必塔法则求极限的方法。掌握泰勒公式。理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数单调性。掌握函数极值的方法，掌握函数最小值、最大值的求法及其应用。掌握用导数判断函数凸性与拐点的方法。
掌握根据函数的微分性质描绘函数图象的方法。
学时分配：大课主讲14学时，小课3学时。
第五章、
教学目的与要求：掌握不定积分的概念及运算。
教学重点：原函数的概念，不定积分的运算方法
教学难点：间接积分法
教学内容：理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质。熟练掌握基本积分公式。掌握不定积分的第一换元法（凑微分法）。掌握第二换元法。掌握分部积分法。知道有理函数的部分分式分解。学时分配：大课主讲14学时，小课3学时。
第六章、
教学目的与要求：掌握定积分的概念及运算，定积分的应用。
教学重点：定积分的概念及运算
教学难点：定积分的换元法，定积分的应用-求平面图形的面积及旋转体的体积。
教学内容：理解定积分的概念、性质。了解定积分的几何意义。熟练掌握微积分基本公式，理解定积分与不定积分的联系。会求变限积分的导数。掌握定积分的换元法。掌握分部积分法。了解定积分微元法的思想。掌握用定积分表达和计算平面图形的面积。掌握旋转体体积和常用经济量。
了解反常积分及其敛散性概念。
学时分配：大课主讲14学时，小课3学时。
小注：总复习：大课主讲2学时，答疑2学时。小课2学时。
四、考核方式：
三次机考30%（每次10%），一次期末笔试50%，平时作业10%，课堂到课情况10%.
五、教材及参考书
教材：选用教材：
曹定华、李建平、方涛：微积分（第四版），复旦大学出版社，2011.4
参考书：
1．朱来义：《微积分》（第二版），高等教育出版社，2004.
2．朱来义：《微积分中的典型例题分析与习题》，高等教育出版社，
2004
3．顾静相，冯泰：《经济应用数学》（上、下册），高等教育出版社，2004
六、授课手段
大课堂讲课以小课堂讨论并进，通过“课堂理论教学--课堂上下的作业练习—重点难点疑点的习题课---安排助教答疑—拓展数学应用与实践”的教学过程，培养学生的逻辑推理、综合归纳的能力和数学运算能力，逐步培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
高等数学课后习题与解答
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
高等数学练习答案1-10
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 习题3-1 1、计算下列第二类曲线积分： （1）? -L dx y x ,)(2 2L 为抛物线x y =2 上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧； （2） ,)()(22?+--+L y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2 22a y x =+； （3） ? ++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的 有向弧段; （4） ?-+++L dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线； （5）,? ?L dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针 方向； （6）? ?L dl F ,其中2 22 1y x xe ye F +-= ，L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==. 解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2 ，x 从0到2，所以 ?-L dx y x )(22=1556)5131()(20534202-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()( = ? --+π 202)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1 t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202?---+π =ππ 2120 22-=-? dt a a （3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以 ? ++L xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20 t b td a t a btd t a td a ?++π = 220 22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ -=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0， 第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) （A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-± （D ）}11,7,3{179 1-± 【 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ） （A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0 z 5y x 22 （D ）5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ，6 7 313:2+=+=z y x L ，4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面是（ ） （A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面 （ （C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2++ 2．函数22y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ++=2 ，则=A div . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 10),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a 与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m -=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线? ? ?=--+=-+-04230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11 ,7,52 13132=--=k j i s 取平面的法向量为s n =，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ？并求出此法线方程. 高数微积分习题解答 1、计算下列第二类曲线积分： （1）?-L dx y x ,)(22L 为抛物线x y =2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧； （2）,)()(2 2? +--+L y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2 22a y x =+； （3）?++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到 t=2π的有向弧段; （4）?-+++L dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一 段直线； （5）,??L dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路， 取逆时针方向； （6） ??L dl F ,其中2 22 1y x xe ye F +-= ，L 按逆时针方向饶行的圆 t a y t a x sin ,cos ==. 解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2，x 从0到2，所以 ?-L dx y x )(2 2 =1556)5131()(20534 2 02-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()( =? --+π 20 2 )sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1 t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(120 2?---+π = ππ 2120 22 -=-? dt a a （3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以 ? ++L xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20 t b td a t a btd t a td a ?++π =220 22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ -=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 ?-+++L dz y x ydy xdx )1( =?-+++++++1 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t =1376)146(1 =+=+?dt t （5）三条直线段的方程分别为 y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0. 所以 ??L dl F =?--L xdy ydx ???-+-+-=0 1 01 10 1xdx xdx dy =0 第六章定积分的应用 习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积： (1) y x 2 6x 8, [0, 3] ( 2) y 2x x2 , [ 0, 3] 2．求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1) y e x , y e x与x1; ( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ; (3) y 2x x2与 y x , y 0 ; ( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ; (5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ; (6) y x2 与 y x , y 2x ; (7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ; (8) y x 2 , x 2 y 2 （两部分都要计算） ; 2 8 4．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。 5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p , p) 处的法线所围成的图形的面积。 2 7．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。 x 2 y 2 1 所围图形的面积。 8．求椭圆 2 b 2 a 9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。 10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： (1) 2a sin (a 0) ; ( 2) 2a (2 cos ) (a 0); (3) 2 2 cos 2 （双纽线） ; 12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x ( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。 13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转 体的体积。 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： (1) y ach x 0, x a , y 0 , 绕 x 轴 ; 与 x a ( 2) y sin x 与 y 2x , 绕 x 轴 ; (3) y sin x 与 y cos x (0 x ) , 绕 x 轴 ; 2 ( 4) y ln x , 与 x 2 , y 0 绕 y 轴 ; (5) y 2x x2 与 y x , y 0 绕 y 轴 ; (6) ( x 5)2 y 2 16 , 绕 y 轴 ; 15. 求由抛物线y 2 4(1 x) 及其在 (0, 2) 处的切线和x 轴所围的图形绕 x 轴旋转 产生的旋转体的体积。 16. 求 x 2 y 2 4, x 3 y 2所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 17. 一立体以椭圆x 2 y2 1 为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形( 图 6 2)，100 25 求其体积。 《高等数学（一）》作业 一、求下列函数的定义域 （1）x y cos =； X>=0 （2）)1ln(+=x y 。 X+1>0 X>-1 （1）;11 x y -=(<>是不等于的意思) 1-x<>0 X<>1 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x -1<=x-1<=1 [ 0,2 ] (3）41≤+x ； -4<=1+x<=4 [ -5,3 ] 三、求下列极限 (1)x x x x 3)1( lim +∞ → (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4))12(lim 2 1x x x + - ∞ →; (5) x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6) 12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1 ---→x x x x (10）)1 3(lim 3 n n + ∞ →； (11）x x x 55sin ) sin(lim ∞→； (12）x x x 3tan lim ∞→； 四、求下列函数的微分： （1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）； （2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; 习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2关于高等数学课后习题答案
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