青海省平安县第一高级中学2015-2016学年高中数学 2.1.2 指数函数及其性质导学案 新人教A版必修1

2.1.2指数函数及其性质

班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________

课前预习· 预习案

【温馨寄语】

你聪颖，你善良，你活泼。有时你也幻想，有时你也默然，在默然中沉思，在幻想中寻觅。小小的你会长大，小小的你会成熟，愿你更坚强!愿你更自信!

【学习目标】

1．理解指数函数的概念和意义.

2．能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象.

3．探究并理解指数函数的单调性与特殊点，初步掌握指数函数的性质.

【学习重点】

1．指数函数的概念和性质

2．指数函数性质的应用

【学习难点】

1．用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质

2．指数函数性质的应用

【自主学习】

1．指数函数的图象与性质

2．指数函数的定义

(1)解析

式：

.

(2)自变

量：

.

【预习评价】

1．下列各函数中，是指数函数的是

A. B.

C. D. 2．函数的定义域是

A. B. C. D.

3．已知，且，则

.

4．若指数函数的图象经过点(2，4)，则函数的解析式

为 .

知识拓展· 探究案

【合作探究】

1．指数函数的解析式

根据指数函数的解析式，完成下列填空，并明确解析式具有的三个结构特征：

(1)特征1：底数为大于0且不等于1的，不含有自变量.

(2)特征2：自变量的位置在，且的系数

是 .

(3)特征3：的系数是 . 2．利用指数函数的单调性比较大小问题

观察指数函数(，且)图象的走势和特征，回答下列问题：

(l)请根据图象填空：(填“>”“=”“<”中的任一个)

①当时，若，则____.

②当时，若，则____.

(2)结合上图思考，当与满足什么条件时，成立？

3．指数函数的图象与性质

在同一坐标系内画出函数和的图象，并说出函数图象从左到右的变化趋势.

4．指数函数的图象与性质

在函数和的图象的基础上，再画出函数和的图象，观察所画出的两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征，回答下列问题：

(1)函数和的图象从左到右的变化趋势是怎样的？

(2)函数和的图象间有什么关系？和呢？

(3)观察所画出的四个函数的图象，请说出指数函数图象的大致走势有几种？主要取决于什么？

(4)对于指数函数(，且)，当底数的取值越来越大时，图象在第一象限内的位置关系有什么特点？

5．在函数和的图象的基础上，观察所画的四个指数函数图象的特点并结合下面的提示，完成下面的填空.

(1)这四个指数函数图象均过点，定义域、值域分别

为， .

(2)当时，是函数，当时是函数(填“增”或“减”).

6．指数函数的解析式

观察指数函数的解析式及底数的取值范围，思考下列问题：

(1)请你根据所尝过的知识思考指数函数解析式中的底数能否等于0或小于0？

(2)你知道解析式中的取值不可以为1的原因吗？

7．简单的指数不等式

结合指数函数的单调性，思考若，则与同解吗? 【教师点拨】

1．指数函数值的变化规律

(1)当时，若，则；若，则.

(2)当时，若，则；若，则.

2．对指数函数图象与性质的三点说明

(1)定点：所有指数函数的图象均过定点(0，1).

(2)对称性：底数互为倒数的指数函数图象关于轴对称.

(3)图象随底数的变化规律：

无论指数函数的底数如何变化，指数函数的图象与直线相交于点(1，)，由图象可知：在轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.可概括记为，在第一象限内，底数自下而上依次增大.

3．对指数函数解析式的两点说明

(1)定义中所说的形如(且)的形式一般来说是不可改变的，否则就不是指数函数.

(2)解析式中底数的取值范围为且，其他的范围都是不可以的.

4．解简单指数不等式的关键及注意事项

(1)关键：解指数不等式的关键是将指数不等武转化为一元一次不等式.

(2)注意事项：当底数含字母时，要注意对底数分为大于1和大于0且小于1两种情况讨论.

5．利用指数函数的单调性比较两指数式大小的两点说明

(1)当两个数的底数相同或能够化成底数相同时，可以构造指数函数，利用指数函数的单调性进行判断.

(2)当底数不确定时需分类讨论，如比较与的大小，需分和

两种情况比较大小.

【交流展示】

1．下列函数中是指数函数的是 .

(1). (2).

(3). (4)(且).

2．已知函数是指数函数，求的取值范围.

3．已知(，为常数)的图象经过点(2，1)，则的值域为A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.

4．函数的定义域是

A.(0，+∞)

B.[0，+∞)

C.(1，+∞)

D.[1，+∞)

5．设，,，则，，的大小关系是

A. B. C. D.

6．比较与且)的大小，

7．已知函数是定义在上的奇函数，则的值域是 .

8．设函数(且)是定义域为的奇函数.

(1)求的值.

(2)若，且在[1，+∞)上的最小值为-2，求的值.

【学习小结】

1．判断一个函数是否是指数函数的方法

(1)看形式：判断一个函数是否是指数函数，关键看解析式是否符合(，

)这一结构形式.

(2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数.

2．已知某函数是指数函数求参数值的策略

(1)列：根据底数大于0且不等于1，的系数等于1且指数位置自变量的系数也为1，列出方程(组)或不等式(组).

(2)解：解所列的方程(组)或不等式(组)，求出参数的值.

3．比较幂值大小的三种类型及处理方法

4．形如型的指数不等式的解题方法

(1)若与l的大小关系确定时，可直接利用指数函数的单调性进行求解.

(2)若与1的大小关系不确定时，需对底数分和两种情况求解，即等价于

5．非同底的简单指数不等式的解法

(l)形如的不等式，注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解.

(2)形如的不等式，可借助图象求解，也可转化为来解.

提醒：指数不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式. 6．判定函数奇偶性要注意的问题

(l)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数.

(2)正确利用变形技巧：耐心分析和的关系，必要时可利用

判定.

(3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，进行快速判定.

【当堂检测】

1．图中曲线，，，分别是指数函数，，，的图象，则，，，与1之间的大小关系是

A. B.

C. D.

2．函数的图象必经过点

A. B. C. D.

3．若函数是指数函数，则a的取值范围是

A. B.

C. D.

4．关于下列说法：

(1)若函数的定义域是，则它的值域是；

(2)若函数的定义域是，则它的值域是；

(3)若函数的值域的，则它的定义域一定是. 其中不正确的说法的序号是_____________.

5．函数的值域是

A. B. C. D.R

2.1.2指数函数及其性质

详细答案

课前预习· 预习案【自主学习】

1．R (0，＋∞)(0，1) 增函数减函数

2．(1)y＝a x(a＞0，且a≠1)(2)x

【预习评价】

1．D

2．A

3．1

4．f(x)＝2x

知识拓展· 探究案【合作探究】

1．(1)常数(2)指数上 1 (3)1

2．(1)①＞(2)＜

(2)当a＞1，x＞0或0＜a＜1，x＜0时，a x＞1. 3．(1)列表

描点画图

(2)图象的变化趋势：这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.

4．图象如图所示：

(1)这两个函数的图象从左到右是下降的.

(2)函数y＝2x和的图象关于y轴对称.同样函数y＝3x和的图象也关于y 轴对称.

(3)指数函数图象的大致走势有两种，一种是从左到右图象是下降的，而另一种恰好相反.图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系.

(4)底数a的取值越大时，函数的图象在第一象限越靠近于y轴；反之底数a的取值越小，函数的图象在第一象限越靠近于x轴.

5．(1)(0，1) R (0，＋∞) (2)增减

6．(1)不能.因为当a＜0时，a x不一定有意义，如(－2)x；当a＝0时，0x不一定有意义，如00，0－2，故a的取值范围不能小于或等于0.

(2)原因是当a＝1时，y＝1x＝1是常数函数，没有研究的价值.

7．因为a＞1，所以y＝a x在R上是增函数.又a f(x)＞a g(x)，

所以f(x)＞g(x)，

因此a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解.

【交流展示】

1．(1)(2)(4)

2．由题意知y＝(a＋1)2x＝[(a＋1)2]x是指数函数，则(a＋1)2＞0且(a＋1)2≠1.所以a≠－2且a≠0且a≠－1.

3．C

4．B

5．D

6．(1)当1－2b＞1，即b＜0时，y＝(1－2b)x递增.

所以(1－2b)3.4＜(1－2b)3.5.

(2)当0＜1－2b＜1，即时，y＝(1－2b)x递减，

所以(1－2b)3.4＞(1－2b)3.5.综上所述，当b＜0时，(1－2b)3.4＜(1－2b)3.5；当时，(1－2b)3.4＞(1－2b)3.5.

7．

8．(1)由题意知，对任意x∈R，f(－x)＝－f(x)，

艮a－x－(k－1)a x＝－a x(k－1)a－x，

即(k－1)(a x＋a－x)－(a x＋a－x)＝0，(k－2)(a x＋a－x)＝0，

因为x为任意实数，所以k＝2.

(2)由(1)知f(x)＝a x－a－x，因为，

所以，解得a＝2.

故f(x)＝2x－2－x，g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)，

令t＝2x－2－x，则22x＋2－2x＝t2＋2，

由x∈[1，＋∞)，得，

所以g(x)＝h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2，.

当时，h(t)在上是增函数，则，，解得(舍去).

当时，则f(m)＝－2，2－m2＝－2，解得m＝2或m＝－2(舍去).

综上，m的值是2.

【当堂检测】

1．D

2．C

【解析】当x－2＝0，即x＝2时，，

∴函数(a＞0，且a≠1)的图象必经过点(2，2).

3．B

【解析】由题意得2a－3＞0，且2a－3≠1，所以，且a≠2.

4．(1)(2)(3)

【解析】解答本题一方面要注意利用函数的单调性由定义域求值域，由值域求定义域；另一方面要注意结合函数的图象，弄清楚函数值与自变量的关系.

(1)不正确.由x≤0得，值域是{y|0＜y≤1}.

(2)不正确.由x≥2得，值域是.

(3)不正确.由得x≤2，所以若函数的值域是{y｜0＜y≤4}，则它的定义域一定是{x|x≤2}.

5．A

【解析】本题考查指数函数的性质与最值.因为，所以，所以.即的值域是.选A.