分式全章复习与巩固(基础)导学案+习题【含答案】

分式全章复习与巩固(基础)

【学习目标】

1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.

2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则.

3.掌握分式的四则运算.

4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系.

5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、分式的有关概念及性质

1.分式

一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A

B

叫做分式.其中A

叫做分子,B叫做分母.

要点诠释:分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即

当B≠0时,分式A

B

才有意义.

2.分式的基本性质

(M为不等于0的整式).

3.最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简. 要点二、分式的运算

1.约分

利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.

2.通分

利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.

3.基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: (1)加减运算

a b a b c c c

±±= ;同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.

;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.

(2)乘法运算

a c ac

b d bd

?=,其中a b c d 、、、是整式,0bd ≠. 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. (3)除法运算

a c a d ad

b d b

c bc

÷=?=,其中a b c d 、、、是整式,0bcd ≠. 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘.

(4)乘方运算

分式的乘方,把分子、分母分别乘方. 4.零指数

.

5.负整数指数

6.分式的混合运算顺序

先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1.分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.

3.分式方程的增根问题 增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根---增根.

要点诠释:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.

要点四、分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解. 【典型例题】

类型一、分式及其基本性质

1、在m

a y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中,分式的个数是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】C ;

【解析】()2

1131

x x a x x x y m

+++,,,是分式.

【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含

有字母则不是分式.

2、当x 为何值时,分式29

3

x x -+的值为0?

【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值,再检验这个值是否使分母的值等于0,当它使分母的值不等于0时,这个值就是要求的字母的值. 【答案与解析】

解: 要使分式的值为0,必须满足分子等于0且分母不等于0.

由题意,得290,

30.

x x ?-=?+≠? 解得3x =.

∴ 当3x =时,分式29

3

x x -+的值为0.

【总结升华】分式的值为0的条件是:分子为0,且分母不为0,即只有在分式有意义的前提下,才能考虑分式值的情况. 举一反三: 【变式】(1)若分式

的值等于零,则x =_______;

(2)当x ________时,分式

没有意义.

【答案】(1)由24x -=0,得2x =±. 当x =2时x -2=0,所以x =-2; (2)当10x -=,即x =1时,分式没有意义.

类型二、分式运算

3、计算:222

2132(1)441

x x x x x x x -++÷-?++-.

【答案与解析】

解:22

2222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1

x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-?=??++-+--

2

2

(1)(2)(1)x x x +=-

+-. 【总结升华】本题有两处易错:一是不按运算顺序运算,把2

(1)x -和232

1

x x x ++-先约分;

二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1.因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键. 举一反三:

【变式】计算:(1)33

2212b b a a ab ??????-÷-÷ ? ? ??

?????;

(2)2

224222a a a a a a ??

- ?+--??

; (3)6333a

a a a a a

??-÷

?-+-??. 【答案】

解:(1)3

3

22326331122b b b b a a ab a a a b ????????????

-÷-÷=-÷-÷ ? ? ? ? ? ???????

??????

2682

33322b a a b a b a b ????=--=

??????? ; (2)2

2222

44(2)(2)

222(2)22

2a a a a a a a a a

a a a a a a a ??-+--== ?

+--+-+-?? (2)2

a

a a a =

+=+ ; (3)6333a

a a a a a ??-÷

?-+-?? (3)(3)3(3)(3)6a a a a a

a a a +---=

+-

63(3)(3)6a a

a a a

-=

+- 13a =-+.

4、计算:

(1)5

2

31010-??; (2)1341

39m np mn p ----÷;

(3)2

2

2

23a a b b ??-??÷

? ?????

;(4)1322233

(3)(2)(3)mn m n m n ----÷ .

【思路点拨】(1)题和(2)题只有乘除运算,按幂的乘法和除法法则进行计算;(3)题中出现了分式,可先将每一个分式转化为整数指数幂,然后再用法则计算;(4)题中出现了整数幂的乘法、除法、乘方计算;先算乘方,再算乘除. 【答案与解析】 解:(1)原式52

3313

310

3103101000

-+-=?=?=?

=; (2)原式5

11

1(4)

3(1)

25222

1(39)33n m n

p

m n p m p ---------=÷==

; (3)原式2422

22244994a a a b b b b a

=÷=

242222999

444a b a a

--+-=

== ; (4)原式333244333(2)(3)m n m n m n ---=-÷

32434334(3)44

43236363m m n m n n

+-------?=

=-=- . 【总结升华】(1)整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示.如:(4)题中的结

果得到4

4

36m n --后,还要化为4

4

36m n -.(2)进行混合运算时特别要注意运算顺序.

类型三、分式方程的解法

【高清课堂 分式全章复习与巩固 例6(1)】

5、解方程

23

222

x x x -=+- 【答案与解析】 解:

23

222

x x x -=+- 方程两边同乘以()()22x x -+,得 ()()()()2232222x x x x x --+=+- 72x =

27

x =

检验: 当2

7

x =时,最简公分母()()22x x -+≠0, ∴2

7

x =

是原方程的解. 【总结升华】分式方程一定要记得检验. 举一反三:

【变式】

()123

1244

x x x -=---,

【答案】

解: 方程两边同乘以()24x -,得

()()

12422332

x x x =---=-

检验:当3

2

x =-时,最简公分母()240x -≠, ∴3

2

x =-

是原方程的解. 类型四、分式方程的应用

6、某质检部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查,测得甲厂有合格的产品48件,乙厂有合格的产品45件,甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%,问甲厂的合格率是多少?

【思路点拨】本题可间接设出甲、乙两厂分别抽取的产品件数,利用“甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%列出等式. 【答案与解析】

解:设质检部门抽取了x 件进行检测,则:

48455%x x

-=. 解方程得:x =60. ∴ 甲厂的合格率是:

48

100%80%60

?=. 答:甲厂的合格率是80%.

【总结升华】本题若直接设未知数,解题过程非常繁琐,间接设未知数较方便. 举一反三:

【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上,并且小明上学要路过王老师家,小明到王老师家的路程为3 km ,王老师家到学校的路程为0.5 km ,由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线,为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20 min ,王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少? 【答案】

解:设王老师步行的速度为x km/h ,则他骑自行车的速度为3x km/h .

根据题意得:

230.50.520

360

x x ?+=+.

解得:5x =.

经检验5x =是原方程的根且符合题意. 当5x =时,315x =.

答:王老师步行的速度为5km/h ,他骑自行车的速度为15km/h .

【巩固练习】 一.选择题

1.下列变形从左到右一定正确的是( ).

A.2

2--=b a b a B.bc ac b a = C.

b

a bx ax = D.22b

a b a = 2.把分式

y

x x

+2中的x y 、都扩大3倍,则分式的值( ). A.扩大3倍

B.扩大6倍

C.缩小为原来的

3

1

D.不变

3.下列各式中,正确的是( ). A.

y x y

x y x y x +-=

--+- B.

y x y

x y x y x ---=

--+- C.y

x y

x y x y x -+=

--+- D.

y

x y

x y x y x ++-=

--+- 4.式子

22

2

x x x +--的值为0,那么x 的值是( )

A .2

B .-2

C .±2

D .不存在

5.下列计算中正确的是( ). A.()0

11-=-

B.()

1

11--=

C.3

3212a a

=

-

D.4

7

3

1)()(a a a =

-÷- 6.下列分式中,最简分式是( ).

A.2

1521y xy

B.y x y x +-2

2

C.222x xy y x y

-+-

D.y x y x -+22

7.将分式方程

2514326242y y

y y

+-+=--化为整式方程时,方程两边应同乘( ).

A .()()2642y y --

B .()23y -

C .()()423y y --

D .()()232y y --

8.方程

14233

x x x -+=--的解是( ) A .0

B .2

C .3

D .无解

二.填空题

9.2

3

-=______,=--3)5

1

(______.

10.当x ______时,分式121

-+x x 有意义.

11.当x ______时,分式1

22

+-x 的值为正.

12.2

232)()(y

x y x -÷=______.

13.2

32])[(x y -=______.

14.写出下列分式中的未知的分子或分母:

(1)22

18324()

m n m

mn =;(2)2()a b ab a b -=;(3)22()x xy x y x --=. 15.分式方程1

7

12112-=-++x x x 若要化为整式方程,在方程两边同乘的最简公分母是______. 16.方程

256

x x x x -=--的解是______. 三.解答题

17.计算23

12212422a a a a ????+÷- ? ?---+????

(2)222244244x x x x x x x +-++++.

18.已知1x =2111

242

x x x +-+--. 19. 已知

345x y z ==,求23x y x y z

+-+的值. 20.在“情系海啸”捐款活动中,某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计,得到如下三条信

息:

信息一:甲班共捐款300元,乙班共捐款232元.

信息二:乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45

. 信息三:甲班比乙班多2人.

请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元. 【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】C ;

2. 【答案】D ; 【解析】

23322333()x x x

x y x y x y

??==+++.

3. 【答案】A ; 【解析】

()()x y x y x y

x y x y x y

-+---==

---++. 4. 【答案】B ;

【解析】由题意+2=0x 且2

20x x --≠,解得2x =-. 5. 【答案】D ;

【解析】3

7

3

7

37

441()()()a a a a a a a

---÷-=-÷-===

. 6. 【答案】D ; 7. 【答案】D ;

【解析】原方程的最简公分母为()()232y y --.

8. 【答案】D ;

【解析】解分式方程得3x =,经检验,3x =为原方程的增根.

二.填空题

9. 【答案】11259

-;

; 【解析】3

3

111

()

12515

1125

5--=

=-

=-??- ???

. 10.【答案】12≠

; 11.【答案】1

2

<-;

【解析】要使分式的值为正,需210x +<,解得12

x <-. 12.【答案】4

x y ;

【解析】264324

232()()x x x y x y y y y x

-÷=?=.

13.【答案】12

6y x

【解析】2212

3266[()]()y y y x x x

-=-=.

14.【答案】(1)4n (2)2

a a

b - (3)x 15.【答案】2

1x -;

16.【答案】10x =;

【解析】去分母得,()()()625x x x x -=--,化简得:10x =,经检验,10x =是

原方程的根.

三.解答题 17.【解析】 解:(1)23

12212422a a a a ????+÷-

? ?---+????

3(2)122(2)2

(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a a ????++-=+÷-????

+-+-+-+-????

3186

(2)(2)(2)(2)a a a a a a ++=

÷+-+-

3(6)(2)(2)

3(2)(2)6

a a a a a a ++-=

=+-+ .

(2)原式2

(4)(2)(2)4222

(2)(2)222

x x x x x x x x x x x x x ++-+-+=+=+=+++++. 18.【解析】 解:原式2111224x x x =

-++--22

(2)(2)144

x x x x --+=+-- 222413

444

x x x --=+=---.

当1x =

=

= 19.【解析】 解: 设

345

x y z

k ===,则3x k =,4y k =,5z k =. 所以

3477

23324351010

x y k k k x y z k k k k ++===-+-?+?.

20.【解析】

解:设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款

4

5

x 元. 根据题意,得

300232

245

x x =+,解这个方程,得5x =. 经检验,5x =是原方程的根.

答:甲班平均每人捐款5元.

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