高中数学新课程创新教学设计案例50篇__40-43平面向量
40 平面向量的数量积
教材分析
两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法,它区别于数的乘法.这篇案例从学生熟知的功的概念出发,引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义,介绍向量数量积的运算律及坐标表示.向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起,这为解决三角形的有关问题提供了方便,特别是能有效解决线段的垂直等问题.这节内容是整个向量部分的重要内容之一,对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习.这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用.
教学目标
1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示,会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
2. 通过对数量积的引入和应用,初步体会知识发生、发展的过程和运用过程,培养学生的科学思维习惯.
任务分析
两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别,这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难.在学习时,要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量,而不是向量.两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积,其符号由夹角余弦值的正负而确定.
两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”.
通过实例理解a·b=b·c与a=c的关系,a·b=0与a=0或b=0的关系,以及(a·b)c
=a(b·c)与(ab)c=a(bc)的不同.
教学设计
一、问题情景
如图40-1所示,一个力f作用于一个物体,使该物体发生了位移s,如何计算这个力所做的功.由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ,真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力,这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功.即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算.
W=|s||f|cosθ.
其中|f|cosθ就是f在物体前进方向上的分量,也就是力f在物体前进方向上正射影的数量.
问题:像功这样的数量值,它由力和位移两个向量来确定.我们能否从中得到启发,把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢?
二、建立模型
1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念:
已知两个非零向量a与b,把数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积(内积),记作a·b =|a||b|cosθ.其中θ是a与b夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫a在b方向上(b在a 方向上)的投影.
规定0与任一向量的数量积为0.
由上述定义可知,两个向量a与b的数量积是一个实数.
说明:向量a与b的夹角θ是指把a,b起点平移到一起所成的夹角,其中0≤θ≤π.当θ
=时,称a和b垂直,记作a⊥b.为方便起见,a与b的夹角记作〈a,b〉.
2. 引导学生思考讨论
根据向量数量积的定义,可以得出
(1)设e是单位向量,a·e=|a|cos〈a,e〉.
(2)设a·b是非零向量,则a⊥b a·b=0.
(3)a·a=|a|2,于是|a|=.
(4)cos〈a,b〉=.
(5)|a·b|≤|a||b|(这与实数|ab|=|a||b|不同).
三、解释应用
[例题]
已知|a|=5,|b|=4,〈a,b〉=120°,求a·b.
解:a·b=|a||b|cos〈a,b〉=5×4×cos120°=-10.
[练习]
1. 已知|a|=3,b在a上的投影为-2,求:(1)a·b.(2)a在b上的投影.
2. 已知:在△ABC中,a=5,b=8,c=60°,求·.
四、建立向量数量积的运算律
1. 出示问题:从数学的角度考虑,我们希望向量的数量积运算,也能像数量乘法那样满足某些运算律,这样数量积运算才更富有意义.回忆实数的运算律,你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗?它们成立吗?为什么?
2. 运算律及其推导
已知:向量a,b,c和λ∈R,则
(1)a·b=b·a(交换律).
证明:左=|a||b|cosθ=右.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律).
证明:设a,b夹角为θ,当λ>0时,λa与b的夹角为θ,
∴(λa)·b=(λa)·|b|cosθ=λ|a||b|cosθ=λ(a·b);
当λ<0时,λa与b的夹角为(π-θ),
∴(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ=λ(a·b);
当λ=0时,(λa)·b=0·b=0=λ(a·b).
总之,(λa)·b=λ(a·b);
同理a·(λb)=λ(a·b).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(乘法对加法的分配律).
证明:如图40-2,任取一点O,作=a,=b,=c.
∵a+b(即)在c方向上的投影等于a,b在c方向上的投影的和,即
|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2,
∴|c||a+b|cosθ=|c|(|a|cosθ1+|b|cosθ2)=
|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2=c·a+c·b,
∴(a+b)·c=a·c+b·c.
思考:(1)向量的数量积满足结合律,即(a·b)c=a(b·c)吗?
(2)向量的数量积满足消去律,即如果a·b=c·b,那么a=c吗?
五、应用与深化
[例题]
1. 对实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.类似地,对任意向量a,b,也有类似结论吗?为什么?
解:类比完全平方和公式与平方差公式,有
(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2.
其证明是:(a+b)2=(a+b)·(a+b)=
a·a+a·b+b·a+b·b=
a2+2a·b+b2,
(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=
a2-b2.
∴有类似结论.
2. 已知|a|=6,|b|=4,〈a,b〉=60°,求(a+2b)·(a-3b).
解:(a+2b)·(a-3b)=
a2-3a·b+2b·a-6b2=
|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=-72.
3. 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,(a+kb)⊥(a-kb)?
解:(a+kb)⊥(a-kb),即(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即9-k2×16=0,k=±.
因此,当k=±时,有(a+kb)⊥(a-kb).
4. 已知:正方形ABCD的边长为1,并且=a,=b,=c,求|a+b+c|.
解法1:∵a+b+c=++=2,
∴|a+b+c|=2=2.
解法2:|a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+2+
2×1×1×cos90°+2×1××+2×1××=8,∴|a+b+c|=2.[练习]
1. |a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ.
2. 在边长为2的正三角形ABC中,求·+·+·.
六、拓展延伸
1. 当向量a,b的夹角为锐角时,你能说明a·b的几何意义吗?
如图40-3,a·b,即以b在a上射影的长和a的长为两邻边的矩形面积(OA=OA1).
2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型,如图40-4,=+,
=-.试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系.
3. 三个单位向量a,b,c有相同终点且a+b+c=0,问:它们的起点连成怎样的三角形?
解法1:如图40-5,∵|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,∴a+b=-c,∴(a+b)2=(-c)2,
∴a2+b2+2a·b=c2,∴2|a|·|b|cos∠AOC=-1,cos∠AOC=,∠AOC=120°.
同理∠BOC=∠AOC=120°,故△AOB,△BOC,△BOC全等,∴AB=AC=BC,即该△ABC为等边三角形.
解法2:如图40-6,=c,=-a,=-b,由a+b+c=0,即=+
.
∵|a|=|b|=1,∴OADB为菱形.
又||=1,∴∠AOB=120°.
同理∠AOC=∠BOC=120°,…
4. 在△ABC中,·=·=·,问:O点在△ABC的什么位置?
解:由·=·,即·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理⊥,⊥.故O是△ABC的垂心.
41 两角和与差的余弦
教材分析
这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上,进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数.这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用,因此要求学生切实学好,并能熟练的应用,以便为今后的学习打下良好的基础.
“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法,即先借助于单位圆中的三角函数线,推出α,β,α-β均为锐角时成立.对于α,β为任意角的情况,教材运用向量的知识进行了探究.同时,补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处,这样,两角差的余弦公式便具有了一般性.
这节课的重点是两角差的余弦公式的推导,难点是把公式中的α,β角推广到任意角.教学目标
1. 通过对两角差的余弦公式的探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知识的能力.
2. 通过两角差的余弦公式的推导,体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程,培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神.
3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
任务分析
这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点,利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论,并不断补充推导过程中的不严谨之处.推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法,学生易于接受.整个过程始终结合单位圆,以强调其直观性.对于公式中的α和β角要强调其任意性.数学中要注意运用启发式,切忌把结果直接告诉学生,尽量让学生通过观察、思考和探索,自己发现公式,使学生充分体会到成功的喜悦,进一步激发学生的学习兴趣,调动他们学习的积极性,从而使其自觉主动地学习.
教学过程
一、问题情景
我们已经学过诱导公式,如
可以这样来认识以上公式:把角α转动,则所得角α+的正弦、余弦分别等于cosα和-sinα.把角α转动π,则所得角α+π的正弦、余弦分别等于-sinα和-cosα.
由此,使我们想到一个一般性的问题:如果把角α的终边转动β(度或弧度),那么所得角α+β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢?
出示一个实际问题:
右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图.吊桥长AB=a(m),A是支点,在河的左岸.点C在河的右岸,地势比A点高.AD表示水平线,∠DAC=α,α为定值.∠CAB =β,β随吊桥的起降而变化.在吊桥起降的过程中,如何确定点B离开水平线AD的高度BE?
由图可知BE=asin(α+β).
我们的问题是:如何用α和β的三角函数来表示sin(α+β).如果α+β为锐角,你能由α,β的正弦、余弦求出sin(α+β)吗?
引导学生分析:事实上,我们在研究三角函数的变形或计算时,经常提出这样的问题:能否用α,β的三角函数去表示α±β的三角函数?为了解决这类问题,本节首先来探索α-β的余弦与α,β的函数关系式.
更一般地说,对于任意角α,β,能不能用α,β的三角函数值把α+β或α-β的三角函数值表示出来呢?
二、建立模型
1. 探究
(1)猜想:cos(α-β)=cosα-cosβ.
(2)引导学生通过特例否定这一猜想.
例如,α=60°,β=30°,可以发现,左边=cos(60°-30°)=cos30°=,右边=cos60°-cos30°=-.显然,对任意角α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ不成立.(3)再引导学生从道理上否定这一猜想.
不妨设α,β,α-β均为锐角,则α-β<α,则cos(α-β)>cosα.又cosβ>0,所以cos(α-β)>cosα-cosβ.
(1)如何把α,β,α-β角的三角函数值之间建立起关系?要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识?
(2)由三角函数线的定义可知,这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系,那么,这些有向线段之间是否有关系呢?
3. 教师明晰
通过学生的讨论,教师引导学生作出以下推理:
设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β.
过点P作PM⊥x轴,垂足为M,那么,OM即为α-β角的余弦线,这里要用表示α,β的正弦、余弦的线段来表示OM.
过点P作PA⊥OP1,垂足为A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,再过点P作PC⊥AB,垂足为C,那么cosβ=OA,sinβ=AP,并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是
OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=
cosβcosα+sinβsinα.
4. 提出问题,组织学生讨论
(1)当α,β,α-β为任意角时,上述推导过程还能成立吗?
若要说明此结果是否对任意角α,β都成立,还要做不少推广工作,可引导学生独立思考.
事实上,根据诱导公式,总可以把α,β的三角函数化为(0,)内的三角函数,再根据cos(-β)=cosβ,把α-β的余弦,化为锐角的余弦.因此,
三、解释应用
1. 求cos15°及cos105°的值.
分析:本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差,再利用两角差的余弦公式即可求解.对于cos105°,可进行类似地处理,cos105°=cos(60°+45°).
2. 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=-,且β是第三象限的角,求cos(α+β)的值.
分析:观察公式Cα
与本题已知条件应先计算出cosα,cosβ,再代入公式求值.求cosα,+β
cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意α,β的取值范围来求解.
[练习]
1. (1)求sin75°的值.
(2)求cos75°cos105°+sin75°sin105°的值.
(3)化简cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB.
(4)求cos215°-sin215°的值.
分析:对于(1),可先用诱导公式化sin75°为cos15°,再用例题1中的结果即可.对于(2),逆向使用公式Cα-β,即可将原式化为cos30°.对于(3),可以把A+B角看成一个整体,去替换Cα-β中的α角,用B角替换β角.
2. (1)求证:cos(-α)=sinα.
(2)已知sinθ=,且θ为第二象限角,求cos(θ-)的值.
(3)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,求cosα.
分析:(1)和(差)公式可看成诱导公式的推广,诱导公式是和(差)公式的特例.(2)在三角函数求值问题中,变角是一种常用的技巧,α=(30°+α)-30°,这样可充分利用题中已知的三角函数值.
3. 化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°).
分析:这里可以把角36°+α与α-54°均看成单角,进而直接运用公式Cα-β,不必将各式展开后再计算.
分析:本题是一道综合题,由于cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,欲求cos(α-β)的值,只须将已知两式平方相加求出cosαcosβ+sinαsinβ即可.
四、拓展延伸
1. 由任意角三角函数定义,可知角α,β的终边与单位圆交点的坐标均可用α,β的三角函数表示,即α-β角与,两向量的夹角有关,那么能否用向量的有关知识来推导公式Cα-β呢?
教师引导学生分析:在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,
它们的终边与单位圆的交点为A,B,则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ).由向量数量积的概念,有
·=||||cos(α-β)=cos(α-β).
由向量的数量积的坐标表示,有
·=cosαcosβ+sinαsinβ.
于是,有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
依据向量数量积的概念,角α-β必须符合0≤α-β≤π,即在此条件下,以上推导才是正确的.
由于α,β都是任意角,α-β也是任意角,因此,须研究α-β为任意角时,以上推导是否正确.
当α-β为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角θ,θ∈[0,2π),使cosθ=cos(α-β).
若θ∈[0,π],则·=cosθ=cos(α-β);
若θ∈[π,2π],则2π-θ∈[0,π],且
·=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).
于是,对于任意角α,β都有
2. 教师提出进一步拓展性问题:本节问题情景中,涉及如何用s inα,sinβ,cosα,cosβ来表示sin(α+β)的问题,试探索与研究sin(α+β)的表达式.
42 两角和与差的正弦
教材分析
在这节内容中,公式较多,一旦处理不当,将成为学生学习的一种负担.针对这个特点,应充分揭示公式的内在联系,使学生理解公式的形成过程及其使用条件,在公式体系中掌握相关的公式.同时,通过练习使学生能够熟练地运用这些公式.当然,这些公式的基础是两
角和差的余弦公式.通过诱导公式sin(-α)=sinα,sinπ(-α )=cosα(α为任意
角),可以实现正、余弦函数间的转换,也可推广为sin(α+β)=cos[-(α+β)]
=cos[(-α)-β],sin(α-β)=[-(α-β)]=cos[(-α)+β].借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β.Cα+β,Cα-β,Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦,右边均为单角α,β的正、余弦形式.不同点为公式Sα+β,Sα-β两边的运算符号相同,Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反.Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积,而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积.
任务分析
这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式,对三角函数中的每一个公式要求学生会推导,会使用,要求不但掌握公式的原形,还应掌握它们的变形公式,会把“asinx+bcos x”类型的三角函数化成一个角的三角函数.在课堂教学中,将采用循序渐进的原则,设计有一定梯度的题目,以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力,培养学生良好的思维习惯.在教学中,及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用.这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明,难点是公式的变形使用和逆向使用.
教学目标
1. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,两角和差的正弦公式,并了解各个公式之间的内在联系.
2. 能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明.
3. 通过公式的推导过程,培养学生的逻辑思维能力,同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法.
教学过程
一、问题情景
如图42-1,为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性,要加一根固定钢丝绳,要求钢丝绳与地面成75°角.已知电线杆的高度为5m,问:至少要准备多长的钢丝绳?
设电线杆与地面接触点为B,顶端为O,钢丝绳与地面接触点为A.
在Rt△AOB中,
如果能求出sin75°的值,那么即可求出钢丝绳的长度.75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和,那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢?
二、建立模型
1. 探究
已知cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,则sin(α+β),sin(α-β)中的角及函数名与cos(α+β)和cos(α-β)有何关系?
通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换,即sin(α+β)=
推导以上公式的方法并不是唯一的,其他推导方法由学生课后自己探索.
3. 分析公式的结构特征
Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同,右边为α与β角的异名三角函数的乘积.应特别注意公式两边符号的差异.
三、解释应用
[例题一]
已知sinα=-,且α为第四象限角,求sin(-α)cos(+α)的值.
分析:本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用.
由sinα=-及α为第四象限角,可求出cosα=,再代入公式求值.
[练习一]
分析:1. (1)强调公式的直接运用,寻找所求角与已知角之间的关系,α=(30°+α)-30°,再利用已知条件求出cos(30°+α).
2. 应注意三角形的内角之间的关系,C=π-(A+B),再由诱导公式cos(π-α)=-cosα,要求cosC即转化为求-cos(A+B).
3. 应注意分析角之间的关系,2β=(α+β)-(α-β),因此,求cos2β还应求出sin (α-β)和cos(α+β).解此题时,先把α+β与α-β看成单角,然后把2β用这两个单角来表示.
4. 该题是在已有知识的基础上进一步深化,引导学生分三步进行:(1)求出α+β角的某个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)确定角的值.其中,求α+β的某个三角函数值时,应分清是求cos(α-β)还是求sin(α-β).
已知向量=(3,4),若将其绕原点旋转45°到′→的位置,求点P′(x′,y′)的坐标.
解:设∠xOP=α,∵|OP|=5,
∴cosα=,sinα=.
∵x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°)=-,
y′=5sin(α+45°)=5(sinαcos45°+cosαsin45°)=,
∴P′ -,.
已知向量=(4,3),若将其绕原点旋转60°,-135°到1,2的位置,求点P1,P2的坐标.
[例题三]
求下列函数的最大值和最小值.
(1)y=cosx-sinx.
(2)y=3sinx+4cosx.
(3)y=asinx+bcosx,(ab≠0).
注:(1),(2)为一般性问题,是为(3)作铺垫,推导时,要关注解题过程,以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件.
(3)解:考查以(a,b)为坐标的点P(a,b),设以OP为终边的一个角为φ,则
[练习三]
求下列函数的最大值和最小值.
(1)y=cosx-sinx.
(2)y=sinx-sin(x+)
(3)已知两个电流瞬时值函数式分别是I1=12sin(ωt-45°),I2=10sin(ωt+30°),求合成的正弦波I=I1+I2的函数式.
四、拓展延伸
出示两道延伸性问题,引导学生独立思考,然后师生共同解决.
1. 已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1=5sinωt,I2=6sin(ωt-60°),I3=10sin(ωt +60°),求它们合成后的电流瞬时值的函数式I=I1+I2+I3,并指出这个函数的振幅、初相和周期.
2. 已知点P(x,y),与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′(x′,y′)(如图42-2),求证:
43 三角形边和角关系的探索
教材分析
初中已研究过解直角三角形,这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广,它们都反映了三角形边、角之间的等量关系,并且应用正、余弦定理和三角形内角和
定理,可以解斜三角形.正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法,把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形,再推广到钝角三角形,进而得出一般性的结论.余弦定理的推证采用向量的数量积做工具,将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来.对于正、余弦定理的推论,除了这节课的证法之外,还有其他的一些推证方法.教材中还要求,在证明了正、余弦定理之后,让学生尝试用文字语言叙述两个定理,以便理解其实质.当然,就知识而言,正弦定理有三个等式,可视为三个方程;余弦定理的三个式子也可看成三个方程,每个方程中均有四个量,知道其中任意三个量便可求第四个量.
这节课的重点是正、余弦定理的证明,以及用正、余弦定理解斜三角形,难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题.
任务分析
这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上,进一步研究三角形的边、角之间的等量关系.对正弦定理的推导,教材中采用了从特殊到一般的方法,逐层递进,学生易于接受,而余弦定理的证明采用了向量的方法.应用两个定理解三角形时,要分清它们的使用条件.将正、余弦定理结合起来应用,经常能很好地解决三角形中的有关问题.
教学目标
1. 理解正、余弦定理的推证方法,并掌握两个定理.
2. 能运用正、余弦定理解斜三角形.
3. 理解并初步运用数学建模的思想,结合解三角形的知识,解决生产、生活中的简单问题.
教学设计
一、问题情景
1. A,B两地相距2558m,从A,B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上(如图43-1),问:飞机离两探照灯的距离分别是多少?
2. 如图43-2,自动卸货汽车的车厢采用液压机构,设计时应计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角为60°,油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平的夹角为6°20′,AC长为1.40m,计算BC的长.(精确到0.01m)
问题:(1)图中涉及怎样的三角形?
(2)在三角形中已知什么?求什么?
二、建立模型
1. 教师引导学生分析讨论
在问题情景(1)中,已知在△ABC中,∠A=72.3°,∠B=76.5°,AB=2558m.求AC,BC的长.
组织学生讨论如何利用已知条件求出AC,BC的长度.(让学生思考,允许有不同的解法)
结论:如图40-3,作AD⊥BC,垂足为D.由三角函数的定义,知AD=AC·sinC,AD =AB·sinB.
由此可得AC·sinC=AB·sinB.
又由∠A,∠B的度数可求∠C的度数,代入上式即可求出AC的长度,同理可求BC 的长度.
教师明晰:
(1)当△ABC为直角三角形时,由正弦函数的定义,得
(2)当△ABC为锐角三角形时,设AB边上的高为CD,根据三角函数的定义,得CD
=asinB=bsinA,所以,同理.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学新课程创新教学设计案例等比数列
高中数学新课程创新教学设计案例等比数列 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
47 等比数列 教学内容分析 这节课是在等差数列的基础上,运用同样的研究方法和研究步骤,研究另一种特殊数列———等比数列.重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用,难点是应用. 教学目标 1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识,并熟练加以运用. 2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力. 3. 感受等比数列丰富的现实背景,进一步培养学生对数学学习的积极情感. 任务分析 这节内容由于是在等差数列的基础上,运用同样的方法和步骤,研究类似的问题,学生接受起来较为容易,所以应多放手让学生思考,并注意运用类比思想,这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别,而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力.另外,与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多,如没有零项、q≠0等,在教学中应注意加以比较. 教学设计 一、问题情景 在前面我们学习了等差数列,在现实生活中,我们还会遇到下面的特殊数列: 1. 在现实生活中,经常会遇到下面一类特殊数列.下图是某种细胞分裂的模型. 细胞分裂个数可以组成下面的数列: 1,2,4,8,… 2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄,通过电子函件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,函件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么,在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1,20,202,203,…
(3)除了单利,银行还有一种支付利息的方式———复利,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的“利滚利”.按照复利计算本利和的公式是 本利和=本金×(1+利率)存期 例如,现在存入银行10000元钱,年利率是%,那么按照复利,5年内各年末得到的本利和分别是(计算时精确到小数点后2位): 表47-1 时间年初本金(元)年末本利和(元) 第1年10000 10000× 第2年10000×10000× 第3年10000×10000× 第4年10000×10000× 第5年10000×10000× 各年末的本利和(单位:元)组成了下面的数列: 10000×10198,10000×101982,10000×101983,10000×101984,10000×101985. 问题:回忆等差数列的研究方法,我们对这些数列应作如何研究 二、建立模型 结合等差数列的研究方法,引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究,发现这些数列的共同特点,从而归纳出等比数列的定义及符号表示: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列 叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).即 [问题] 1. q可以为0吗有没有既是等差,又是等比的数列 2. 运用类比的思想可以发现,等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”,同样,你能类比得出等比数列的通项公式吗如果能得出,试用以上例子加以检验. 对于2,引导学生运用类比的方法:等差数列通项公式为an=a1+(n-1)d,即a1与(n-1)个d的和,等比数列的通项公式应为an等于a1与(n-1)个q的乘积,即an=a1qn-1.上面的几个例子都满足通项公式. 3. 你如何论证上述公式的正确性.
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理(第1课时) 一、内容和内容解析 内容:二项式定理的发现与证明. 内容解析:本节是高中数学人教A版选修2-3第一章第3节的内容.二项式定理是多项式乘法的特例,是初中所学多项式乘法的延伸,此内容安排在组合计数模型之后,随机变量及其分布之前,既是组合计数模型的一个应用,也是为学习二项分布作准备.由于二项式定理的发现,可以通过从特殊到一般进行归纳概括,在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型,因此,这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值.教学中应当引起充分重视. 二、目标和目标解析 目标: (1)能通过多项式乘法,归纳概括出二项式定理内容,并会用组合计数模型证明二项式定理. (2)能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律,并能通过特例体会二项式定理的简单应用. (3)通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养,以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养. 目标解析: (1)二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式,因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律.但归纳概括的结论,如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求.因此,在归纳概括的过程中,用好组合模型不仅可以更自然地得到结论,还能为证明二项式定理提供方法. (2)由于二项展开式是一个复杂的多项式.如果不把其看成一个数列的和,引进数列的通项帮助理解与应用,学生很难短期内对定理有深入的认识.因此,通过一些特例,建立二项式展开式与数列及数列和的联系,是达成教学目标的一个重要途径.(3)数学核心素养是数学教学的重要目标,但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实.在二项式定理的教学中,从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会;同时利用组合计数模型证明二项式定理,以及利
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法