分式全章复习与巩固(基础)导学案+习题【含答案】
分式全章复习与巩固(基础)
【学习目标】
1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则.
3.掌握分式的四则运算.
4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系.
5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1.分式
一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A
B
叫做分式.其中A
叫做分子,B叫做分母.
要点诠释:分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即
当B≠0时,分式A
B
才有意义.
2.分式的基本性质
(M为不等于0的整式).
3.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简. 要点二、分式的运算
1.约分
利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.
2.通分
利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.
3.基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: (1)加减运算
a b a b c c c
±±= ;同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.
(2)乘法运算
a c ac
b d bd
?=,其中a b c d 、、、是整式,0bd ≠. 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. (3)除法运算
a c a d ad
b d b
c bc
÷=?=,其中a b c d 、、、是整式,0bcd ≠. 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘.
(4)乘方运算
分式的乘方,把分子、分母分别乘方. 4.零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.
3.分式方程的增根问题 增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根---增根.
要点诠释:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解. 【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
1、在m
a y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中,分式的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C ;
【解析】()2
1131
x x a x x x y m
+++,,,是分式.
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含
有字母则不是分式.
2、当x 为何值时,分式29
3
x x -+的值为0?
【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值,再检验这个值是否使分母的值等于0,当它使分母的值不等于0时,这个值就是要求的字母的值. 【答案与解析】
解: 要使分式的值为0,必须满足分子等于0且分母不等于0.
由题意,得290,
30.
x x ?-=?+≠? 解得3x =.
∴ 当3x =时,分式29
3
x x -+的值为0.
【总结升华】分式的值为0的条件是:分子为0,且分母不为0,即只有在分式有意义的前提下,才能考虑分式值的情况. 举一反三: 【变式】(1)若分式
的值等于零,则x =_______;
(2)当x ________时,分式
没有意义.
【答案】(1)由24x -=0,得2x =±. 当x =2时x -2=0,所以x =-2; (2)当10x -=,即x =1时,分式没有意义.
类型二、分式运算
3、计算:222
2132(1)441
x x x x x x x -++÷-?++-.
【答案与解析】
解:22
2222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1
x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-?=??++-+--
2
2
(1)(2)(1)x x x +=-
+-. 【总结升华】本题有两处易错:一是不按运算顺序运算,把2
(1)x -和232
1
x x x ++-先约分;
二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1.因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键. 举一反三:
【变式】计算:(1)33
2212b b a a ab ??????-÷-÷ ? ? ??
?????;
(2)2
224222a a a a a a ??
- ?+--??
; (3)6333a
a a a a a
??-÷
?-+-??. 【答案】
解:(1)3
3
22326331122b b b b a a ab a a a b ????????????
-÷-÷=-÷-÷ ? ? ? ? ? ???????
??????
2682
33322b a a b a b a b ????=--=
??????? ; (2)2
2222
44(2)(2)
222(2)22
2a a a a a a a a a
a a a a a a a ??-+--== ?
+--+-+-?? (2)2
a
a a a =
+=+ ; (3)6333a
a a a a a ??-÷
?-+-?? (3)(3)3(3)(3)6a a a a a
a a a +---=
+-
63(3)(3)6a a
a a a
-=
+- 13a =-+.
4、计算:
(1)5
2
31010-??; (2)1341
39m np mn p ----÷;
(3)2
2
2
23a a b b ??-??÷
? ?????
;(4)1322233
(3)(2)(3)mn m n m n ----÷ .
【思路点拨】(1)题和(2)题只有乘除运算,按幂的乘法和除法法则进行计算;(3)题中出现了分式,可先将每一个分式转化为整数指数幂,然后再用法则计算;(4)题中出现了整数幂的乘法、除法、乘方计算;先算乘方,再算乘除. 【答案与解析】 解:(1)原式52
3313
310
3103101000
-+-=?=?=?
=; (2)原式5
11
1(4)
3(1)
25222
1(39)33n m n
p
m n p m p ---------=÷==
; (3)原式2422
22244994a a a b b b b a
=÷=
242222999
444a b a a
--+-=
== ; (4)原式333244333(2)(3)m n m n m n ---=-÷
32434334(3)44
43236363m m n m n n
+-------?=
=-=- . 【总结升华】(1)整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示.如:(4)题中的结
果得到4
4
36m n --后,还要化为4
4
36m n -.(2)进行混合运算时特别要注意运算顺序.
类型三、分式方程的解法
【高清课堂 分式全章复习与巩固 例6(1)】
5、解方程
23
222
x x x -=+- 【答案与解析】 解:
23
222
x x x -=+- 方程两边同乘以()()22x x -+,得 ()()()()2232222x x x x x --+=+- 72x =
27
x =
检验: 当2
7
x =时,最简公分母()()22x x -+≠0, ∴2
7
x =
是原方程的解. 【总结升华】分式方程一定要记得检验. 举一反三:
【变式】
()123
1244
x x x -=---,
【答案】
解: 方程两边同乘以()24x -,得
()()
12422332
x x x =---=-
∴
检验:当3
2
x =-时,最简公分母()240x -≠, ∴3
2
x =-
是原方程的解. 类型四、分式方程的应用
6、某质检部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查,测得甲厂有合格的产品48件,乙厂有合格的产品45件,甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%,问甲厂的合格率是多少?
【思路点拨】本题可间接设出甲、乙两厂分别抽取的产品件数,利用“甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%列出等式. 【答案与解析】
解:设质检部门抽取了x 件进行检测,则:
48455%x x
-=. 解方程得:x =60. ∴ 甲厂的合格率是:
48
100%80%60
?=. 答:甲厂的合格率是80%.
【总结升华】本题若直接设未知数,解题过程非常繁琐,间接设未知数较方便. 举一反三:
【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上,并且小明上学要路过王老师家,小明到王老师家的路程为3 km ,王老师家到学校的路程为0.5 km ,由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线,为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20 min ,王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少? 【答案】
解:设王老师步行的速度为x km/h ,则他骑自行车的速度为3x km/h .
根据题意得:
230.50.520
360
x x ?+=+.
解得:5x =.
经检验5x =是原方程的根且符合题意. 当5x =时,315x =.
答:王老师步行的速度为5km/h ,他骑自行车的速度为15km/h .
【巩固练习】 一.选择题
1.下列变形从左到右一定正确的是( ).
A.2
2--=b a b a B.bc ac b a = C.
b
a bx ax = D.22b
a b a = 2.把分式
y
x x
+2中的x y 、都扩大3倍,则分式的值( ). A.扩大3倍
B.扩大6倍
C.缩小为原来的
3
1
D.不变
3.下列各式中,正确的是( ). A.
y x y
x y x y x +-=
--+- B.
y x y
x y x y x ---=
--+- C.y
x y
x y x y x -+=
--+- D.
y
x y
x y x y x ++-=
--+- 4.式子
22
2
x x x +--的值为0,那么x 的值是( )
A .2
B .-2
C .±2
D .不存在
5.下列计算中正确的是( ). A.()0
11-=-
B.()
1
11--=
C.3
3212a a
=
-
D.4
7
3
1)()(a a a =
-÷- 6.下列分式中,最简分式是( ).
A.2
1521y xy
B.y x y x +-2
2
C.222x xy y x y
-+-
D.y x y x -+22
7.将分式方程
2514326242y y
y y
+-+=--化为整式方程时,方程两边应同乘( ).
A .()()2642y y --
B .()23y -
C .()()423y y --
D .()()232y y --
8.方程
14233
x x x -+=--的解是( ) A .0
B .2
C .3
D .无解
二.填空题
9.2
3
-=______,=--3)5
1
(______.
10.当x ______时,分式121
-+x x 有意义.
11.当x ______时,分式1
22
+-x 的值为正.
12.2
232)()(y
x y x -÷=______.
13.2
32])[(x y -=______.
14.写出下列分式中的未知的分子或分母:
(1)22
18324()
m n m
mn =;(2)2()a b ab a b -=;(3)22()x xy x y x --=. 15.分式方程1
7
12112-=-++x x x 若要化为整式方程,在方程两边同乘的最简公分母是______. 16.方程
256
x x x x -=--的解是______. 三.解答题
17.计算23
12212422a a a a ????+÷- ? ?---+????
;
(2)222244244x x x x x x x +-++++.
18.已知1x =2111
242
x x x +-+--. 19. 已知
345x y z ==,求23x y x y z
+-+的值. 20.在“情系海啸”捐款活动中,某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计,得到如下三条信
息:
信息一:甲班共捐款300元,乙班共捐款232元.
信息二:乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45
. 信息三:甲班比乙班多2人.
请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元. 【答案与解析】 一.选择题
1. 【答案】C ;
2. 【答案】D ; 【解析】
23322333()x x x
x y x y x y
??==+++.
3. 【答案】A ; 【解析】
()()x y x y x y
x y x y x y
-+---==
---++. 4. 【答案】B ;
【解析】由题意+2=0x 且2
20x x --≠,解得2x =-. 5. 【答案】D ;
【解析】3
7
3
7
37
441()()()a a a a a a a
---÷-=-÷-===
. 6. 【答案】D ; 7. 【答案】D ;
【解析】原方程的最简公分母为()()232y y --.
8. 【答案】D ;
【解析】解分式方程得3x =,经检验,3x =为原方程的增根.
二.填空题
9. 【答案】11259
-;
; 【解析】3
3
111
()
12515
1125
5--=
=-
=-??- ???
. 10.【答案】12≠
; 11.【答案】1
2
<-;
【解析】要使分式的值为正,需210x +<,解得12
x <-. 12.【答案】4
x y ;
【解析】264324
232()()x x x y x y y y y x
-÷=?=.
13.【答案】12
6y x
;
【解析】2212
3266[()]()y y y x x x
-=-=.
14.【答案】(1)4n (2)2
a a
b - (3)x 15.【答案】2
1x -;
16.【答案】10x =;
【解析】去分母得,()()()625x x x x -=--,化简得:10x =,经检验,10x =是
原方程的根.
三.解答题 17.【解析】 解:(1)23
12212422a a a a ????+÷-
? ?---+????
3(2)122(2)2
(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a a ????++-=+÷-????
+-+-+-+-????
3186
(2)(2)(2)(2)a a a a a a ++=
÷+-+-
3(6)(2)(2)
3(2)(2)6
a a a a a a ++-=
=+-+ .
(2)原式2
(4)(2)(2)4222
(2)(2)222
x x x x x x x x x x x x x ++-+-+=+=+=+++++. 18.【解析】 解:原式2111224x x x =
-++--22
(2)(2)144
x x x x --+=+-- 222413
444
x x x --=+=---.
当1x =
=
= 19.【解析】 解: 设
345
x y z
k ===,则3x k =,4y k =,5z k =. 所以
3477
23324351010
x y k k k x y z k k k k ++===-+-?+?.
20.【解析】
解:设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款
4
5
x 元. 根据题意,得
300232
245
x x =+,解这个方程,得5x =. 经检验,5x =是原方程的根.
答:甲班平均每人捐款5元.