运筹学论文最短路问题
运筹学论文
——旅游路线最短问题摘要：
随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，
越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项
重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题
随之出现，如何决策成为一道难题。然而，如果运用运筹学方法来解决这
一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为
列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。
关键词：最短路 0-1规划约束条件
提出问题:
从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。
各城市之间的航线距离如下表：
重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明
重庆0 1640 1500 662 2650 649
北京1640 0 1200 1887 1010 2266
杭州1500 1200 0 1230 2091 2089
桂林662 1887 1230 0 2822 859
哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494
昆明649 2266 2089 859 3494 0
问题分析：
1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先
后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两
两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则
没有用。这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。
2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就
导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个
城市是不连接的。这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着
去旅游的则为1，否则为0。就如同下图
实线代表两个城市相连为1,
虚线代表没有相连为0
3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。
LINGO解法：
为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，
将其标为1）
假设：设变量x11。如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。
特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。这里取其中xij (i 模型建立：由于这是一个最短路线的问题，且变量已经设好。 目标函数 min=1640*x12+1500*x13+662*x14+2650*x15+649*x16+1200*x23+1 887*x24+1010*x25+2266*x26+1230*x34+2091*x35+2089*x36+2822 *x45+859*x46+3494*x56; 约束条件： 1.上面目标函数中的变量是表示两个城市是否直接相连接的关系，且最短 路线是可以形成圈的，如下图 实线代表两个城市相连为1, 虚线代表没有相连为0 如上图城市a和城市b有直接相连接的关系，所以之间变量为1，而城市a 与城市e则没有直接相连接的关系，之间变量为0。其余的也有同样约束,所以有下面的约束。 条件1： 变量xij为0-1变量 @bin(xij) 2．最短旅程路线中，每一个城市都要和其他两个城市相连接，即有一个进入路线和一个出去路线，所以含第i个城市的所有变量xij和xji之和为2。所以又有如下的约束 条件2： 城市1(重庆)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2 x12+x13+x14+x15+x16=2 城市2(北京)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2 x12+x23+x24+x25+x26=2 城市3(杭州)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2 x13+x23+x34+x35+x36=2 城市4(桂林)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2 x14+x24+x34+x45+x46=2 城市5(哈尔滨)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2 x15+x25+x35+x45+x56=2 城市6(昆明)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2 x16+x26+x36+x46+x56=2 则可以编制程序如下 !目标函数最小; min=1640*x12+1500*x13+662*x14+2650*x15+649*x16+1200*x23+1887*x24+1010 *x25+2266*x26+1230*x34+2091*x35+2089*x36+2822*x45+859*x46+3494*x56; !变量0-1约束; !城市1(重庆)与城市2(北京)之间关系变量x12的0-1约束; @bin(x12); !城市1(重庆)与城市3(杭州)之间关系变量x13的0-1约束; @bin(x13); !城市1(重庆)与城市4(桂林)之间关系变量x14的0-1约束; @bin(x14); !城市1(重庆)与城市5(哈尔滨)之间关系变量x15的0-1约束; @bin(x15); !城市1(重庆)与城市6(昆明)之间关系变量x16的0-1约束; @bin(x16); !城市2(北京)与城市3(杭州)之间关系变量x23的0-1约束; @bin(x23); !城市2(北京)与城市4(桂林)之间关系变量x24的0-1约束; @bin(x24); !城市2(北京)与城市5(哈尔滨)之间关系变量x25的0-1约束; @bin(x25); !城市2(北京)与城市6(昆明)之间关系变量x26的0-1约束; @bin(x26); !城市3(杭州)与城市4(桂林)之间关系变量x34的0-1约束; @bin(x34); !城市3(杭州)与城市5(哈尔滨)之间关系变量x35的0-1约束; @bin(x35); !城市3(杭州)与城市6(昆明)之间关系变量x36的0-1约束; @bin(x36); !城市4(桂林)与城市5(哈尔滨)之间关系变量x45的0-1约束; @bin(x45); !城市4(桂林)与城市6(昆明)之间关系变量x46的0-1约束; @bin(x46); !城市5(哈尔滨)与城市6(昆明)之间关系变量x56的0-1约束; @bin(x56); !条件约束,即每个城市的连接路线约束; !城市1(重庆)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; x12+x13+x14+x15+x16=2; !城市2(北京)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; x12+x23+x24+x25+x26=2; !城市3(杭州)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; x13+x23+x34+x35+x36=2; !城市4(桂林)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; x14+x24+x34+x35+x46=2; !城市5(哈尔滨)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; x15+x25+x35+x45+x56=2; !城市6(昆明)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2; x16+x26+x36+x46+x56=2; 运行结果如下 Global optimal solution found. Objective value: 7598.000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X12 0.000000 1640.000 X13 0.000000 1500.000 X14 0.000000 662.0000 X15 1.000000 2650.000 X16 1.000000 649.0000 X23 1.000000 1200.000 X24 0.000000 1887.000 X25 1.000000 1010.000 X26 0.000000 2266.000 X34 1.000000 1230.000 X35 0.000000 2091.000 X36 0.000000 2089.000 X45 0.000000 2822.000 X46 1.000000 859.0000 X56 0.000000 3494.000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7598.000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 上面显示旅程最短的距离是7598 可以看出求出的所有变量的值都是0或1，其中x15=1，x16=1，x23=1，x25=1， x34=1，x46=1,这说明了 城市1（重庆）和城市5（哈尔滨）相连接 城市1（重庆）和城市6（昆明）相连接 城市2（北京）和城市3（杭州）相连接 城市2（北京）和城市5（哈尔滨）相连接 城市3（杭州）和城市4（桂林）相连接 城市4（桂林）和城市6（昆明）相连接 形成的圈是“重庆（1）-哈尔滨（5）-北京（2）-杭州（3）-桂林（4）-昆明（6）-重庆（1）”，如下图 最短旅程的旅游线路： 重庆→哈尔滨→北京→杭州→桂林→昆明→重庆（上图外环线） 或者也可以按这条路线的逆方向旅行，即 重庆→昆明→桂林→杭州→北京→哈尔滨→重庆（上图内环线） 总旅程：2650+1010+1200+12301+859+649=7598 感想: 运筹学就是教我们如何优化作业，得到最优解或者满意解。现实中有许多的事情都需要优化的，当我们去旅游是，我们会考虑走哪些条路线时费用最少；生产物品时，我们要考虑定货批量和库存持有成本与定货成本之间的关系，从而找到最佳的定货批量；当我们考虑管道的铺设问题时，我们要考虑如何选择铺设的路线才能使铺设管道用料最少，从而找到最少用料的路线等等问题。这些都需要我们去优化找到比较满意的答案。 运筹学论文 ——旅游路线最短问题摘要： 随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚， 越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项 重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题 随之出现，如何决策成为一道难题。然而，如果运用运筹学方法来解决这 一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为 列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。 关键词：最短路 0-1规划约束条件 提出问题: 从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。 各城市之间的航线距离如下表： 重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明 重庆0 1640 1500 662 2650 649 北京1640 0 1200 1887 1010 2266 杭州1500 1200 0 1230 2091 2089 桂林662 1887 1230 0 2822 859 哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494 昆明649 2266 2089 859 3494 0 问题分析： 1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先 后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两 两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则 没有用。这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。 2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就 导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个 城市是不连接的。这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着 去旅游的则为1，否则为0。就如同下图 实线代表两个城市相连为1, 虚线代表没有相连为0 3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。 LINGO解法： 为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点， 将其标为1） 假设：设变量x11。如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。 特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。这里取其中xij (i 武汉理工大学考试试题纸（A卷） 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题、判断题等客观题),时间：120分钟 一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案选错或未选者，该题不得分。每小题1分，共10分） 1．线性规划具有唯一最优解是指 A．最优表中存在常数项为零 B．最优表中非基变量检验数全部非零 C．最优表中存在非基变量的检验数为零 D．可行解集合有界 2．设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A．(0, 0, 4, 3) B．(3, 4, 0, 0) C．(2, 0, 1, 0) D．(3, 0, 4, 0) 3．则 A．无可行解B．有唯一最优解 C．有多重最优解D．有无界解 4．互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 和Y，存在关系 A．Z > W B．Z = W C．Z≥W D．Z≤W 5．有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A．有10个变量24个约束 B．有24个变量10个约束 C．有24个变量9个约束 D．有9个基变量10个非基变量 6.下例错误的说法是 A．标准型的目标函数是求最大值 B．标准型的目标函数是求最小值 C．标准型的常数项非正 D．标准型的变量一定要非负 7. m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是 A．m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B．m+n－1个变量不包含任何闭回路 C．m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D ．m+n －1个变量对应的系数列向量线性相关 8．互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A ．原问题无可行解，对偶问题也无可行解 B ．对偶问题有可行解，原问题可能无可行解 C ．若最优解存在，则最优解相同 D ．一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解 9.有m 个产地n 个销地的平衡运输问题模型具有特征 A ．有mn 个变量m+n 个约束 B ．有m+n 个变量mn 个约束 C ．有mn 个变量m+n －1约束 D ．有m+n －1个基变量，mn －m －n －1个非基变量 10．要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值，目标函数是 A ．)(min 22211+ - + ++=d d p d p Z B ．)(min 22211+ - + -+=d d p d p Z C ．)(min 22211+ - - -+=d d p d p Z D ． ) (min 22211+ - - ++=d d p d p Z 二、判断题（你认为下列命题是否正确，对正确的打“√”；错误的打“×”。每小题1分，共15分） 11.若线性规划无最优解则其可行域无界 12.凡基本解一定是可行解 13.线性规划的最优解一定是基本最优解 14.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优值 15.互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解 16.运输问题效率表中某一行元素分别乘以一个常数,则最优解不变 17.要求不超过目标值的目标函数是 18.求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界 19.基本解对应的基是可行基 20.对偶问题有可行解，则原问题也有可行解 21.原问题具有无界解，则对偶问题不可行 22.m+n －1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭回路 23.目标约束含有偏差变量 24.整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到 25.匈牙利法是对指派问题求最小值的一种求解方法 三、填空题（每小题1分，共10分） 26．有5个产地5个销地的平衡运输问题，则它的基变量有（ ）个 27．已知最优基 ，C B =（3，6)，则对偶问题的最优解是（ ） 28．已知线性规划求极小值，用对偶单纯形法求解时，初始表中应满足条件（ ） (一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线 z=2 x 1+x 2与约 束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。 运筹学最短路概念网络模型的应用 摘要：运筹学在不同领域中的应用非常广泛，应急物流的调度问题在现实生活中很受关注，尤其是在考虑时间、成本、显示路况等前提下解决网络规划模型优化的方法上极其重要。论文重点针对应急物资配送网络应急调度突发情形建立基于图论的最短路概念模型，将其分别抽象为最短路问题的三种具体情形：1．弧上权值的改变(变大或变小)的情形；2．去掉网络中的一条弧的情形；3．在网络中添加一条弧的情形，进而运用具有约束条件的最短路问题分析方法进行了理论分析。在此基础上解决了应急物流过程的调度和时间问题，以达到模型优化的目的，为应急物资调用问题提供有效方法。 关键词：应急配送，网络最短路，优化模型 1.1应急物资配送路线的选择指标集 在应急物资配送方面所面临的决策即是应急物资配送线路的选择，评价应急物资网络各配送路线的指标集可分为个体表现评价指标集和协同表现评价指标集，前者包括时间效益、 运输成本、线路状况等，后者包括运输总成本、柔性水平等。[1] 1.个体表现评价指标 ①时间效益 运输线路的选择要以保证时间效益为前提，及时为灾害发生地提供应急物资保障。因此，在进行运输线路选择时必须将时间效益最大化放在第一位。 ②运输成本 合理的运输线路不仅可以节约运输时间，同时可以降低运输成本。合理的运输路径不仅可以减少派出车辆的数目，同时可以节约油耗、减少车辆磨损等，使 运输成本降到最低。 ③路况水平 有效的运输线路一般具有较好的路况水平，可以保证车辆的安全行驶和运输效率，能够为应急物资的及时供应提供基础设施保障，因此，运输线路应依据当前可利用线路的路况水平子以选择。 2.协同表现评价指标 ①运输总成本 某一线路较低的运输成本并不能代表整体运输方案的最优，只有当整体运输成本最低时，才能体现出整体优势，最大限度地节约运输成本。这就要求在运输应急物流协同决策方法体系研究线路选择时要从全局上把握，做到整体最优，将运输总成本降到最低。 ②柔性水平 由十应急物流活动应对的是具有突发性、不确定性的灾害事件，因此外部环境存在着很大的模糊性和不确定性，包括选定的运输线路可能在实际运输过程中会随着灾害规模的扩大而临时改变，这就要求运输线路在整体选择上要有一定的柔性水平，线路之间要具有一定的可替代性，保证应急物资运输路径在不确定环境下的可达性。 1.2应急物资配送路线选择指标的权重确定方法 在交通网络中，每个城市可以看作一个节点，而节点之间根据应急物流的需要，设置权重，权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言的，某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度，权重的确定是指在决策过程中对被评价对象衡量指标的相对重要程度进行定量赋值，从而体现各决策评价指标在总 No .1 线性规划 1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。 工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。 (1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大； (2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的 解是否有影响？（所谓一次性投入就是与产量无关的初始投资） 2、将下列线性规划化为极大化的标准形式 3、用单纯形法解下面的线性规划 ??? ??? ?≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(m ax 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x t s x x x x f No .2 两阶段法和大M 法 2、用大M 法解下面问题，并讨论问题的解。 ??? ??? ?≥≥++≤++-≤++++= ,0,,52151565935 ..121510)(max 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 1、用两阶段法解下面问题： ??? ??≥≥+≥++=0,75 3802 ..64)(min 2 121212 1x x x x x x t s x x x f ?????? ?±≥≤+-=-+--≥-+++=不限 321321321321321 ,0,13|5719|169765 ..532)(m in x x x x x x x x x x x x t s x x x x f No .3 线性规划的对偶问题 ?????-≤≤-≤≤≤≤-+-=8121446 2 ..834)(min 3213 21x x x t s x x x x f 2、写出下问题的对偶问题，解对偶问题，并证明原问题无可行解 3、用对偶单纯形法求下面问题 ??? ??≥≥+≥++=0,75 3802 ..64)(min 2 121212 1x x x x x x t s x x x f No .4 线性规划的灵敏度分析 原问题为max 型，x 4，x 5为松驰变量，x 6为剩余变量，回答下列问题： (1)资源1、2、3的边际值各是多少？(x 4，x 5是资源1、2的松驰变量，x 6是资 源3的剩余变量) (2)求C 1, C 2 和C 3的灵敏度范围； (3)求?b 1，?b 2的灵敏度范围。 1、写出下列线性规划问题的对偶问题： (1) ???????±≥≤=++≤+≥+-+-+=不限 432143231 4321321 ,0,,06 4 2 5 ..532)(max x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f (2) ?????? ?≥≤+--≤-≤+--= ,0, 121 1 ..34)(m ax 212122121x x x x x x x t s x x x f 解：1.给起点标以v1（0，s） 2. I={v1}， J={v2，v3，v4，v5，v6，v7} 弧集合{（v i，v j）| v i∈I，v j∈J }={（v1，v2），（v1，v3），（v1，v4）} 并有：s12=l1+c12=0+2=2 s13=l1+c13=0+5=5 s14=l1+c14=0+3=3 min(s12,s13,s14)=s12=2 给弧（v1,v2）的终点v2标以（2，1） 3.此时I={v1,v2} J={v3,v4,v5,v6,v7}弧集合{（v i，v j）|v i∈I，v j∈J }={(v1,v3)(v1,v4)(v2,v3)} 并有：s23=l2+c23=2+2=4 min(s13,s14,s23)=s14=3 此时，给弧（v1,v4）的终点v4标以（3，1） 4. 此时I={v1,v2,v4} J={v3,v5,v6,v7} 弧集合{（v i,v j）| v i∈I,v j∈J } ={(v1,v3),( v2,v3),( v2,v6),( v4,v3),( v4,v5) } 并有：s26=l2+c26=2+7=9 s43=l4+c43=3+1=4 s45=l4+c45=3+5=8 min(s13,s23 ,s26,s43,s45)=s23=s43=4 此时，给弧（v2,v3）的终点v3标以（4，2） 给弧（v4,v3）的终点v3标以（4，4） 5.此时I={v1,v2,v3,v4 } J={ v5,v6,v7 } 弧集合{（v i，v j）|v i∈I，v j∈J }= { ( v2,v6),( v3,v6),( v3,v5),( v4,v5) } 并有：s36=l3+c36=4+5=9 s35=l3+c35=4+3=7 min(s26,s36 ,s35,s45 )=s35=7 此时，给弧（v3,v5）的终点v5标以（7，3） 6. 此时I={v1,v2,v3,v4 ,v5} J={ v6,v7 } 弧集合{（v i，v j）|v i∈I，v j∈J } = { ( v2,v6),( v3,v6),( v5,v6) } 并有：s56=l5+c56=7+1=8 min(s26,s36 ,s56 )=s56=8 此时，给弧（v5,v6）的终点v6标以（8，5） 7. 此时I={v1,v2,v3,v4 ,v5, v6} J={ v7 } 弧集合{（v i，v j）|v i∈I，v j∈J } = {( v6,v7) } 并有：s67=l6+c67=8+5=13 ∴此时最短路径为：v1→v2→v3→v5→v6→v7 或 v1→v4→v3→v5→v6→v7 距离为：13 实验项目：最短路径问题 实验学时： 4 实验日期：2012年11月30日 实验要求：案例 模型 分析 实验内容：用最短路径模型解决具体问题 前言 运输是物流过程的主要职能之一，也是物流过程各项业务的中心活动。物流过程中的其它各项活动，如包装、装卸搬运、物流信息等，都是围绕着运输而进行的。可以说，在科学技术不断进步、生产的社会化和专业化程度不断提高的今天，一切物质产品的生产和消费都离不开运输。物流合理化，在很大程度上取决于运输合理化。所以，在物流过程的各项业务活动中，运输是关键，起着举足轻重的作用。而有效的缩减路径可以使得运输费用降低。本文运用Dijkstra 算法求出最短路径，以最大限度地节约运输费用降低物流成本，Dijkstra 算法用于求解最短路径问题最常用的方法之一。 Dijkstra 算法的基本步骤如下： （1）给起点1v 以P 标号()01=v p ,其余各点均给以T 标号，()∞+＝i V T 。 （2）若i v 点为刚得到的ｐ标号的点，考虑这样的点为j v ，考虑()j i v v ,这条边，且 ()j v 为T 标号，对j v 的T 标号进行如下更改 ()()()[] ij i j j l v P v T v T +=,min （3）比较所有具有Ｔ标号的点，把最小者改为Ｐ标号，即()()[] i v V P i min =，当存在两个以上最小者时，可同时改为Ｐ标号，若全部点均为Ｐ标号，则停止，否则- i v 代i v 改为第二步重做。 案例分析 下图所示是某地区交通运输的示意图，试问从1v 出发，经哪条路线达到8v 才能使总行程最短？使用Dijkstra 求解。 2v 5 4v 9 6v 4 4 7 5 4 1v 8v 6 4 5 1 3v 7 5v 6 7v 步骤： 1. 首先给1v 以P 标号，()01=V P ,给其余所有的点以T 标号，()()8,,2,1 =+∞=i V T i 2. （1）考察点1V ，边()()3121,,,V V V V ()()()[][]()()()[][]6 60,min ,min 440,min ,min 1313312122=+∞+=+==+∞+=+=l V P V T V T l V P V T V T （2)比较所有T 标号()(){}32,V T V T ，()42=V T 最小，所以给2V 以P 标号，令 ()42=V P ,记录路径()21,V V 3. (1) 2V 为刚得到P 标号的点，考察边()()5242,,,V V V V ()()()[][]954,min ,min 24244=+∞+=+=l V P V T V T ()()()[][]844,min ,min 25255=+∞+=+=l V P V T V T （2）比较所有T 标号，()()(){}543,,V T V T V T ,()63=V T 最小，给3V 以P 标号，令 ()63=V P ,记录路径()31,V V 4. （1）3V 为刚得到P 标号的点，考察()()5343,,,V V V V ()()()[][]946,9min ,min 34344=+=+=l V P V T V T ()()()[][]876,8min ,min 35355=+=+=l V P V T V T （2）比较所有T 标号，()(){}54,V T V T ,()85=V T 最小，给5V 以P 标号，令 作业： 课堂作业：书本P182第5题第(1)题 ()? ??=）这条弧，未经过（这条弧，经过（j i j ij V V V V f 0)(1i 6714131220...81510m in f f f f z ++++= ()()()()?????????????===-=+-=-+++=+-+=++-=+++-=-+=++7,6,5,4,3,2;6,5,4,3,2,1101 00000000167576765646365255753 6434146353231334122523 141312j i f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ij ，或 最短路径为7521v v v v --- 课后作业： 1、 求下列赋权无向网络图s 到t 的最短路径 P:∑∈= A v v ij ij j i f w z ),(min 3 2 5 6 3 4 4 7 1 2 2 4 3 7 S 1 2 3 4 5 6 t 8 6 1 ()??? ????=-=-≠=-==-∈=∑∑∑∑∑∑t i f f t s i f f s i f f A v v f ji ij ji ij ji ij j i ij ,1,,0,110,，或 最短路径为 S-3-5-T 2、某公司正在研制一种有极好销售潜力的新产品。当研究工作接近完成时，公司获悉一家竞争者正计划生产这种产品。要突击赶制出这种产品以参与竞争，还有四个互不重叠的阶段。为了加快进度，每个阶段都可采取“优先”或“应急”的措施。不同的措施下每段工作所需要的时间（月）和费用（百万元）如小下表示。现有一千万元资金供这四个阶段使用，则每段应采取什么措施能使这种产品尽早上市。试将此问题化成最短路问题并求解。 阶段 措施 剩余研究 试制 工艺设计 生产与调拨 时间 费用 时间 费用 时间 费用 时间 费用 正常 5 1 优先 4 2 3 2 5 3 2 1 应急 2 3 2 3 3 4 1 2 43131211...245m in f f f f Z ++++= 运筹学复习题 第一阶段练习题 一、填空题 1．某足球队要从1、2、3、4号五名队员中挑选若干名上场，令? ? ?=号不上场第号上场 第i i x i 01 4,,1 =i ，请用x i 的线性表达式表示下列要求：(1)若2号被选中，则4号不能被选中：_________________；(2)只有1名队员被选中，3号才被选中： ___________________。 2．线性规划的对偶问题约束的个数与原问题____________的个数相等。因此，当原问题增加一个变量时，对偶问题就增加一个____________。这时，对偶问题的可行域将变_______________(大、小还是不变？)，从而对偶目标值将可能变____________(好还是坏？)。 3．将非平衡运输问题化为平衡运输问题，在表上相当于增加一个虚设 的 ，在模型中相当于增加若干个 变量。 二、某厂生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种产品。产品Ⅰ依次经A 、B 设备加工，产品Ⅱ经A 、C 设备加工，产品Ⅲ经C 、B 设备加工。已知有关数据如下表所示，请为该厂制 （1）确定获利最大的产品生产计划； （2）产品A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变； （3）如设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？ （4）如劳动力数量不变，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，购多少为宜？ 四、某彩色电视机组装工厂，生产A 、B 、C 三种规格电视机。装配工作在同一生产线上完成，三种产品装配时的工时消耗分别为6小时，8小时和10小时。生产线每月正常工作时间为200小时；三种规格电视机销售后，每台可获利分别为500元，650元和800元。每月销量预计为12台、10台、6台。该厂经营目标如下： 1p ：利润指标定为每月4106.1 元； 2p ：充分利用生产能力； 3p ：加班时间不超过24小时； 4p ：产量以预计销量为标准； 为确定生产计划，试建立该问题的目标规划模型。 第一阶段练习题答案 一、填空题 运筹学课程设计报告姓名： 一、算法思想 运用Dijkstra算法求解图的最短路径。 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S 表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 二、算法流程或步骤 Dijkstr算法具体步骤： （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v 外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点 k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 三、算法源程序 #include 运筹学判断题 一、第1章 线性规划的基本理论及其应用 1、线性规划问题的可行解集不一定是凸集。（×） 2、若线性规划无最优解则其可行域无界。（×） 3、线性规划具有惟一的最优解是指最优表中非基变量检验数全部非零。（√） 4、线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。（√） 5、若线性规划模型的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。（√） 6、线性规划问题的大M 法中，M 是负无穷大。（×） 7、单纯形法计算中，若不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量为负。（√） 8、对于线性规划问题的基本可行解，若大于零的基变量数小于约束条件数，则解是退化的。（√）。 9、一旦一个人工变量在迭代过程中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯性表中删除，且这样做不影响计算结果。（√） 10、线性规划的目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正值。（×） 11、对一个有n 个变量，m 个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为个m n C 。 （×） 12、线性规划解的退化问题就是表明有多个最优解。（×） 13、如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。（√） 14、单纯型法解线性规划问题时值为0的变量未必是非基变量。（√） 15、任何线性规划问题度存在并具有唯一的对偶问题。（√） 16、对偶问题的对偶问题一定是原问题。（√） 17、根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解；反之，当对偶问题无可行解时，其原问题为无界解。（×） 18、若原问题有可行解，则其对偶问题也一定有可行解。（×） 19、若原问题无可行解，其对偶问题也一定无可行解。（×） 20、若原问题有最优解，其对偶问题也一定有最优解。（√） 21、已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*0i y >，说明在最优生产计划中，第i 种资源一定有剩余。（×） 22、原问题具有无界解，则对偶问题不可行。（√） 23、互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解。（√） 24、某公司根据产品最优生产计划，若原材料的影子价格大于它的市场价格，则可购进原材料扩大生产。（√） 25、对于线性规划问题，已知原问题基本解不可行，对偶问题基本解可行，可采用对偶单纯形法求解。（√） 26、原问题（极小值）第i 个约束是“≥”约束，则对偶变量0i y ≥。（√） 27、线性规划问题的原单纯形解法，可以看作是保持原问题基本解可行，通过迭代计算，逐步将对偶问题的基本解从不可行转化为可行的过程。（√） *28、运输问题不能化为最小费用流问题来解决。（×） 29、运输问题一定有最优解。（√） 北京科技大学远程与成人教育学院 《 运筹学 》作业一2014.3 姓名 学号 专业 教学点 1、用图解法求解下列线性规划问题（15分） ???? ?? ?≥≤≤≤+=0 x ,x 3 x 12 2x +3x 6 x -2x ..max 211212121t s x x Z 2、用单纯形法求解以下线性规划问题（20分） ?? ? ??≥≤=++-=0 x ,x ,x 12 x -2x 12 4x 3x x ..2max 321323213 2t s x x Z 解： 3、已知某运输问题如下（单位：百元/吨）： 求：（1）使总运费最小的调运方案和最小运费。（20分）（2）请以该问题的初始调运方案为例，说明非基变量检验数的经济含义。（20分） 5、求下图中从A到E的最短路线和最短路长（图中每条边上的数字为该条边的长度）。（25分） 《 运筹学 》作业一参考答案2014.3 解 2、用单纯形法求解以下线性规划问题（20分） 解： ?? ? ??≥==++-=+0 x ,x ,x 12 x -2x 12 4x 3x x ..2max X43,214 323213 2X t s x x Z 迭代正确10分 最优解为：x1=0 x2=4 x3=0 x4=4 （2分） 最大值为z=4 （1分） 3、已知某运输问题如下（单位：百元/吨）： 求：（1）使总运费最小的调运方案和最小运费。（20分）（3）请以该问题的初始调运方案为例，说明非基变量检验数的经济含义。（20分） 用最小元素法得出初始运输方案为： X14=3； x21=1； x23=4； x24=1； x31=3；x32=3 由位势法求检验数：U1+v4=1 u2+v1=10 u2+v3=5 u2+v4=4 U3+v1=7 u3+v2=6 令u2=0得v1=10 v3=5 v4=4 u3=-3 v2=9 u1= -3 所以检验数为：511-=σ；512=σ；013=σ；122-=σ；734=σ；433=σ 所以初始方案不是最优的 5、求下图中从A 到E 的最短路线和最短路长（图中每条边上的数字为该条边的长度）。（25分） 5、解： （假设A 、B 1、B 2、C 1、C 2、C 3、D 1、D 2、E 分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9） A(0，S)（即1） S 12=0+5=5，S 13=0+6=6 min=5 S 24=5+7=12, S 25=5+6=11, S 26=5+4=9, S 34=6+3=9, S 35=6+5=11, S 36=6+7=13 min=9 S 47=9+6=15, S 48=9+9=18, S 67=9+7=16, S 68=9+9=18, min=15 S 79=15+3=18 最短路线为A —B 2---C 1---D 1---E 。最短路长为18. 《管理运筹学》各章的作业 ----复习思考题及作业题 第一章绪论 复习思考题 1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的容和意义。 2、了解运筹学的容和特点，结合自己的理解思考学习的方法和途径。 3、体会运筹学的学习特征和应用领域。 第二章线性规划建模及单纯形法 复习思考题 1、线性规划问题的一般形式有何特征？ 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 作业题: 1、把以下线性规划问题化为标准形式： (1) max z= x1-2x2+x3 s.t. x1+x2+x3≤12 2x1+x2-x3≥ 6 -x1+3x2＝ 9 x1, x2, x3≥ 0 (2) min z= -2x1-x2+3x3-5x4 s.t x1+2x2+4x3-x4≥ 6 2x1+3x2-x3+x4＝12 x1+x3+x4≤ 4 x1, x2, x4≥ 0 运筹学最短路问题 ----------关于旅游路线最短及程序 摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚， 越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项 重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题 随之出现，如何决策成为一道难题。然而，如果运用运筹学方法来解决这 一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为 列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。 关键词：最短路 0-1规划约束条件 提出问题: 从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。 各城市之间的航线距离如下表： 重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明 重庆0 1640 1500 662 2650 649 北京1640 0 1200 1887 1010 2266 杭州1500 1200 0 1230 2091 2089 桂林662 1887 1230 0 2822 859 哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494 昆明649 2266 2089 859 3494 0 问题分析： 1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到 达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两 城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没 有用。这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。 2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个 城市是不连接的。这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着 去旅游的则为1，否则为0。就如同下图运筹学论文最短路问题
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