广东省江门市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析(数理化网)

2017年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩?R N=（）

A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}

2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）

A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4

3．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）A．2 B．4 C．8 D．12

4．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）

A．B．C．D．

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）

A．2 B．4+2C．4+4D．6+4

6．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）

A．3 B．4 C．3或D．3或4

8．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3

9．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD 的体积V=（）

A．2 B．2 C．4 D．4

10．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线

11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值

域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．4

12．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．偶函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（1）=0，不等式f（x）＞0的解集为．

14．正项数列{a n}满足a1=，a1+a2+…+a n=2a n a n

，则通项a n=．

+1

15．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为．

16．若向量、满足|+|=2，|﹣|=3，则||?||的取值范围是．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积

S=?．

（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若b +c=5，a=

，求△ABC 的面积的大小．

18．（12分）为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取20处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）： 147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 154 159 189 168 169 （Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；

（Ⅱ）

现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为[165，175）路段安装智能交通信号灯

的数量为随机变量X （单位：盏），试求随机变量X 的分布列与数学期望E （X ）．

19．（12分）如图，多面体EF ﹣ABCD 中，ABCD 是正方形，AC 、BD 相交于O ，EF ∥AC ，点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；

（Ⅱ）若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．

20．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax，a是常数．

（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；

（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．

21．（12分）椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC 是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同．已知曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，

直线l的参数方程为（t为参数）．

（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C上到直线l的距离为d的点的个数为f（d），求f（d）的解析式．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a+1|（a＞0是常数）．

（Ⅰ）证明：f（x）≥1；

（Ⅱ）若f（3）＜，求a的取值范围．

2017年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩?R N=（）

A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】先求出N，从而得到C R N，由此能求出M∩?R N．

【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，

N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，

∴C R N={x|﹣1＜x＜2}，

∴M∩?R N={0，1}．

故选：D．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．

2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（）

A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：∵（2a+i）（1﹣2i）=2a+2+（1﹣4a）i是纯虚数，

∴，解得a=﹣1．

故选：B．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（）

A．2 B．4 C．8 D．12

【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．

【分析】根据题意，可得a+b=20，①以及（a﹣10）2+（b﹣10）2=8，②；解可得a、b的值，计算可得|a﹣b|的值，即可得答案．

【解答】解：一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，

则有a+b+9+10+11=50，即a+b=20，①

[（a﹣10）2+（b﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2]=2，

即（a﹣10）2+（b﹣10）2=8，②

联立①、②可得：或，

则|a﹣b|=4；

故选：B．

【点评】本题考查数据方差、平均数的计算，关键是求出a、b的值．

4．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型．

【分析】由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和球的体积可得．【解答】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积23=8，

满足OM≤1的基本事件为O为球心1为半径的球内部在正方体中的部分，其体

积为V=π×13=π，

故概率P==．

故选：A．

【点评】本题考查几何概型，涉及正方体和球的体积公式，属基础题．

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（）

A．2 B．4+2C．4+4D．6+4

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．

【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直

角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，

∴几何体的表面积S==6+4，

故选：D．

【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

6．等差数列中{a n}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（）A．充要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由a1，a2，a5成等比数列，可得：=a1?a5，（2+d）2=2×（2+4d），解得d，即可判断出结论．

【解答】解：由a1，a2，a5成等比数列，可得：=a1?a5，∴（2+d）2=2×（2+4d），解得d=0或4．

∴“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的充分不必要条件．

故选：B．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）

A．3 B．4 C．3或D．3或4

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，求出P，Q的坐标，得出答案．

【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，

∴|PF|=x1+1=2，|QF|=x2+1=5．

∴x1=1，x2=4．

∴P（1，±2），Q（4，±4），

∴|PQ|==或=3

故选：C．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．

8．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3

【考点】二项式系数的性质．

【分析】根据题意求出（x﹣）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2+a）

（x﹣）10的展开式中x6的系数，列出方程求出a的值．

【解答】解：（x﹣）10展开式的通项公式为：

T r

=?x10﹣r?=（﹣1）r??x10﹣2r；

+1

令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为﹣=﹣120；

令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为=45；

所以（x2+a）（x﹣）10的展开式中x6的系数为：﹣120+45a=﹣30，

解得a=2．

故选：C．

【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题．

9．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD 的体积V=（）

A．2 B．2 C．4 D．4

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由题意画出图形，通过分割补形，求出B到底面ACD的距离，代入体积公式求解．

【解答】解：如图，

在AC上取E，使AE=2，在AD上取F，使AF=2，连接BE、BF、EF，

则四面体B﹣AEF为正四面体，过B作BO⊥平面AEF，垂足为O，

连接AO并延长，交EF于G，则AG=，AO=，

∴BO=．

=．

∴．

故选：A．

【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．

10．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线

【考点】抛物线的定义；双曲线的标准方程．

【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．

【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）

空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）

那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即

=

两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）

过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a

分别代入所得式子

z=0时

代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线

z=a时

代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线

故选D

【点评】本题主要考查了双曲线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．

11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[，]的值

域是[﹣，]，则常数ω所有可能的值的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．4

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，

将内层函数看作整体，求出其范围，根据值域是[﹣，]，建立关系，讨论常数ω所有可能的值．

【解答】解：函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx，

化简可得：f（x）==sin（2ωx+），

∵x∈[，]，f（x）∈[，]，

∴﹣1≤sin（2ωx+）≤0，

则，

而T=，

那么：，即．

sin（2ωx+）=0的结果必然是或．

当时，解得ω=满足题意．

当x=时，解得ω=满足题意．

∴常数ω所有可能的值的个数为2．

故选C：

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

12．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】由对称性可得（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，代入可得f（x）的解析式，设出切点（m，n），求出f（x）的导数，可得切线的斜率和方程，代入点（1，t），化简整理可得t+3=3m2﹣2m3，

由g（m）=3m2﹣2m3，求出导数和单调区间、极值，由题意可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，则t+3＞1或t+3＜0，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，设（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，

可得﹣y=（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2，即为y=f（x）=（x﹣1）3+3（1﹣x）2﹣2，设切点为（m，n），则n=（m﹣1）3+3（1﹣m）2﹣2，

f（x）的导数为f′（x）=3（x﹣1）2+6（x﹣1）=3（x2﹣1），

可得切线的方程为y﹣n=3（m2﹣1）（x﹣m），

代入点（1，t），可得t﹣n=3（m2﹣1）（1﹣m），

化简可得t+3=3m2﹣2m3，

由g（m）=3m2﹣2m3，

g′（m）=6m﹣6m2=6m（1﹣m），

当0＜m＜1时，g′（m）＞0，g（m）递增；当m＜0或m＞1时，g′（m）＜0，g（m）递减．

则g（m）在m=0处取得极小值0，在m=1处取得极大值1，

由过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，

可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，

则t+3＞1或t+3＜0，

解得t＞﹣2或t＜﹣3．

故选：C．

【点评】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查转化思想的运用，以及化简整理能力，属于中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．偶函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（1）=0，不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性，原不等式f（x）＞0可以转化

为|x|＜1且x≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，对于函数f（x），f（1）=0，则f（x）＞0?f（x）＞f （1），

又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＞f（1）?f（|x|）＞f（1），

函数f（x）在（0，+∞）单调递减，则f（|x|）＞f（1）?|x|＜1且x≠0，

综合可得：f（x）＞0?|x|＜1且x≠0，

解可得﹣1＜x＜1且x≠0，

即不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）；

故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）．

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，关键是综合运用函数的奇偶性与单调性分析，得到关于x的不等式．

14．正项数列{a n}满足a1=，a1+a2+…+a n=2a n a n

+1

，则通项a n=．

【考点】数列递推式．

【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}的奇数项与偶数项均为等差数列且公差

都为．分类写出通项公式得答案．

【解答】解：由a1+a2+…+a n=2a n a n+1，得S n=2a n a n+1，

当n≥2时，S n

﹣1=2a n

﹣1

a n，两式相减得a n=2a n（a n

+1

﹣a n

﹣1

），

即，

又a1=，a1+a2+…+a n=2a n a n+1，得．

∴数列{a n}的奇数项与偶数项均为等差数列且公差都为．

则当n为奇数时，，

当n为偶数时，．

∴．

故答案为：．

【点评】本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式

的求法，是中档题．

15．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为0.488．

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】利用使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，可得正态分布的对称轴为ξ=6，9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2．求出9年内部件不能正常工作的概率，即可求出该部件能正常工作的时间超过9年的概率．【解答】解：∵使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，

∴P（0＜ξ＜3）=P（ξ＞9）=0.2，

∴正态分布的对称轴为ξ=6，

∴9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2．

∴9年内部件不能正常工作的概率为0.83=0.512，

∴该部件能正常工作的时间超过9年的概率为1﹣0.512=0.488．

故答案为：0.488．

【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布、对立事件的概率，属于中档题．

16．若向量、满足|+|=2，|﹣|=3，则||?||的取值范围是[0，，] ．【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】设向量、的夹角为θ，由数量积的计算公式可得?=﹣，分析可得

180°≥θ＞90°，由﹣1≤cosθ＜0，且?=||?||cosθ=﹣，得出||?||的取值范围．

【解答】解：设向量、的夹角为θ，

对于向量、有：|+|=2①，|﹣|=3②，

①2﹣②2可得：4?=﹣5，即?=﹣，

则向量、的夹角θ满足180°≥θ≥0°，

则有﹣1≤cosθ≤1，

?=||?||cosθ=﹣，

∴||?||=，

因为||?||≥0，所以0≤cosθ≤1，

∴0≤||?||≤．

故答案为：[0，]

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算问题，掌握数量积与夹角公式是解题的关键．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）（2017?江门一模）△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、

c，△ABC的面积S=?．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若b+c=5，a=，求△ABC的面积的大小．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积的运算，三角形面积公式可求tanA=，结合范围A∈（0，π），可得A的值，

（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求bc=6，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）∵S=?=bccosA，…2分

又∵S=bcsinA，可得：tanA=，…4分

∴由A∈（0，π），可得：A=…6分

（Ⅱ）∵由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=b2+c2﹣bc，…8分

∴可得：（b+c）2﹣3bc=7，…9分

∴由b+c=5，可得：bc=6，…11分

∴△ABC的面积S=bcsinA=…12分

【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形面积公式，余弦定理，

三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18．（12分）（2017?江门一模）为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取20处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）：

147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 154 159 189 168 169 （Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；

（Ⅱ）现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为[165，175）路段安装智能交通信号灯

的数量为随机变量X （单位：盏），试求随机变量X 的分布列与数学期望E （X ）．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（I ）利用已知数据即可得出；

（II ）用分层抽样的方法抽取7处，即可得出．利用P （X=k ）=

，即可得

出．

【解答】解：（Ⅰ）

…

（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取7处，则通行数量区间为[165，175]， [175，185]，及[185，

195）的路段应分别取4处、2处、1处… 依题意，X 的可能取值为0，1，2 …（7分） 利用P （X=k ）=，可得P （X=0）=，P （X=1）=，P （X=2）=． …（10

分）

∴随机变量X 的分布列为：

EX=0+1×+2×=．…（12分）

【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样方法、超几何分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（12分）（2017?江门一模）如图，多面体EF ﹣ABCD 中，ABCD 是正方形，AC 、BD 相交于O ，EF ∥AC ，点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；

（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，只需证EH⊥BD，AC⊥BD，即可得BD ⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，如图，以H为原点，分别为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H﹣xyz，求出两个面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD…（1分）

∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD…

又正方形ABCD中，AC⊥BD…

∵EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内…

∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，如图，以H为原点，分别为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H﹣xyz…

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH=60°，设正方形ABCD的边长为4a，

则AC=4，AH=，EA=2，EH=…（7分）

各点坐标分别为H（0，0，0），A（，B（﹣

C（﹣3，D（﹣，E（0，0，

…（8分）

易知为平面ABCD的一个法向量，记，

，，

∵EF∥AC，∴…（9分）

设平面DEF的一个法向量为，则⊥，⊥，

即，令z=，则x=0，y=﹣2，

∴，且，…（10分）

∴与的夹角θ为|cosθ|=

平面DEF与平面ABCD所成角α的正弦值为sinα=…（12分）【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．

20．（12分）（2017?江门一模）设函数f（x）=e x﹣ax，a是常数．

（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；

（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，表示出切线方程，求出m的值，从而求出切线方程即可；

（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可．

【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=e x﹣x，f′（x）=e x﹣1 …（1分），

设切点坐标是（m，e m﹣m），

则k=f′（m）=e m﹣1，

故切线方程是：

y﹣（e m﹣m）=（e m﹣1）（x﹣m）…

由0﹣（e m﹣m）=（e m﹣1）（0﹣m），得m=1，