高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
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高中数学必修4第二章平面向量教案(12课时)

本章内容介绍

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全面的了解.)

第1课时

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念

教学目标:

1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、

单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

教具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型:新授课

教学思路:

一、情景设置:

如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否

追到老鼠?(画图)

结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.

分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、

A

B

C

D

有长短的量.

引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?

二、新课学习:

(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量

(二)请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片)

1、数量与向量有何区别?

2、如何表示向量?

3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?

4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?

5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?

6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ,这是它们是不是平行向量?这时各向

量的终点之间有什么关系?

(三)探究学习

1、数量与向量的区别:

数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;

向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.

2.向量的表示方法:

①用有向线段表示;

②用字母a、b

(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:AB ; ④向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作|AB |.

3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别:

(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量

就是相同的向量;

(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是

不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念:

①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. A(起点) B (终点)

a

说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义:

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.

说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.

6、相等向量定义:

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;

(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有

..

向线段的起点无关

.........

7、共线向量与平行向量关系:

平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的

......

起点无关)

......

说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

(四)理解和巩固:

例1 书本86页例1.

例2判断:

(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)

(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)

(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)

(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)

(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量)

(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同)

(7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)

例3下列命题正确的是()

A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都

共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.

例4 如图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相

等的向量.

变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个)

变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?(FE DO CB ,,)

课堂练习:

1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上;

②单位向量都相等;

③任一向量与它的相反向量不相等;

④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB =DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量

AB 、AC 在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥

不正确.如图AC 与BC 共线,虽起点不同,但其终点却相

同.

2.书本88页练习

三、小结 :

1、 描述向量的两个指标:模和方向.

2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、 向量的图示,要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业:

书本88页习题2.1第3、5题

第2课时

§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

教学目标:

1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;

2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力;

3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;

教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

教学难点:理解向量加法的定义.

学 法:

数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移

的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型:新授课

教学思路:

一、设置情景:

1、 复习:向量的定义以及有关概念

强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研

究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提

下,移到任何位置

2、 情景设置:

(1)某人从A 到B ,再从B 按原方向到C ,

则两次的位移和:AC BC AB =+

(2)若上题改为从A 到B ,再从B 按反方向到C ,

则两次的位移和:AC BC AB =+

(3)某车从A 到B ,再从B 改变方向到C ,

则两次的位移和:AC BC AB =+ (4)船速为AB ,水速为BC ,则两速度和:

AC BC AB =+

二、探索研究:

1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. A B C

C A B A B

C A B C

O A B a a a b b b 2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)

如图,已知向量a 、b.在平面内任取一点A ,作AB =a ,BC =b,则向量AC 叫做

a 与b的和,记作a +b,即 a +bAC BC AB =+=,规定: a + 0-= 0 + a

探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;

(2)当向量a 与b 不共线时,a +b 的方向不同向,且|a +b |<|a |+|b |;

(3)当a 与b 同向时,则a +b 、a 、b 同向,

且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时,若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同,且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同,且|a +b|=|b |-|a |.

(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到

n 个向量连加 3.例一、已知向量a 、b ,求作向量a +b

作法:在平面内取一点,作a OA = b AB =,则b a OB +=.

4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中b +a 的结果与a +b 是否相同? 验证结果相同

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)

2)向量加法的交换律:a +b =b +a

5.向量加法的结合律:(a +b ) +c =a + (b +c

) a A B C a +b a +b a a b b a b b aa

证:如图:使a AB =, b BC =, c CD =

则(a +b ) +c =AD CD AC =+,a + (b +c ) =AD BD AB =+

∴(a +b ) +c =a + (b +c )

从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

三、应用举例:

例二(P94—95)略

练习:P95

四、小结

1、向量加法的几何意义;

2、交换律和结合律;

3、注意:|a +b | ≤ |a | + |b |,当且仅当方向相同时取等号.

五、课后作业:

P103第2、3题

六、板书设计(略)

七、备用习题

1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的

速度的大小为h km /4,求水流的速度.

2、一艘船距对岸43km ,以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,

船的实际航程为8km ,求河水的流速.

3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2v ,船

的实际航行的速度的大小为h km /4,方向与水流间的夹角是60?,求1v 和2v .

4、一艘船以5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为2km/h ,则船的实际航行速度大小最大是km/h ,最小是km/h

5、已知两个力F 1,F 2的夹角是直角,且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60?,|F|=10N

求F 1和F 2的大小.

6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

第3课时

§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义

教学目标:

1. 了解相反向量的概念;

2. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;

3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.

教学难点:减法运算时方向的确定.

学 法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量.

教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型:新授课

教学思路:

一、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律: 例:在四边形中,=++BA BA CB . 解:CD AD BA CB BA BA CB =++=++

二、 提出课题:向量的减法

1. 用“相反向量”定义向量的减法

(1) “相反向量”的定义:与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a

(2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0

如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0

(3) 向量减法的定义:向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b 的差.

即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2. 用加法的逆运算定义向量的减法:

向量的减法是向量加法的逆运算:

若b + x = a ,则x 叫做a 与b 的差,记作a - b

3. 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量

∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a

作法:在平面内取一点O ,

A B

D C O a b B a b

a -b

作OA = a , AB = b

则BA = a - b

即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.

注意:1?AB 表示a - b .强调:差向量“箭头”指向被减数

2?用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b )

显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.

4. 探究:

1)如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量,那么所得向量是b - a.

2)若a ∥b , 如何作出a - b ?

三、 例题:

例一、(P 97 例三)已知向量a 、b 、c 、d ,求作向量a -b 、c -d .

解:在平面上取一点O ,作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,

作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d

O A B a B’ b -b b B a + (-b ) a b A B D C A B C b a d c D O a -b A A

B B B’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -b

例二、平行四边形ABCD 中,=AB a ,=AD b ,

用a 、b 表示向量AC 、DB .

解:由平行四边形法则得:

AC = a + b , DB = AD AB - = a -b

变式一:当a , b 满足什么条件时,a +b 与a -b 垂直?(|a | = |b |)

变式二:当a , b 满足什么条件时,|a +b | = |a -b |?(a , b 互相垂直)

变式三:a +b 与a -b 可能是相当向量吗?(不可能,∵

对角线方向不同)

练习:P98

四、 小结:向量减法的定义、作图法|

五、 作业:P103第4、5题

六、 板书设计(略)

七、 备用习题:

1.在△ABC 中, BC =a , CA =b ,则AB 等于( )

A.a +b

B.-a +(-b )

C.a -b

D.b -a

2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点,设OA =a , OB =b , OC =c , OD =d ,则

A.a +b +c +d =0

B.a -b +c -d =0

C.a +b -c -d =0

D.a -b -c +d =0

3.如图,在四边形ABCD 中,根据图示填空:

a +

b = ,b +

c = ,c -

d = ,a +b +c -d = .

4、如图所示,O 是四边形ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确定a 、b 、c 、

d 的方向(用箭头表示),使a +b =AB ,c -d =DC ,并画出b -c 和a +d .

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

第4课时

第3题

§2.3.1 平面向量基本定理

教学目的:

(1)了解平面向量基本定理;

(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;

(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点:平面向量基本定理.

教学难点:平面向量基本定理的理解与应用.

授课类型:新授课

教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程:

一、 复习引入:

1.实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:λa

(1)|λa |=|λ||a |;(2)λ>0时λa 与a 方向相同;λ<0时λa 与a

方向相反;λ=0时λa =0

2.运算定律

结合律:λ(μa )=(λμ)a ;分配律:(λ+μ)a =λa +μa , λ(a +b )=λa +λb

3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使

b =λa .

二、讲解新课: 平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面

内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ11e +λ22e .

探究:

(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;

(2) 基底不惟一,关键是不共线;

(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

(4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量

三、讲解范例:

例1 已知向量1e ,2e 求作向量-2.51e +32e .

例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ,且AB =a

,AD =b ,用a ,b 表示MA ,MB ,MC 和MD

例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ,O 是

任意一点,求证:OA +OB +OC +OD =4OE

例4(1)如图,OA ,OB 不共线,AP =t AB (t ∈R)用OA ,

OB 表示OP .

(2)设OA 、OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且

(1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证:A 、B 、P 三点共线.

例5 已知 a =2e 1-3e 2,b = 2e 1+3e 2,其中e 1,e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的

实数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线.

四、课堂练习:

1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量,则有( )

A.e 1、e 2一定平行

B .e 1、e 2的模相等

C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )

D.若e 1、e 2不共线,则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )

2.已知矢量a = e 1-2e 2,b =2e 1+e 2,其中e 1、e 2不共线,则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系

A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( )

A.3 B .-3 C.0 D.2

4.已知a 、b 不共线,且c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R ),若c 与b 共线,则λ1= .

5.已知λ1>0,λ2>0,e 1、e 2是一组基底,且a =λ1e 1+λ2e 2,则a 与e 1_____,a 与e 2_________(填

共线或不共线).

五、小结(略)

六、课后作业(略):

七、板书设计(略)

八、课后记:

第5课时

§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的:

(1)理解平面向量的坐标的概念;

(2)掌握平面向量的坐标运算;

(3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

教学重点:平面向量的坐标运算

教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

授课类型:新授课

教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程:

一、复习引入:

1.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ11e +λ22e

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;

(2)基底不惟一,关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

(4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量

二、讲解新课:

1.平面向量的坐标表示

如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得

yj xi a +=…………○

1 我们把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作

),(y x a =…………○

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,○

2式叫做向

量的坐标表示.与.a 相等的向量的坐标也为..........),(y x .

特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=.

如图,在直角坐标平面内,以原点O 为起点作a OA =,则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=,则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标;反过来,点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯

一表示.

2.平面向量的坐标运算

(1) 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,

b a -),(2121y y x x --=

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i 、j ,则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=

即b a +),(2121y y x x ++=,同理可得b a -),(2121y y x x --=

(2) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)

(3)若),(y x a =和实数λ,则),(y x a λλλ=.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为i 、j ,则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=,即),(y x a λλλ=

三、讲解范例:

例1 已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),求AB 的坐标.

例2 已知a =(2,1), b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐

标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求点D 的坐标使

这四点构成平行四边形四个顶点.

解:当平行四边形为ABCD 时,由DC AB =得D 1=(2, 2)

当平行四边形为ACDB 时,得D 2=(4, 6),当平行四边形为DACB 时,得D 3=(-6, 0)

例4已知三个力1F (3, 4), 2F (2, -5), 3F (x , y)的合力1F +2F +3F =0,求3F 的

坐标. 解:由题设1F +2F +3F =0 得:(3, 4)+ (2, -5)+(x , y)=(0, 0)

即:???=+-=++054023y x ∴???=-=1

5y x ∴3F (-5,1) 四、课堂练习:

1.若M(3, -2) N(-5, -1) 且 2

1=MP MN , 求P 点的坐标 2.若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则AB -2BC = .

3.已知:四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) , 求证:四边形ABCD

是梯形.

五、小结(略)

六、课后作业(略)

七、板书设计(略)

八、课后记:

第6课时

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示

教学目的:

(1)理解平面向量的坐标的概念;

(2)掌握平面向量的坐标运算;

(3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

教学重点:平面向量的坐标运算

教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型:新授课

教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程:

一、复习引入:

1.平面向量的坐标表示

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面

向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=

把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =

其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标, 特别地,

)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=.

2.平面向量的坐标运算

若),(11y x a =,),(22y x b =,

则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=.

若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=

二、讲解新课:

a ∥

b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

设a =(x 1, y 1) ,b =(x 2, y 2) 其中b ≠a .

由a =λb 得, (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ???==?2

121y y x x λλ 消去λ,x 1y 2-x 2y 1=0 探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y 1, y 2有可能为0, ∵b ≠0 ∴x 2, y 2中至少有

一个不为0

(2)充要条件不能写成2

211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)01221=-=?

y x y x b a λ

三、讲解范例: 例1已知a =(4,2),b =(6, y),且a ∥b ,求y.

例2已知A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断A ,B ,C 三点之间的位置关系.

例3设点P 是线段P 1P 2上的一点, P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1),(x 2,y 2).

(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;

(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.

例4若向量a =(-1,x)与b =(-x , 2)共线且方向相同,求x

解:∵a =(-1,x)与b =(-x , 2) 共线 ∴(-1)32- x ?(-x )=0

∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2

例5 已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量AB 与CD 平行吗?直线

AB 与平行于直线CD 吗?

解:∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1,7-5)=(1,2)

又 ∵232-431=0 ∴AB ∥CD

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) ,AB =(2, 4),234-236 0 ∴AC 与AB 不

平行

∴A ,B ,C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD

四、课堂练习:

1.若a =(2,3),b =(4,-1+y ),且a ∥b ,则y =( )

A.6 B .5 C.7 D.8

2.若A (x ,-1),B (1,3),C (2,5)三点共线,则x 的值为( )

A.-3 B .-1 C.1 D.3

3.若AB =i +2j , DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量).

AB 与DC 共线,则x 、y 的值可能分别为( )

A.1,2 B .2,2 C.3,2 D.2,4

4.已知a =(4,2),b =(6,y ),且a ∥b ,则y = .

5.已知a =(1,2),b =(x ,1),若a +2b 与2a -b 平行,则x 的值为 .

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7),B (3,x),C (2,3),D (4,x ),则x = .

五、小结 (略)

六、课后作业(略)

七、板书设计(略)

八、课后记:

§2.4平面向量的数量积

第7课时

一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目的:

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点:平面向量的数量积定义

教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型:新授课

教 具:多媒体、实物投影仪

内容分析:

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推

导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点:

平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运

算律.

教学过程:

一、复习引入:

1. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使

b =λa .

2.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内

的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a

=λ11e +λ22e

3.平面向量的坐标表示

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向

量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=

把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =

4.平面向量的坐标运算

若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,

),(y x a λλλ=.

若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=

5.a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

6.线段的定比分点及λ

P 1, P 2是直线l 上的两点,P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点,存在实数λ,

使 P P 1=λ2PP ,λ叫做点P 分21P P 所成的比,有三种情况:

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)

7. 定比分点坐标公式:

若点P 1(x 1,y 1) ,P2(x 2,y 2),λ为实数,且P P 1=λ2PP ,则点P 的坐标为(λ

λλλ++++1,12121y y x x ),我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系:

①当λ>0时,P P 1与2PP 同向共线,这时称点P 为21P P 的内分点.

②当λ<0(1-≠λ)时,P P 1与2PP 反向共线,这时称点P 为21P P 的外分点.

9.线段定比分点坐标公式的向量形式:

在平面内任取一点O ,设1OP =a,2OP =b,

可得OP =b a b a λ

λλλλ+++=++1111. 10.力做的功:W = |F |?|s |cos θ,θ是F 与s 的夹角.

二、讲解新课:

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的

夹角.

说明:(1)当θ=0时,a与b同向;

(2)当θ=π时,a与b反向;

(3)当θ=2

π时,a与b垂直,记a⊥b; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0?≤θ≤180?

2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量

|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ?b ,即有a ?b = |a ||b |cos θ,

(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.

?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积,写成a ?b ;今后要学到两个向量的外积a 3b ,而a ?b 是两

个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“2 ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,

也不能用“3”代替.

(3)在实数中,若a ≠0,且a ?b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ?b =0,不能推出

b =0.因为其中cos θ有可能为0.

(4)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab=bc ? a=c .但是a ?b = b ?c

a = c

如右图:a ?b = |a ||b |cos β = |b ||OA|,b ?c = |b ||c |cos α = |b ||OA|

? a ?b = b ?c 但a ≠ c

(5)在实数中,有(a ?b )c = a (b ?c ),但是(a ?b )c ≠ a (b ?c )

显然,这是因为左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,而一般a 与c 不共

线.

3.“投影”的概念:作图

C

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。

数学必修4_第二章_平面向量知识点word版本

数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量:既有大小又有方向的量。 2. 向量的模:向量的大小即向量的模(长度),如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量:长度为0的向量,记为0r ,其方向是任意的,0r 与任意向量平行, 零向量a =0r |a |=0。由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别) (2)单位向量:模为1个单位长度的向量,向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量,如a r 的单位向量为: ||a a e a r r r (3)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定:0r 与任何向量平等, 任意一组平行向量都可以移到同一直线上,由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 (4)相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有:① 零向量的相反向量仍是零向量, ②)(a =a ; ③ ()0a a v v v ; ④若a 、b 是互为相反向量,则 a = b ,b =a ,a +b =0 。

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材P 2-P 5; ②教材P 5练习第1-5题; ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题:已知α角是第三象限角,则2α,2 α 各是第几象限角? 解:α 角属于第三象限, 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 (1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a a a ?== (2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos |||| a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。 (4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= (5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += (6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥? (7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y + (8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等 向量:长度相等且方向相同的向量。 (10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a = 0 ?|a |=0 由于0的方向是任意的, 且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) (11)、单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?| 0a |=1 (12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b (即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率; (2)给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; (4)给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①AC AB //;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. (6) 给出λλ++=1OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 ( 8)给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形;

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章平面向量 16、向量:既有大小,又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量:长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量(共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 17、向量加法运算: ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点:共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质:①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,,则、 18、向量减法运算: ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点,方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时,、 ⑵运算律:①;②;③、 ⑶坐标运算:设,则、 20、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使、 设,,其中,则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时,;当与反向时,;或、③、 ⑶运算律:①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,,则、 若,则,或、设,,则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角,则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷; ⑸(); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式:

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为()。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2.已知=(2,3), b=(-4,7),则在b上的投影为()。 A、B、C、D、 3.设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量=(-1,-1)平移后得 向量为()。 A、(2,3) B、(1,2) C、(3,4) D、(4,7)4.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么ΔABC是()。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5.已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°,则| +b|等于()。 A、B、C、D、 6.已知O、A、B为平面上三点,点C分有向线段所成的比为2,则()。 A、B、 C、D、 7.O是ΔABC所在平面上一点,且满足条件,则点O是ΔABC的()。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8.设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题: (1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是()。 A、1 B、2 C、3 D、4

9.在ΔABC中,A=60°,b=1,,则 等于()。 A、B、C、D、 10.设、b不共线,则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是()。 A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解 C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.). 2,则 =_________ 11.在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=2 12.已知ABCDEF为正六边形,且AC=a,AD=b,则用a,b表示AB为______. 13.有一两岸平行的河流,水速为1,速度为的小船要从河的一边驶向对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。 14.如果向量与b的夹角为θ,那么我们称×b为向量与b的“向 量积”,×b是一个向量,它的长度| ×b|=| ||b|sinθ,如果| |=3, |b|=2, ·b=-2,则| ×b|=______。 三、解答题:(本大题共4小题,满分44分.) 15.已知向量= , 求向量b,使|b|=2| |,并且与b的夹角为 。(10分) 16、已知平面上3个向量、b、的模均为1,它们相互之间的夹角均

高中数学教案全套word

高中数学教案全套word 1.1集合的概念 ................................................ ...... 1 1.2集合的运算 ................................................ ...... 3 1.3含绝对值的不等式的解法 ........................................ 6 1.4一元二次不等式的解法.......................................... 91.5简易逻辑 ................................................ ...... 12 1.6充要条件 ................................................ ...... 15 1.7数学巩固练习.............................................. 18.1函数的概念 ................................................ .... 21.2函数的解析式及定义域 ........................................ 24.3函数的值域 ................................................ .... 28.4函数的奇偶

性................................................. ...2.5函数的单调性.................................................. 37.6反函数 ................................................ ..........1.7二次函数 ................................................ ........2.8指数式与对数式 ................................................ .2.9指数函数与对数函数 .............................................0.1 0函数的图象 ................................................ .....2.11函数的最值 ................................................ .....2.12函数的应用 ................................................ .....1.13数学巩固练习 .. (4) .1数列的有关概念 ................................. 错误!未定义书签。.2等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误!未定义书签。.3等差数列、

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,-1), c =(-1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知,A (2,3),B (-4,5),则与共线的单位向量是 ( ) A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 ( ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2,1), =(1,7), =(5,1),设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点),那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b -a)y -a=0和ax+4by+b=0的方向向量,则 a, b 的值分别可以是 ( ) A 、 -1 ,2 B 、 -2 ,1 C 、 1 ,2 D 、 2,1 6、若向量a =(cos α,sin β),b =(cos α ,sin β ),则a 与b 一定满足 ( ) A 、a 与b 的夹角等于α-β B 、(a +b )⊥(a -b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴,y 轴正方向上的单位向量,j i θθsin 3cos 3+=,i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角,则 等于 ( ) A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤,已知两个向量()θθsin ,cos 1=,()θθcos 2,sin 22-+=OP ,则向量21P P 长度的最大值是 ( ) A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2,0),B(4,0),动点P 在抛物线y 2=-4x 运动,则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

人教版必修四第二章平面向量教案

人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标: 三维目标 1、知识与技能 (1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示; (2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念; 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 (3)通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课,概念与知识点较多,在对学生进行适当的引导之后,应让学生清清楚楚得明白其概念,这是学生进一步获取向量知识的前提;通过学生主动地参与到课堂教学中,提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下,学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较,培养学生认识客观事物的数学本质的能力,并且意识到数学与现实生活是密不可分的,是源于生活,用于生活的。 教学重点:理解向量、相等向量等相关的概念,向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点:难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几何背景及代数意义,因此向量具有数形结合的特征,是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具,在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容,本节课是向量的第一节课,是新知识的一个起点,所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是:概念多,有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中,诸多概念容易混淆,它们之间关系不易理清,这些是学习中的难点。 教法设计:引导启发式教学 学法设计:指导学生自主学习 课时计划:一课时 教具学具:多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度,位移等都是矢量,不同与路程、质量等量,他们具有什么样的共同特征?………(学生讨论作答) 2.你能举出几个具有以上特征的量吗?年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗?(学生思考作答) 3.在数学上,我们把具有这种特征的量称为向量,(教师在黑板上书写课题,然后大屏幕展示课题,学生阅读课本P74) 二、推进新课 1.定义:既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度等。 注意:1?数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又 有大小,不能比较大小(强调)。 2.向量的表示方法: 1?几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段

人教版高中数学_全册教案

第一章空间几何体 第一章课文目录 1.空间几何体的结构 1.空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 知识结构: 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;

半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行,而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形,其余各面 底面是正多边 形,且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:; ④向量的大小――长度称为向量的模,记作||. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行. 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段..... 的起点无关..... . 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的......起点无关)..... . 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B (终点) a

高中数学必修1全套教案

人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大(小)值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1指数(2) §2.1.1指数(3) §2.1.2指数函数及其性质(1) §2.1.2指数函数及其性质(2) §2.2.1对数与对数运算(1) §2.2.1对数与对数运算(2) §2.2.2对数函数及其性质(第一、二课时)

§2.2.2对数函数及其性质(第三课时)§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例(1) §3.2.2函数模型的应用实例(2) §3.2.2函数模型的应用实例(3)

第一章集合与函数概念 一. 课标要求: 本章将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域,并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论,只将集合作为一种语言来学习,要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,从而体会集合语言的简洁性和准确性,发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,使学生了解集合的含义,理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念,这样比较符合学生的认识规律,同时有利于培

高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义

平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ<0时,λa与a反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a(交换律);

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学全套教案(新人教A版)

第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、 教学目标: 1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于360? 角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景,引发学生学习兴趣.(7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境:“转体720? ,逆(顺)时针旋转”,角有大于360? 角、零角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360? ? ~之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1.初中时,我们已学习了0360? ?~角的概念,它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720? ” (即转体2周),“转体1080? ”(即转体3周)等,都是遇到大于360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版93323

高中数学必修4第二章平面向量教案(12课时) 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全面的了解.) 第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标: 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具:多媒体或实物投影仪,尺规 授课类型:新授课 教学思路: 一、情景设置: 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否 追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、 A B C D

人教版高中数学必修二-全册教案

第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的槪括。 三、教学用具 (1) 学法:观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1. 教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体),你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么它们的共同 特点是什么 3. 组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平

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