第二次联合模拟考试 数学(理科)

高三第二次联合模拟考试

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（60分）

一，选择题（每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）

1.下列有关数学史和数学方法的说法中，不正确的一项是

A. 我国宋代大数学家秦九韶采用“割圆术”计算出圆周率的近似值在世界很长时间里处于领先地位。

B. 建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如π）有关，然后设计适当的实验，并通过这个实验的结果来确定这些量，按照以上思路建立起来的方法称为计算机模拟法或蒙特卡罗方法。

C. 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义，公理，定理，直接推证结论的真实性，常用的直接证明方法有综合法和分析法。

D. 数系的每一次扩充过程都与实际需求密切相关。复数是16世纪人们在讨论一元二次方程，一元三次方程的求根公式时引入的。它在数学，力学，电学等其他学科中都有广泛的应用。

2. 按如图的程序计算，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果小于20，则输出结果最多有（ ）种？

A.2

B.3

C.4

D.5

3．“2a =”是 “函数()2x

f x ax =-有零点”的．

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4．设

(sin cos )a x x dx π

=

+?

，则二项式6(，展开式中含2

x 项的系数是（ ） A. 192- B. 192 C. -6 D. 6

5.公差不为0的等差数列{}n a 中, 2

200520072009330a a a -+=,数列{}n b 是等比数列，且

20072007b a =,则20062008b b =（ ）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．36

6.已知f （x ）是一个实系数多项式，通过计算得知f （1+i ）=0，f （1-i ）=0，f （-1+i ）=0，f （-1-i ）=0，i 是虚数单位。则这个多项式的次数最小是（ ） A.2 B.3 C.4 D.6

7.单位向量a ，b 共起点O ，且a ?b=2

1

-，向量c 的起点也是O ，终点为C 。且满

足=60°。则下列说法中，正确的是

A.|c|的最大值为1。

B. |c|的最大值为

2

2。 C.点C 的轨迹是一个优弧。 D.点C 的轨迹是两个优弧。

8．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）

9．关于x 的方程

(1)10(0,)x a x a b a a

b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若

12012x x <<<<，则b

a

的取值范围是（ ）

A ．4(2,)5--

B ．34(,)25--

C ．52(,)43--

D ．51

(,)42

--

10. 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的

点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是（ ） A 、（1）（2）（3） B 、（1）（4） C 、（1）（2）（4） D 、（2）（4）

11. 222222222009

1

200811...413113*********++++++++++++

=S ，则不大于S 的最大整数][S 等于______ A.2008 B.2009 C.4017 D.4018

12. 定义一个对应法则f ：()()/,,0,0P m n P

m n →≥≥.现有点()/1,3A 与

()/3,1B 点，点/M 是线段//A B 上一动点，按定义的对应法则f ：/M M →。当点/M 在

线段/

/

A B 上从点/

A 开始运动到点/

B 结束时，点/

M 的对应点M 所经过的路线长度为

______.

A. 12π

B. 6π

C. 3

π

D. 32π

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

二，填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。）

13. 设椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且

120PF PF ?=，12tan PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ．

A B C D

F

E

D

P

14.某几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图所示，则该几何体的表面积

为 。

15.某批产品成箱包装，每箱5件。一用户在购进这品产品前先取出三箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验。设取出的第一二三箱中分别有0,1,2件二等品，其余均为一等品。若抽检的六件产品中有两件或两件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，则这批产品被用户拒绝购买的概率为

16. 设x,y 满足约束条件00134x y x y

a a

??≥?≥???+≤?，若z =的最小值为3

2，则a 的值______.

三，解答题（要求写出必要的过程和文字说明，直接写出结果的不能得分。解答写在答题卡指定区域内。其中17到21题为必考题，所有考生都必须作答。22,23,24为选考题，考生根据要求作答。） 17. （本小题满分12分）

已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c ，若cos cos A b

B a

= 且sin cos C A = (Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；

(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ??=+-+ ???

，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离. 18．（本小题满分12分）

如图①边长为1的正方形ABCD 中，点E 、 F 分别为AB 、BC 的中点，将△BEF 剪去，将 △AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、 C 两点重合于点P 得一三棱锥如图②示. （1）求证：PD EF ⊥;

（2）求三棱锥P DEF -的体积； ① ② （3）求DE 与平面PDF 所成角的正弦值． 第18题图

19. （本小题满分12分）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，左右顶点分别为

A C 、，上顶点为

B ，过

C B F ,,三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为()n m ,.

(Ⅰ)当0m n +≤时，椭圆的离心率的取值范围.

132+++x y x

(Ⅱ)直线AB 能否和圆P 相切？证明你的结论. 20. （本小题满分12分）

（Ⅰ）（4分）对任意一组随机变量ξ，其方差为D(ξ)，数学期望为E(ξ)，试用E(ξ)和E(ξ2)来表示D(ξ)，并说明E(ξ2)≥E(ξ)2恒成立。 （Ⅱ）为检测我市高三学生的复习情况，我市教育研究院在全市范围内进行了一次高考模拟考试。考试后为考察全市学生的数学答题情况，某老师将所有参加考试的学生随机编号，按照预先规定好的规则抽取了一个由25人组成的样本，这

① （2分）这个反应样本数据的图是什么图？这位老师采用的抽样方法是什么？

② （3分）完成下面的2*2列联表，给出统计假设，并通过计算说明是否有95%

（参考公式：))()()(()(2

2

d b

c a

d c b a bc ad n K ++++-=

③ （3分）假设该样本的平均值可以代表全市同学数学成绩的平均值，已知全市同学的数学成绩很好的符合正态分布。另外的计算表明全市同学的数学成绩的平方的平均数为10009。请根据以上信息写出全市同学的数学成绩分布的概率密度函数，并求出全市同学数学成绩在（91,109）范围内的人数占参加考试的总人数的比例。【参考数据：P （μ-σ≤X ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ≤X ≤μ+3σ）=0.9974）】

21. （本小题满分12分）已知函数1)(-=p x x f ，1q

1

p 1=+，1

b 为正数。

(1)求f （x ）的反函数，结果中的参数用字母q 表示。 （2）计算积分

①?-a

p dx x

1

②?-b

1dx x q

（3）求证：ab q

b p a q

p ≥+

注意！【选考题】请考生从22,23,24三题中选择一题作答，并在答题卡上将所选

择的题目的题号涂黑。如果多做，则按所涂的题目计分。 22.【选修4-1 几何证明选讲】（本小题满分10分） 请运用有关平行投影的知识回答下列问题。

圆锥面的轴线和母线的夹角称为圆锥面的半顶角θ。

一个半顶角θ的圆锥面被一个平面所截，平面与圆锥的底面夹角为α，α+θ<π/2。

① 求证：平面被圆锥所截得的曲线是椭圆。（5分） ② 通过选取特殊位置，计算这个椭圆的离心率e 。（5分） 23.【选修4-4 坐标系与参数方程】（本小题满分10分） （1）（3分）设点M 的直角坐标为（1,1,3），求它的柱坐标（ρ，θ，z ）。 （2）（7分）把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切。设基圆的半径为a ，以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M0，向量0OM 的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系。设绳拉直时和圆的切点为A ，记和x 轴正向所成的角为t （以弧度为单位），试推倒绳的外端点M 的移动轨迹的参数方程（t 为参数）。

24.【选修4-5 不等式选讲】（本小题满分10分） 设a ，b ，c 为正数，求证：

（1）c b a a

c c b b ++≥++

2

22a （2）)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++

2015年华北四校高三第二次联合模拟考试 数学（理科）参考答案

1-5ABAAD 6-10CDBDC 11-12 AC 10．C ．解析：如图（1），在平面内不可能有符合题意的点；如图（2），直线a 、b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线a 、b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C ．

13.

1 14.

2

3

9+或33+ （少一个不给分） 15.0.34 16.1 17. (Ⅰ)由题设及正弦定理知:

cos sin cos sin A B

B A

=,得sin 2sin 2A B = ∴22A B =或22A B π+= ,即A B =或2

A B π

+=

当A B =时,有sin(2)cos A A π-=, 即1sin 2A =,得6

A B π

==,23C π=;

当2

A B π

+=时,有sin()cos 2

A π

π-=,即cos 1A = 不符题设

∴6A B π

==

,23

C π

=

…………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:()sin(2)cos(2)2sin(2)636

f x x x x π

ππ

=++-=+ 当2[2,2]()6

22x k k k Z π

π

πππ+

∈-

+∈时, ()2sin(2)6

f x x π

=+为增函数

即()2sin(2)6

f x x π

=+

的单调递增区间为[,]()3

6

k k k Z π

π

ππ-

+

∈. ………11分

它的相邻两对称轴间的距离为

2

π

. ………12分 18．（1）证明：依题意知图①折前,AD AE CD CF ⊥⊥,

a

a

a

P

D

E

F

M

F

E

D

P

∴,PD PE PF PD ⊥⊥,----------------------------------------------2分 ∵PE

PF P = ∴PD ⊥平面PEF -----------------------3分

又∵EF ?平面PEF ∴PD EF ⊥-------------------------------------------4分 (2)解法1：依题意知图①中AE=CF=12 ∴PE= PF=12，在△BEF

中EF ==,----5分

在PEF ?中，222PE PF EF PE PF +=∴⊥

∴8

1

21212121=??=??=

?PF PE S PEF --------------------7分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --?==?111

13824

=??=．-----------8分

【(2)解法2：依题意知图①中AE=CF=12 ∴PE= PF=1

2

，

在△BEF

中2

EF ==,----------------------------------5分

取EF 的中点M ，连结PM

则PM EF ⊥,

∴PM ==分

∴111228

PEF S EF PM ?=

?==---------------7分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --?==?111

13824

=??=．-----------------------8分】

(3) 由（2）知PF PE ⊥ 又PE PD ⊥ ∴⊥PE 平面PDF -------10分

∴PDE ∠为DE 与平面PDF 所成的角， 在PDE Rt ?中，

∵DE ==12

PE = ∴55

25

2sin =

==∠DE PE PDE -----------------------------------12分

19. 【解析】(Ⅰ)由题意BC FC ,的中垂线方程分别为,222a c b a a x y x b -??

=

-=- ???

，

于是圆心坐标为2,22a c b ac b ??

-- ???

. …………………………………4分

n m +=2022a c b ac

b

--+≤，即 20ab bc b ac -+-≤, 即()()0a b b c +-≤,所以b c ≤，于是22b c ≤＞2

c 即22

2a c ≤，

所以2

12e ≥

,即 0＜e

1e ≤<. ………………6分 （Ⅱ）假设相切， 则1-=?PB AB k k ， ……………………………………8分

222

2,,1()()02

PB AB PB AB b ac b b ac b b ac b k k k k a c b c a a a c a --++===∴==-----，……10分

2222,2,0,2a c ac a ac c ac c c a ∴-+=-=>∴=即这与0c a <<矛盾.

故直线AB 不能与圆P 相切. ………………………………………………12分