2015年中考数学复习培优第5讲

2015年中考数学复习培优第5讲
2015年中考数学复习培优第5讲

2015年中考数学复习培优第五讲:相似三角形

一、相似三角形知识点总结

1. 比例线段的有关概念: 在比例式

::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c

d

a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2

=AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质:

①基本性质:a b c d ad bc =?= ②合比性质:±±a b c d a b b c d d =?=

③等比性质:……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a

b ===+++?++++++=()0

3. 平行线分线段成比例定理:

①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l 3。

,,,…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF

=== ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 4. 相似三角形的判定:

①两角对应相等,两个三角形相似;②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

③三边对应成比例,两三角形相似;④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等;②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比; ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

6.相似基本图形:平行,不平行;变换对应关系作出正确的分类:

(1)如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)

(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。(有“A型反转型”、

“ A型反转重合型”、“蝶型”)

(3)如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)

(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△

ABC,称为“旋转型”的相似三角形。

几种基本图形的具体应用:

(1)若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽△ABC

(2)射影定理若

CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD

且AC2=AD2AB,CD2=AD2BD,BC2=BD2AB;

(3)满足1、AC2=AD2AB,2、∠ACD=∠B,3、∠

ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB.

(4)当

AD AE

AC AB

或AD2AB=AC2AE时,△ADE∽△ACB.

B

E

A

C

D

1

2

A

B

C

D

E

1

2

A

A

B

B C C

D

D

E

E

1

2

4

1

2

B

C(D)

B(3)

D

B

(2)

D

1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这两个图形叫做位似图形.

2. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.

注:(1)位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点.

(2)位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.

(3)位似图形的对应边互相平行或共线.

3.位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

注:位似图形具有相似图形的所有性质.

4. 画位似图形的一般步骤:

(1)确定位似中心(位似中心可以是平面中任意一点)

(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取).

(3)根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置.

(4)顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤

注:①位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,或在图形上(图形边上或顶点上)。

②外位似:位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“外位似”(即同向位似图形)

③内位似:位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“内位似”(即反向位似图形)

(5)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点O为位似中心,相似比为k(k>0),原图形上点的坐标为(x,y),那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

二、精选习题

1、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处,已知AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米, 那么该古城墙的高度是( ) A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米

2、如图,已知D 、E 分别是的AB 、 AC 边上的点,且 那么等

于( ) A .1 : 9 B .1 : 3 C .1 : 8

D .1 : 2

3、如图,是由经过位似变换得到的,点是位似中心,分别是的中点,则与的面积比是( ) A .

B .

C .

D .

4、如上图,直角梯形ABCD 中,∠BCD =90°,AD ∥BC ,BC =CD ,E 为梯形内一点,且∠BEC =90°,将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合,得到△DCF ,连EF 交CD 于M .已知BC =5,CF =3,则DM:MC 的值为 ( ) A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4

5、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =( ) A.

B. C.

D.

6、如图,在Rt △ABC 内有边长分别为的三个正方形,则满足的关系式是( ) A 、 B 、 C 、 D 、

7、如图,△ABC 是等边三角形,被一平行于BC 的矩形所截,AB 被 截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 ( )

A.

B.

C. D. 8、下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( )

ABC ?,DE BC //1ADE

DBCE S S :=:8,四边形:AE AC DEF △ABC △O D E F ,,OA OB OC ,,DEF △ABC △1:61:51:41:235

x +45

x -

72

212125

25

x x -

,,a b c ,,a b c b a c =+b ac =2

2

2

b a

c =+22b a c ==9192319

4

A .

B .

C .

D .

B A

D

E

E

9、如图,

两点分别在的边上,与不平行,当满足 条件(写出一个即可)时,.

10、如图平行四边形中,是边上的点,交于点

,如果

,则 . 11、在Rt △ABC 中,∠C 为直角,CD ⊥AB 于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ; 并写出它的面积比 .

12、如图,已知AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,C 是线段BD 的中点,且AC ⊥CE ,ED=1,BD=4,那么AB= 13、如图,点在射线上,点在射线上, 且,.若, 的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为

14、如图10,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ,CG 与AD 相交于点N . 求证:(1)(2)

15、如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,点停止运动.设,. (1)求点到的距离的长;

(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); D E ,ABC △AB AC ,DE BC ADE ACB △∽△ABCD E BC AE BD F 23BE BC =BF

FD

=1234A A A A ,,,OA 123B B B ,,OB 112233A B A B A B ∥∥213243A B A B A B ∥∥212A B B △323A B B △CG AE =.MN CN DN AN ?=?Rt ABC △90A ∠=6AB =8AC =D E ,AB AC ,P D DE P PQ BC ⊥Q Q QR BA ∥AC R Q C P BQ x =QR y =D BC DH y x A

B

C

D

E

R

P H Q

D

B 1 2 3

4

16、如图,四边形和四边形都是平行四边形,点为的中点,分别交于点.

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外); (2)求.

17、如图,在平面直角坐标系中,点,点分别在轴,轴的正半轴上,且满足.

(1)求点,点的坐标.

(2)若点从点出发,以每秒1个单位的速度沿射线运动,连结.设的面积为,点的运动时间为秒,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围.

(3)在(2)的条件下,是否存在点,使以点为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.

ABCD ACED R DE BR AC CD ,P Q ,::BP PQ QR (30)C -,

A B ,x

y 10OA -=A B P C CB AP ABP △S P t S t P A B P ,,AOB △P A

B

C D E

P

O

R

x

浙教版初中数学中考培优题(含答案)

1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边,剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ,宽是1.2 m ,求花边的宽度. 解:设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ,4.12=x (舍去) 答:花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出,平均每月能售出600个。调查表明:这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个? ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大? 解:⑴ 设台灯的售价为x 元,(x ≥40)根据题意得 [(600-10×(x -40))](x -30)=10000 解得:x 1=80 x 2=50 当x =80时 进台灯数为600-10×(x -40)=200 当x =50时 600-10×(x -40)=500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时,销售利润最大,利润为y y =[600-10(x -40)]·(x -30) 答:⑴ 台灯的售价为80元,进台灯数为200个,台灯的售价为50元时,进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级(1)班的男生住宿,已知该班男生不足50人。若每间住4人,则余15人无住处;若每间住6人,则恰有一间不空也不满(其余均住满),那么该班男生人数是多少? 解:设有x 间,每间住4人,4x 人,15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人,则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6=-2x +21人 不空也不满 所以0<-2x +21<6 -6<2x -21<0 15<2x <21 7.5<x <10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15<50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人

中考数学复习知识点专题训练31---实数(培优版)

中考数学复习知识点专题训练 第二节概率 姓名:________ 班级:________ 用时:______分钟 1.(2020·原创)下列成语描述的事件为随机事件的是( ) A.刻舟求剑B.守株待兔 C.水中捞月D.揠苗助长 2.(2018·福建B卷)投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是( ) A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12 3.(2019·烟台)将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上,飞镖落在白色区域的概率为( ) A.2 5 B. 1 2 C.3 5 D.无法确定 4.(2019·齐齐哈尔)在一个不透明的口袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、

黑三种颜色的小球.已知袋中装有红球5个,白球23个,且从袋中随机摸出一个红球 的概率是1 10 ,则袋中黑球的个数为( ) A.27 B.23 C.22 D.18 5.(2019·毕节)在平行四边形ABCD中,AC,BD是两条对角线.现从以下四个关系:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AB⊥BC中随机取出一个作为条件,可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为( ) A.1 4 B. 1 2 C. 3 4 D.1 6.(2019·荆门)投掷一枚质地均匀的骰子两次,向上一面的点数依次记为a,b,那么方程x2+ax+b=0有解的概率是( ) A.1 2 B. 1 3 C. 8 15 D. 19 36 7.(2019·石家庄长安区一模)如图,在3×3的正方形网格中,点A,B, C,D,E,F,G都是格点,从C,D,E,F,G五个点中任取一点,以所取点 及A,B为顶点画三角形,所画三角形是等腰三角形的概率是________.8.(2019·云南)甲、乙两名同学玩一个游戏:在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球(除标号外无其他差异).从口袋中随机摸出一个小球,记下标号后放回口袋中,充分摇匀后,再从口袋中随机摸出一个小球,记下该小球的标号,两次记下的标号分别用x,y表示,若x+y为奇数,则甲获胜;若x+y为偶数,则乙获胜. (1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法,求(x,y)所有可能出现的结果总数; (2)你认为这个游戏对双方公平吗?请说明理由.

人教中考数学备考之圆的综合压轴突破训练∶培优篇附答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,以O为圆心,4为半径的圆与x轴交于点A,C在⊙O上,∠OAC=60°. (1)求∠AOC的度数; (2)P为x轴正半轴上一点,且PA=OA,连接PC,试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由; (3)有一动点M从A点出发,在⊙O上按顺时针方向运动一周,当S△MAO=S△CAO时,求动点M所经过的弧长,并写出此时M点的坐标. 【答案】(1)60°;(2)见解析;(3)对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣3M2(﹣2,﹣3)、M3(﹣2,3M4(2,3). 【解析】 【分析】 (1)由于∠OAC=60°,易证得△OAC是等边三角形,即可得∠AOC=60°. (2)由(1)的结论知:OA=AC,因此OA=AC=AP,即OP边上的中线等于OP的一半,由此可证得△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,由此可判断出PC与⊙O的位置关系.(3)此题应考虑多种情况,若△MAO、△OAC的面积相等,那么它们的高必相等,因此有四个符合条件的M点,即:C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点,可据此进行求解. 【详解】 (1)∵OA=OC,∠OAC=60°, ∴△OAC是等边三角形, 故∠AOC=60°. (2)由(1)知:AC=OA,已知PA=OA,即OA=PA=AC; ∴AC=1 OP,因此△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°, 2 而OC是⊙O的半径, 故PC与⊙O的位置关系是相切. (3)如图;有三种情况:

①取C点关于x轴的对称点,则此点符合M点的要求,此时M点的坐标为:M1(2,﹣ 3 劣弧MA的长为:6044 1803 ππ ? =; ②取C点关于原点的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M2(﹣2,﹣3 劣弧MA的长为:12048 1803 ππ ? =; ③取C点关于y轴的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M3(﹣2, 3 优弧MA的长为:240416 1803 ππ ? =; ④当C、M重合时,C点符合M点的要求,此时M4(2,3); 优弧MA的长为:300420 1803 ππ ? =; 综上可知:当S△MAO=S△CAO时,动点M所经过的弧长为481620 ,,, 3333 ππππ 对应的M点坐 标分别为:M1(2,﹣3M2(﹣2,﹣3)、M3(﹣2,3M4(2,3 【点睛】 本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法,注意分类讨论思想的运用,不要漏解. 2.如图,AB是半圆的直径,过圆心O作AB的垂线,与弦AC的延长线交于点D,点E在OD上DCE B ∠=∠. (1)求证:CE是半圆的切线; (2)若CD=10, 2 tan 3 B=,求半圆的半径.

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章 一元二次方程 1.一元二次方程 预习归纳 1.等号两边都是整式,只含有一个 ,并且未知数的最高次数是 的方程,叫一元二次方程. 2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 . 3.一元二次方程的一般形式是 . 例题讲解 【例】把方程(3x -2)(2x -3)=x 2-5化成一元二次方程的一般形式,并写出方程的二次项,一次项及常数项和二次项系数,一次项系数. 基础训练 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A .21 10x x =++ B .2110x x =++ C .210xy -= D .22 0x xy y =-+ 2.方程()45x x -=化为一般形式为( ) A .2450x x =-+ B .2450x x =++ C .2450x x =-- D .2 450x x =+- 3.方程23740x x =-+中二次项的系数,一次项的系数及常数项分别是( ) A .3、7、4 B .3、7、﹣4 C .3、﹣7、4 D .3、﹣7、﹣4 4.(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 +ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为 ( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 5.(2014哈尔滨)若x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1=0的一个解,则m 的值为 . 6.把一元二次方程2(x 2+7)=x +2化成一般形式是 . 7.下列数中-1,2,-3,-2,3是一元二次方程x 2-2x =3的根是 . 8.若方程x 2-2x +m =0的一个根是-1,求m 的值. 9.(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0(a ≠0)的解是x =1,求2013-a -b 的值.

中考数学 专题 四边形培优试题

四边形 1、如图,在正方形ABCD中,点E是CD边上的一点,过C作AE的垂线交AE的延长线于点F,连结DE,过点D作DF的垂线交AF于点G。 (1)求证:AG=CF。 (2)连结BG,若BG⊥AE,取BC的中点H,试判断线段BD与线段EH的数量关系和位置关系,并给出证明。 2、(1)如图1,已知正方形ABCD,E是边CD上一点,延长CB到点F,使BF=DE,作∠EAF 的平分线交边BC于点G,求证:BG+DE=E G。 (2)如图2,已知△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,若BD=2,CD=1,求△ABC的面积。

3、如图1,摆放矩形AB CD与矩形ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上,连结AF,若M为AF的中点,连结DM、ME,猜想DM与ME的关系,并证明你的结论。 拓展与延伸: (1)若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM 和ME的关系为。 (2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF 的中点,试证明(1)中的结论仍然成立。

4、在正方形ABCD中,动点E、F分别从D、C两点同时出发,以相同速度在直线DC、CB上移动。 (1)如图1,当点E在线段CD上,点F在线段BC上时,连结AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由。 (2)如图2,点E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时,连结AE和DF,(1)中的结论还成立吗?真接写出结论,无需证明。 (3)如图3,当点E、F分别在CD、BC的延长线上移动时,连结AE与D F,(1)的结论还成立吗?请说明理由。 (4)如图4,当点E、F分别在边DC、CB上移动时,连结AE和DF交于点P,由于点E、F 的移动,使得点P也随之移动,请画出点P的运动路径的草图,若AD=2,试求出线段CP的最小值。

中考数学培优专题复习相似练习题及答案

中考数学培优专题复习相似练习题及答案 一、相似 1.如图,在Rt△ABC中,,角平分线交BC于O,以OB为半径作⊙O. (1)判定直线AC是否是⊙O的切线,并说明理由; (2)连接AO交⊙O于点E,其延长线交⊙O于点D,,求的值; (3)在(2)的条件下,设的半径为3,求AC的长. 【答案】(1)解:AC是⊙O的切线 理由:, , 作于, 是的角平分线, , AC是⊙O的切线 (2)解:连接, 是⊙O的直径, ,即 . . 又 (同角) , ∽ ,

(3)解:设 在和中,由三角函数定义有: 得: 解之得: 即的长为 【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长,即可证得AC与圆O相切;(2)先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形,再证得∠1=∠D,从而证得两个三角形ABE与ABD相似,即可求得两个线段长的比值;(3)也可以应用三角形相似的判定与性质解题,其中AB的长度是利用勾股定理与(2)中AE与AB的比值求得的. 2.如图1,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点,连接EF,点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s,解答下列问题: (1)求证:△BEF∽△DCB; (2)当点Q在线段DF上运动时,若△PQF的面积为0.6cm2,求t的值; (3)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?试说明理由. 【答案】(1)解:∵四边形ABCD是矩形, ∴ AD∥BC, 在中, ∵别是的中点, ∴EF∥AD, ∴ EF∥BC,

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是: 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值. 数学思想: 数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数) 例题与求解 【例1】 当x = 时,代数式32003 (420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2003 2- (绍兴市竞赛试题) 【例2】 化简 (1(b a b ab b -÷-- (黄冈市中考试题) (2 (五城市联赛试题)

(3 (北京市竞赛试题) (4 (陕西省竞赛试题) 解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解. 思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少? (西安交大少年班入学试题) 解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y == 想一想:设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.

中考数学总复习 培优专题精选经典题

专项训练一 一元二次方程 一、选择题 1.(2016·新疆中考)一元二次方程x 2-6x -5=0配方后可变形为( ) A .(x -3)2=14 B .(x -3)2=4 C .(x +3)2=14 .(x +3)2=4 2.(2016·攀枝花中考)若x =-2是关于x 的一元二次方程x 2+3 2ax -a 2=0的一个根,则a 的值为( ) A .-1或4 B .-1或-4 C .1或-4 D .1或4 3.(2016·凉山州中考)已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6-2x 的两根,则x 1-x 1x 2+x 2的值是( ) A .-43 B.83 C .-83 D.43 4.(2016·随州中考)随州市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014年约为20万人次, 2016年约为28.8万人次,设观赏人数年均增长率为x ,则下列方程中正确的是( ) A .20(1+2x )=28.8 B .28.8(1+x )2=20 C .20(1+x )2=28.8 D .20+20(1+x )+20(1+x )2=28.8 5.(2016·潍坊中考)关于x 的一元二次方程x 2-2x +sin α=0有两个相等的实数根,则锐角α等于( ) A .15° B .30° C .45° D .60° 6.已知三角形两边的长是3和4,第三边长是方程x 2-12x +35=0的根,则该三角形的周长是( ) A .14 B .12 C .12或14 D .以上都不对 7.(2016·深圳中考)给出一种运算:对于函数y =x n ,规定y ′=nx n - 1.例如:若函数y =x 4,则有y ′=4x 3.已知函数y =x 3,则方程y ′=12的解是( ) A .x 1=4,x 2=-4 B .x 1=2,x 2=-2 C .x 1=x 2=0 D .x 1=23,x 2=-2 3 8.★关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n =0有两个整数根且乘积为正,关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m =0同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:①这两个方程的根都是负根;②(m -1)2+(n -1)2≥2;③-1≤2m -2n ≤1,其中正确结论的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 二、填空题 9.(2016·菏泽中考)已知m 是关于x 的方程x 2-2x -3=0的一个根,则2m 2-4m =________. 10.方程(2x +1)(x -1)=8(9-x )-1的根为____________. 11.(2016·聊城中考)如果关于x 的一元二次方程kx 2-3x -1=0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是______________. 12.(2016·黄石中考)关于x 的一元二次方程x 2+2x -2m +1=0的两实数根之积为负,则实数m 的取值范围是________. 13.关于x 的反比例函数y = a +4 x 的图象如图所示,A 、P 为该图象上的点,且关于原点成中心对称.△P AB 中,PB ∥y 轴,AB ∥x 轴,PB 与AB 相交于点B .若△P AB 的面积大于12,则关于x 的方程(a -1)x 2-x +1 4 =0的根的情况是______________. 14.一个容器盛满纯药液40L ,第一次倒出若干升后,用水加满;第二次又倒出同样体积的溶液,这

初三数学培优辅导资料(6)(最新整理)

初三数学培优辅导资料(六) 1.如图,等腰Rt △ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2,且AC 与DE 在同一条直线上,开始时点C 与点D 重合,让△ABC 沿直线向右平移,直到点A 与点E 重合为止。设CD 的长为x ,△ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y ,则y 与x 之间的函数的图象大致是( ) 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分 别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a =0;②abc <0;③a ﹣2b +4c <0;④8a +c >0.其中正确的有( )A .3个 B .2个 C .1个 D .0个3.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是菱形,点C 的坐标为(4,0)∠AOC =60°, 垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移,设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ,N (点M 在点N 的上方),若△OMN 的面积为S ,直线l 的运动时间为t 秒(0≤t ≤4),则能大致反映S 与t 的函数的图象是( ) A B C D 4、如图,抛物线与x 轴正半轴交于点A (3,0)2 32--=x ax y .以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ,延长CB 交抛物线于点D , 再以BD 为边向上作正方形BDEF ,则点E 的坐标是 .5.如图所示,P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),…… ,P n (x n ,y n )在函数y=x 9(x >0)的图象上,△OP 1A 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3,……,△P n A n -1A n …… 都是等腰直角三角形,斜边OA 1,A 1A 2,……,A n-1A n , 都在x 轴上,则y 1+y 2 = .y 1 + y 2 + … + y n = . 6、如图,将二次函数y=x2﹣3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持第15 题

中考数学总复习培优专题精选经典题

初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题(本大题共有12小题,每小题2分,共24分.) 1.-2的绝对值是 A .-2 B .- 12 C .2 D .12 2.下列运算正确的是 A .x 2+ x 3= x 5 B .x 4·x 2= x 6 C .x 6÷x 2 = x 3 D .( x 2)3 = x 8 3.下面四个几何体中,俯视图为四边形的是 4.已知a -b =1,则代数式2a -2b -3的值是 A .-1 B .1 C .-5 D .5 5.若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6,圆心距O 1O 2=8,则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A .内切 B .相交 C .外切 D .外离 6.对于反比例函数y =1 x ,下列说法正确的是 A .图象经过点(1,-1) B .图象位于第二、四象限 C .图象是中心对称图形 D .当x <0时,y 随x 的增大而增大 7.某市6月上旬前5天的最高气温如下(单位:℃):28,29,31,29,32.对这组数据,下列说法正确的是 A .平均数为30 B .众数为29 C .中位数为31 D .极差为5 8.小亮从家步行到公交车站台,等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误..的是 A .他离家8km 共用了30min B .他等公交车时间为6min C .他步行的速度是100m/min D .公交车的速度是350m/min 9.一元二次方程x x 22 =的根是( ) A .2=x B .0=x C .2,021==x x D .2,021-==x x 10.如图,将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域,若指针固定不变,转动这个转盘一次(如果指针指在等分线上,那么重新转动,直至指针指在某个扇形区域内为止),则指针指在甲区域内的概率是( ) A .1 B . 21 C .31 D .4 1 A B C D (第8题图)

2015年中考数学复习培优第1讲

2015年中考数学复习培优第一讲:一元二次方程及应用 【知识回顾】 1.灵活运用四种解法解一元二次方程:一元二次方程的一般形式:20(0)ax bx c a ++=≠ 四种解法:直接开平方法,配方法,公式法, 因式分解法,公式法: 12,x x = (24b ac -≥0) 注意:(1)一定要注意0a ≠,填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进; (2)掌握一元二次方程求根公式的推导; (3)主要数学方法有:配方法,换元法,“消元”与“降次”. 2.根的判别式及应用(24b ac ?=-): (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况: ①当0?>时,方程有两个不相等的实数根; ②当0?=时,方程有两个相等的实数根; ③当0?<时,方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况; (3)确定字母的值或取值范围。 3.根与系数的关系(韦达定理)的应用: 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ,则12b x x a +=-,12c x x a ?= 适用题型:(1)已知一根求另一根及未知系数; (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程; (4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根); (6)题目给出两根之间的关系,如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是 多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意: (1)22 2121212()2x x x x x x +=+-?(2)22121212()()4x x x x x x -=+-?; 12x x -= (3)①方程有两正根,则1212000x x x x ?≥??+>???>?; ②方程有两负根,则12120 00 x x x x ? ≥??+? ;

初三数学中考培优试题

初三数学中考培优试题 一.解答题: 1.如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上,且OD=10,OB=8,将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合 (1)直接写出点A、B的坐标:A(_________,_________)、B(_________,_________); (2)若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,则这条抛物线的解析式是_________; (3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点,作MN⊥x轴于点N,问是否存在点M,使△AMN与△ACD相似?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,说明理由; (4)当≤x≤7时,在抛物线上存在点P,使△ABP得面积最大,求△ABP面积的最大值. 2.如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心,沿顺时针方向旋转90°,得到线段AB.过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为t秒. (1)当点B与点D重合时,求t的值; (2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S=? (3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.

3.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”. (1)“抛物线三角形”一定是_________三角形; (2)若抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;(3)如图,△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由. 4.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C,直线l为抛物线的对称轴,点P在第三象限 且为抛物线的顶点.P到x轴的距离为,到y轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为 A,连接AC交直线l于B. (1)求抛物线的表达式; (2)直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D,与y轴交于点F,连接BD交y轴于 点E,且DE:BE=4:1.求直线y=x+m的表达式; (3)若N为平面直角坐标系内的点,在直线y=x+m上是否存在点M,使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

2020年中考数学培优 专题讲义 第17讲 二次函数与面积

第17讲 二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识:图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】 例题1 如图1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:ABC S △=1 2 ah ,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答问题: 如图2,顶点为C (1,4)的抛物线y =ax 2+bx +c 交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式; (2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △; ②是否存在抛物线上一点P ,使PAB S △=CAB S △?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. C B 1把A (3,0)代入解析式求得a =-1, 所以1y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3, 设直线AB 的解析式为:2y =kx +b 由1y =-x 2+2x +3求得B 点的坐标为(0,3) 把A (3,0),B (0,3)代入2y =kx +b 中 解得:k =-1,b =3 所以2y =-x +3; (2)①因为C 点坐标为(1,4) 所以当x =1时,1y =4,2y =2 所以CD =4-2=2 CAB S △= 1 2 ×3×2=3(平方单位);

②假设存在符合条件的点P ,设P 点的横坐标为x ,△P AB 的铅垂高为h ,则h =1y -2y =(-x 2+2x +3)-(-x +3)=-x 2+3x 由PAB S △=CAB S △ 得: 1 2 ×3×(-x 2+3x )=3 化简得:x 2-3x +2=0, 解得:1x =1,2x =2, 将1x =1代入1y =-x 2+2x +3中, 解得P 点坐标为(1,4). 将2x =2代入1y =-x 2+2x +3中, 解得P 点坐标为(2,3). ∵点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点, 综上所述,P 点的坐标为(1,4),(2,3). 模型讲解 竖切 面积公式均为1 = 2 S dh C B h C B h C B 横切 面积公式均为1 = 2 S dh D 【总结】 这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点,并且“横竖”均可.而在选择时,如何选用,取决于点D 的坐标哪种更易求得. 例题2 已知一次函数y =(k +3)x +(k -1)的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,P (-1,-4).

初三数学中考总复习培优资料三

初三数学中考总复习培优资料三 一、选择题(本大题共有12小题,每小题2分,共24分.) 1、在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/小时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/小时的卡车,则轿车从开始追及到超越卡车,需要花费的时间约是( ) A 、1.6秒 B 、4.32秒 C 、5.76秒 D 、345.6秒 2、如果关于x 的一元二次方程0962 =+-x kx 有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( ) A 、1k 3、若a 2+ma +18在整数范围内可分解为两个一次因式的乘积,则整数m 不可能是( ) A 、 ±9 B 、±11 C 、±12 D 、±19 4、在实数范围内把8422 --x x 分解因式为( ) A 、)1)(3(2+-x x B 、)51)(51(--+-x x C 、)51)(51(2--+-x x D 、)51)(51(2++-+x x 5、用换元法解方程x x x x += ++2 22 1时,若设x 2+x=y, 则原方程可化为( ) A 、y 2+y+2=0 B 、y 2-y -2=0 C 、y 2-y+2=0 D 、y 2+y -2=0 6、某商品经过两次降价,由每件100元降至81元,则平均每次降价的百分率为( ) A 、8.5% B 、9% C 、9.5% D 、10% 7、一列火车因事在途中耽误了5分钟,恢复行驶后速度增加5千米/时,这样行了30千米就将耽误的时间补了回来,若设原来的速度为x 千米/时,则所列方程为( ) A 、 303055 60x x --= B 、 305305 60x x +-= C 、30305560 x x -+= D 、3030 5 5x x -+= 8、已知关于x 的方程02 =+-m mx x 的两根的平方和是3,则m 的值是( ) A 、1- B 、1 C 、3 D 、1-或3 9、如果关于x 的一元二次方程0)1(22 2 =+--m x m x 的两个实数根为βα,,则βα+的取值范围是( ) A 、1≥+βα B 、1≤+βα C 、21≥+βα D 、2 1 ≤+βα 10、已知数轴上的点A 到原点的距离为2,那么在数轴上到A 点的距离是3的点所表示的数有( ) A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、4个 11、已知)0(1,≥+==a a y a x ,则y 和x 的关系是( ) A 、x y = B 、1+= x y C 、2x y = D 、)0(12≥+=x x y 12. 如图,以M (-5,0)为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点,P 是OM 上异于A 、B 的一动点,直线P A 、PB 分别交y 轴于C 、D ,以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ,则EF 的长 ( ) A .等于4 2 B .等于4 3 C .等于6 D .随P 点位置的变化而变化 二、填空题(本大题共有4小题,每小题4分,共16分.) 17. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图)。救生员甲在A 处的瞭望台上观察海面情况,发现其正北方向的B 处有人发出求救信号。他立即沿AB 方向径直前往救援,同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上人C 处入海,径直向B 处游去。甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处,再向B 处游去。若CD=40米,B 在C 的北偏东35方向,甲、乙的游泳速度都是 2 米/秒。问谁先到达 B 处?请说明理由。(参考数据: sin 550.82,cos550.57,tan 55 1.43≈≈≈) 第12题

初一数学资料培优汇总(精华)

第一讲 数系扩张--有理数(一) 一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A .相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D .6 6、 有3个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数? 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示 为0,b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少? 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - 4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc

人教备战中考数学培优专题复习二次函数练习题含答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(10分)(2015?佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画. (1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标; (2)小球的落点是A,求点A的坐标; (3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积; (4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标. 【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,). 【解析】 试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标; (2)联立两解析式,可求出交点A的坐标; (3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解; (4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直 线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛 物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标. 试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4, 故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4); (2)联立两解析式可得:,解得:,或. 故可得点A的坐标为(,);

(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B. S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA =×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣×× =4+﹣ =; (4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积. 设直线PM的解析式为y=x+b, ∵P的坐标为(2,4), ∴4=×2+b,解得b=3, ∴直线PM的解析式为y=x+3. 由,解得,, ∴点M的坐标为(,). 考点:二次函数的综合题

中考数学培优专题复习圆的综合练习题附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A , ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB , ∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中, OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线; (2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形, ∵S △CDO = 1 2 CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4,

∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12, ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24. 2.已知 O 的半径为5,弦AB 的长度为m ,点C 是弦AB 所对优弧上的一动点. ()1如图①,若m 5=,则C ∠的度数为______; ()2如图②,若m 6=. ①求C ∠的正切值; ②若ABC 为等腰三角形,求ABC 面积. 【答案】()130;()2C ∠①的正切值为3 4 ;ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ,OB ,判断出AOB 是等边三角形,即可得出结论; ()2①先求出10AD =,再用勾股定理求出8BD =,进而求出tan ADB ∠,即可得出结 论; ②分三种情况,利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论. 【详解】 ()1如图1,连接OB ,OA ,

初三数学培优辅导资料(4)(最新整理)

B A 初三数学辅导资料(4) 1.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点G ,点F 是CD 上一点,且满足 =,连接AF 并延长交⊙O 于点E ,连接AD 、DE , 若CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF ∽△AED ;②FG=2;③S △DEF=4.其中正确的是 (写出所有正确结论的序号). 2、如图,扇形DOE 的半径为3 的菱形OABC 的顶点A , C ,B 分别在O D ,O E ,弧ED 上,若把扇形DOE 围成一个圆锥, 则此圆锥的高为( )A . B. C D . 1 23、如图,AB 是圆O 的直径,AC 交圆O 于E 点,BC 交圆O 于D 点,CD =BD ,∠C =70°,现给出以下四个结论:①∠A =70°,②AC =AB . ③AE =BE , ④,其中正确的结论的序号是( ) 22CE AB BD ?=A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④4.如图,⊙O 过四边形ABCD 的四个顶点,已知∠ABC =90o, BD 平分∠ABC ,则:①AD =CD ,BD =AB +CB , ③点O 是∠ADC 平分线上的点,④, 2222AB BC CD +=上述结论中正确的个数为( )A .4 个 B .3个 C .2个 D .1个5.如图,A 、B 为⊙O 上的两个定点,P 是⊙O 上的动点(P 不 与A 、B 重合),我们称∠APB 为⊙O 上关于A 、B 的滑动角. 若⊙O 半径为 1,,则∠APB 的取值范围为 32≤ ≤AB (第10题图) D (第10题)

“” “” At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

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