高等数学知识点

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1

第一章 函数 极限 连续

A 考试大纲要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系。

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5.理解极限的概念，理解左右极限的概念，以及函数极限存在与左右极限之间的关系。

6.掌握极限四则运算法则及极限性质。

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小量，无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性概念（含左右连续），会判断函数间断点类型。

10.了解连续函数性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最

大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 B 知识要点 一、函数 （一）概念

1.函数定义

2.分段函数

3.反函数

4.隐函数

5.复合函数

6.基本初等函数

7.初等函数 考研中常出现的非初等函数

1.用极限表示的函数 （1）lim ()n n f x →∞

（2）lim (,)t x

f t x →

2.积分上限函数 ()x a

y f t dt =?

其中()f t 连续

（二）函数的简单性质

1.有界性：设函数()y f x =在X 内有定义，若存在正数M ，使x X ?∈，都有()f x M ≤,

则称()f x 在X 上有界。

2.单调性：设()f x 在X 上有定义，若对1212x X x X x x ?∈∈<，且，都有12()()

f x f x <（12()()f x f x >），则称()f x 在X 上是单调增加（减少）的。

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2

3.周期性：设()f x 在X 上有定义，如果存在常数0T ≠，使得任意的,x X x T X ≤+∈，

都有()()f x T f x +=，则称()f x 是周期函数。T 称为函数()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。

4.奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对x X ?∈都有()()f x f x -=-，则称()f x 在X

上是奇函数；若对x X ?∈都有()()f x f x -=，则称()f x 在X 上是偶函数。

知道：1.sin ,cos y x y x ==，2T π=；.tan ,cot y x y x ==，T π=。 2.sin 1,cos 1,arctan 2

x x x π

≤≤<。

二、极限

（一）极限概念与性质 1.极限概念 lim n n x a →∞

=

l i m ()x x f x A →= 0

l i m ()x x f x -

→ 0

l i m ()

x x f x +

→ l i m ()x f

x A →∞

= l i m ()x f x →-∞

l i m ()

x f x →+∞

2.极限性质（1）唯一性；（2）局部有界性；（3）局部保号性。

3.极限四则运算法则

设lim (),lim ()f x A g x B ==,则

（1）lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=± （2）lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x AB =?= 推出：lim ()lim ()

cf x c f x c =为常数 l i m ()[l i m (n

n

f

x f x

=

（3）()lim ()lim (0)()

lim ()

f x f x A B

g x g x B

==≠

（二）无穷小与无穷大

1.定义：（1）若lim ()0f x =，则称()f x 为无穷小，注意无穷小与x 的变化过程有关。

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（2）若在自变量x 的变化过程中，对应函数值的绝对值()f x 可无限增大，就称

()f x 为无穷大。

2.关系：（1）在x 的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则

1()

f x 为无穷小；若()f x 为

无穷小（()0f x ≠），则

1()

f x 为无穷大。

（2）lim ()()lim ()0f x A f x A x x αα=?=+=（） 其中 3.无穷小重要性质：有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。 4.无穷小的比较

设lim ()0x α=，lim ()0x β=，且()lim

()

x l x αβ=，

（1）0l =时，称()x α是比()x β较高阶的无穷小，记为()(())x x αοβ=； （2）l =∞时，称()x α是比()x β较低阶的无穷小；

（3）0l ≠时，称()x α与()x β是同价无穷小，特别地，1l =时，称()x α与()x β是等

价无穷小，记为()~()x x αβ。

5.等价无穷小

（1）性质：若~βα，则()βαοα=+；若'~αα，则lim lim 'αβαβ=。 （2）常见的等价无穷小（当0x →时） s i n ~x

x t a n ~x

x a r c s i n ~x x a r c t a n ~x x 1~x

e x - l n (1)~x

x +

1~l n x

a x a - 2

1c o s ~2

x x

- (1)1~x x α

α-- （三）求极限方法

1.利用极限的四则运算法则

2.两个准则： I.单调数列必有极限

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II.夹逼准则 设()()()g x f x h x ≤≤，lim ()lim ()g x A h x A ==若，， lim ()f x A =则 3.两个重要公式：I.0

sin lim

1x x x

→=

II.1

11lim (1),lim (1),lim (1)n

x

u n x u e e u e n

x

→∞

→∞

→+

=+

=+=。

4.利用无穷小性质和等价无穷小代换

5.利用洛必达法则 法则1（

00

）：设（1）lim ()0,lim ()0f x g x ==；

（2）在x 变化过程中，'(),'()'()0f x g x g x ≠都存在，且； （3）'()lim

()'()

f x A

g x =∞ 则()'()lim

lim

()()

'()

f x f x A

g x g x ==∞

法则2.（∞∞

）

七种未定式：0

00100∞

∞∞∞-∞∞∞

，，

，，，，。 6.其它方法

（1）利用导数定义 0000

()()

lim

'()h f x h f x f x h

→+-=

（2）利用泰勒公式（数一、数二） 知道：0x →时 2

1()

2!

!

n

x

n

x

x

e x x

n ο=++

++

+ 3

21

21

sin (1)

()3!

(21)!

n n

n x

x

x x x

n ο++=-

++-++

2

22cos (1)()2!

(2)!

n

n

n

x

x

x x x

n ο=-

++-+

2

1

(1)ln(1)()2n n

n

x

x

x x x n

ο--+=-

++

+

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5

2

(1)

(1)(1)(1)1()

2!

!

n n

n x x x x x n αααααααο---++=++

++

+ （3）利用定积分 10

1

1

lim

()()n

n k k

f f x dx n

n

→∞

==∑?

（4）利用级数 若1

n n u ∞

=∑收敛，则lim 0n n u →∞

=。

三、连续

（一）函数连续概念

1.函数在一点连续：若0

0000

lim ()()lim [()()]0x x x f x f x f x x f x →?→=+?-=或，则称()f x

在0x 处连续。

2.函数()f x 在[,]a b 上连续：如果()f x 在(,)a b 内每一点都连续，则称()f x 在(,)a b 内

连续，同时在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称()f x 在[,]a b 上连续。

（单侧连续用单侧极限定义）。 （二）函数的间断点

1.间断点定义：如果()y f x =在点0x 处不连续，则称0x 为()f x 的间断点。

2.间断点分类：设0x 是()f x 的间断点，

（1）若0(0)f x -和0(0)f x +都存在，则称0x 为第一类间断点，00(0)(0)

f x f x -=+时称为可去间断点，00(0)(0)f x f x -≠+时称为跳跃间断点。

（2）第一间断点以外的间断点为第二间断点。 （三）初等函数的连续性

1.在区间I 上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零）都连续。

2.由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续。

3.在区间I 上连续且单调的函数的反函数在对应区间上仍连续。

4.基本初等函数在定义区间内是连续的。

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5.初等函数在定义区间内都是连续的。 （四）闭区间上连续函数的性质

1.有界性定理：设()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上必有界。

2.最值定理：如果()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在这个区间上一定存在最大值M 和最

小值m 。

3.介值定理：如果()f x 在[,]a b 上连续，其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于

m 和M 之间的任何实数c ，在[,]a b 上至少存在一点ξ，使()f c ξ=。

推论（零点存在定理）：如果()f x 在[,]a b 上连续，且()()f a f b 与异号，则在(,)a b 内

至少存在一点ξ，使()0f ξ=成立。

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第二章 一元函数微分学

A 考试大纲要求

1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分关系，理解导数几何意义，会求平面曲线切线方程和法线方程。了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量。理解函数的可导性与连续性关系。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分四则运算法则和微分形式的不变性，会求微分。 3．了解高阶导数概念，会求简单函数的高阶导数。

4．会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数以及反函数的导数。

5．理解并会用罗尔定理， 拉格朗日中值定理，泰勒中值定理，了解并会用柯西中值定理。

6．掌握洛必达法则求未定式极限方法。

7．理解函数极限的概念，掌握用导数判断函数单调性和求极值的方法，掌握函数最大值、最小值的求法及简单应用。

8．会用导数判定函数图形的凹凸性，会求拐点，水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形。

9．了解曲率、曲率圆、曲率半经概念，会计算曲率和曲率半径。

B 知识要点

§1 导数和微分

一、导数定义：

（1） 0000

()()

'()lim

x f x x f x f x x

?→+?-=?

或0

000

()()

'()lim

x x f x f x f x x x →-=-

（2）单侧导数 0000

()()

'()lim

x f x x f x f x x

-

-?→+?-=? 0000

()()

'()lim x f x x f x f x x

+

+?→+?-=?

二、导数几何意义

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切线方程：000'()()y y f x x x -=- 法线：0001()()'()

y f x x x f x --=

-

特别地 （1）0'()0f x =时 切线：0()y f x = （2）'()f x =∞时 切线：0x x = 三、微分

()y A x x ο?=?+? d y A x =? 'd y y d x = d y y ≈? 四、关系

可微?可导?连续?0

0lim ()()x x f x f x →=

五、导数公式 ()'

0c = 1()'x x ααα-= ()'x x e e = ()'l n x x

a a

a =

1(l n )'x x

= 1(l o g

)

ln x

a x a

=

(s i n )'c o s x x = (c o s

)'s i n

x x =- 2

(t a n )'

s e c x x = 2

(c o t

)'c s c

x x =-

(s e c

)'

s e c t a x x x = (c s c )'c s c

c

o x x x =-

1

(a r c s i n x =

1

(a r c c o s )x =-

2

1

(a r c t a

n )'1x x

=+ 2

1

(a r c c o t )'1x

x

=-+

六、导数运算法则

()''cu cu = ()'''u v u v ±=± ()'''

u v u v

u v =+ 2''

()'u u v uv v v -= 'dy y dx

=

1'

dx dy

y =

[()]y f x ?=

d y d y

d u d x

d u

d x =

? '[()]'()

dy f x x dx

??=

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七、几个n 阶导数公式

()

()

!n

n x n = ()

()

x n x e e = ()()(ln )x n x n

a a a =

()

(sin )sin()2

n x x n π

=+?

()

(cos )

cos()2

n x x n π

=+?

()

1

1(1)!(

)

1

(1)

n

n n n x x +-=

++ 1

()

(1)

(1)!

(ln(1))

(1)

n n n

n x x ---+=

+

八、莱布尼兹公式

()

()

()

()

n

n k n k k n

k uv c

u

v

-==

∑

九、参数方程求导

()()

x t y t ?ψ=??=? '()'()dy dy t dt dx dx t dt ψ?== 2

23

(

)

''()'()'()''()'()d

dy

d y t t t t dt dx dx dx t dt

ψ?ψ??-== §2 中值定理

一、罗尔定理：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在

一点(,)'()0a b f ξξ∈=使 。

二、拉格朗日定理：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则至少存在一点

(,)()()'()(a b f b f a f b a

ξξ∈-=-使。 三、柯西定理：设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且'()0g x ≠，至少存

在一点(,)a b ξ∈，使()()'()()()

'()

f b f a f

g b g a g ξξ-=-。

四、泰勒定理：设()f x 在包含0x 的区间(,)a b 内有直到(1)n +阶的导数，在[,]a b 上有n

阶连续导数，则对(,)x a b ?∈有

()

2

0000000''()()

()()'()()()()()

2!

!

n n

n f x f

x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++

-+

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其中(1)

1

0()

()()

(1)!

n n n f

R x x x n ξ++=

-+，ξ介于x 与0x 之间，或写成

()[(

)]

n n R x x x ο

=-。 § 3 导数应用——利用导数研究函数

一、极值

1.定义：若0δ?>，对00(,)x x x δδ?∈-+有00()()(()())f x f x f x f x ≥≤，则称0x x =

是()f x 的极小（大）值点，0()f x 称为()f x 的极小（大）值，等号仅在0x x =时

成立。极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。

2.极值存在的条件

（1）必要条件：设()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么'()0f x =，0x 称为

()f x 的驻点。

（2）第一充分条件：设()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域内可导：

（i ）若00(,)x x x δ∈-时'()0f x >，而00(,)x x x δ∈+时'()0f x <，则()f x

在0x 处取极大值。

（ii ）若00(,)x x x δ∈-时'()0f x <，而00(,)x x x δ∈+时'()0f x >，则()f x

在0x 处取极小值。

（iii ）若0(,)x U x ο

δ∈时，'()f x 的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值。

二、单调性

1.判别法 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，

（1）若在(,)a b 内'()0f x >，则()f x 在[,]a b 上单调增加； （2）若在(,)a b 内'()0f x <，则()f x 在[,]a b 上单调减少。 2.求函数单调区间步骤：

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（1）写出定义域；

（2）求驻点'()0f x =和可导点；

（3）列表分析 （4）答。

三、曲线凹凸与拐点

1.定义：设()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x 恒有

12

12

()(

)

()(

)

2

2

x x f x f x f ++<>，则称()f x 在I 上的图形是凹（凸）的，

曲线上凹凸改变的点为拐点。

2.判别：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，

（1）若在(,)a b 内''()0f x >，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内''()0f x <，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的。 3.求拐点步骤（凹凸区间） （1）写出定义域D ;

（2）求''0y =及"y 不存在点； （3）列表分析； （4）答。

四、求在[,]a b 上连续函数()f x 的最大（小）值 （1）求'()0f x =及'()f x 不存在点；

（2）计算上述各点处的函数值，计算(),()f a f b ，经比较得m ，M 。 五、渐近线

曲线()

y f x =

1.水平渐近线 若lim (),(,)x f x b x x →∞

=→+∞→-∞，则y b =为一条水平渐近线。

2.铅直渐近线 若lim (),(,)x c

f x x c x c -+

→=∞→→，则x c =为一条铅直渐近线。

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3.斜渐近线 若()lim x f x a x

→∞

=，lim[()]x f x ax b →∞

-=，则y a x b =+

为一条斜渐近线。

六、曲率 k 32

2

''(1')

y k y =

+

曲率半径

1(0)R k k

=

≠

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第三章 一元积分学

A 考试大纲要求

1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分概念。

2．掌握不定积分基本公式，掌握不定积分和定积分性质及定积分中值定理，掌握换元

积分法与分部积分法。

3．会求有理函数，三角函数有理式及简单无理函数积分。 4．理解积分上限函数，会求它的导数 掌握牛顿莱布尼兹公式。 5．了解广义（反常）积分的概念，会计算广义积分。

6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形面积，平面曲红弧长，旋

转体体积及侧面积，平行截面面积，已知立体，功，引力 水压力、质心、形心及函数平均值）。 B 知识要点 一、定义

1.原函数 若'()()F x f x = (,)x a b ∈，则称()F x 在(,)a b 内是()f x 的原函数。

2.不定积分

()()f x d x F x c

=+?

3.

定积

分

1

()l i m (

)n

b i i

a

i f x dx f

x λξ→==

?∑?

()0a

a

f x d x =

? ()()a

b

b

a

f x dx f x dx =-?

?

4.广义积分 ()l i m ()b

a

a

b f x dx f x dx +∞→∞

=?

?

()l i m ()c c a

a

f x dx f x dx ε

ε+-→=?

?

二、性质 1.不定积分

（1）()()kf x dx k f x dx =?? （2）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=

±

??

?

（3）()()d f x dx

f x dx

=?

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（4）'()()f x dx f x c =+? 2.定积分

（1）()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =??

（2）[()()]()()b

b b a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx ±=

±

??

?

（3）()()()b

c b a

a

c

f x dx f x dx f x dx =

+

??

?

（4）若在[,]a b 上()()f x g x ≤，则()()b

b a a

f x dx

g x dx ≤

??

，()()b

b a

a

f x dx f x dx ≤

??

（5）设m ，M 分别为()f x 在[,]a b 上的最小值和最大值，则

()()()b a

m b a f x dx M b a -≤

≤-?

（6）积分中值定理 设()f x [,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使

()()()

b a

f x d x f b a ξ=-

?

，()b a

f x dx b a

-?也称()f x 在[,]a b 上的平均值。

三、积分表

1.0dx c =? 1

2. sec tan sec x xdx x c ?=+? 2.

1

ln

dx x c x =+? 13.

csc cot csc x xdx x c ?=-+? 3.1

(1)1

x

x dx c μμ

μμ+=

+≠-+? 14.

2

2

1

1arctan

x dx c a

x

a

a

=

++?

4.

x

x

e dx e c =+?

15.

arcsin

x c a

=+?

5.

ln x

x

a

a dx c a

=

+? 16.

2

2

1

1ln

2x a dx c x

a

a

x a

-=

+-+?

6.

sin cos xdx x c =-+? 17. tan ln

cos xdx x c =-+?

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15

7. cos sin xdx x c =+? 18. t ln sin co xdx x

c =+?

8.

2sec tan xdx x c =+?

19. sec ln sec tan xdx x x c =++?

9.

2csc cot xdx x c =-+?

20. csc ln csc cot xdx x x c =-+?

10.

2

1

arctan 1dx x c x

=++?

21. ln x c =++?

11.

arcsin x c =+?

22. ln x c =++?

四．积分法 1.第一换元法 ()[()]'()[()]()[()]g x dx f x x dx f x d x F x c ?????==

=+???

2.第二换元法 1

()[()]'()()[()]f x dx f t t dt F t c F x c ???-=

=+=+?

?

()[()]'()

b a

f x d x f t t d

β

α

??=

?

? 3.分布积分法

''uv dx uv u vdx =-??

''b b

b

a

a

a

uv dx uv

u vdx =-?

?

五、牛顿莱布尼兹公式

()()()()b b

a

a

f x d x F x F b F a =

=-?

这里'()()F x f x =

六、积分上限函数

1.设()f x 在[,]a b 上连续，()()x a

x f t dt ?=?

（1）'()()x f x ?=

（2）()x ?是()f x 的一个原函数 2.()()

()()b x a x x f t dt ?=?

'()'()[()]'()[x b x f b x a

x f a

x ?=- 3.()()()()()x x

a

a

x g x f t dt g x f t dt ?=

=?

? '()'()()()(x

a

x g x f t d t

g x f x

?=+?

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16

七、几何量用定积分表示

21[()()]b a

A x x dx ??=

-?

21[()()]d

c

A y y dy ψψ=

-?

22

2

11

[()()]2A d β

α

?θ?θθ=-?

0 A ① ()y f x = a x b ≤≤ b a

S =

?

② ()()

x t t y t ?αβψ=?≤≤?

=? S β

α

=

?

③ ()r r θαθβ=≤≤ S β

α

θ=?

4.平行截面面积()A x ()b a

V A x dx =

?

5.旋转体体积 2

b x a V y d x π=?

2

d

y c

V x d y

π=?

6.旋转体侧面积 ()0

y f x a x b

=≥≤≤ 2(b a

S f x π=

?

侧

八、物理量用定积分表示 1. ()b a

W F x dx =? （功）

2. ()b a

m x dx μ=?

（质量）

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第四章 常微分方程

A 考试大纲要求

1.了解微分方程及阶、解、通解、初始条件和特解的概念。

2.掌握变量可分离方程及一阶线性微分方程的解法。

3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4.会用降阶法解下列方程：()(),"(,')"(,')n y f x y f x y y f y y ===和。

5.理解线性微分方程解的性质和结构。

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.会解自由项为多项式，指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。 8.会解欧拉方程。

9.会用微分方程解一些简单的应用问题。 B 知识要点

一、一阶微分方程 '(,)y f x y = （一）可分离变量的微分方程 1.形如：

()()

(()0)dy P x Q y Q y dx

=≠

2.解法：（1）分离变量

()()

dy P x dx Q y =

（2）积分 通解

()()dy

P x dx c Q y =+??

（二）可化为可分离变量的微分方程——齐次方程 1.形如：

(

)dy y f dx

x = 或

()dx

x

f dy y

= 2.解法：通过换元化为可分离变量的微分方程，令

,y dy u dy u x

x

dx

==+，原方程化为

()du u x

f u dx

+=，注意最后要回代y u x

=

。

（三）一阶线性微分方程

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1.形如：'()()(1)y P x y Q x +=

2.解法：（i ）整理成标准形式（1），确定(),()P x Q x 。

（ii ）公式 通解 ()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx c -??=+?

（四）可化为线性微分方程的方程——伯努利方程 1.形如：

()()(0,1)dy P x y Q x y

dx

α

α+=≠

2.解法：通过换元1z y α-=把原方程化为(1)()(1)()dz P x z Q x dx

αα+-=-。

（五）全微分方程

1.形如：(,)(,)0Q P P x y dx Q x y dy x

y

??+==

??满足

。

2.通解：(,)[(,)](,)(,)u x y c d u x y P x y dx Q x y dy ==+，。

3.(,)u x y 求法

（i ）凑微分法，应记住下列各式。 （1）22

2

x y xdx ydy d

++= （2）()ydx xdy d xy +=

（3）2

()

(0)xdy ydx

y d x x

x -=≠ （4）ln()ydx xdy

d xy xy

+=

（5）

22

2

21[ln()]2xdx ydy d x y x y

+=++ （6）22

(arctan )ydx xdy x d x y y

-=+ （7）

2

2

1(ln )2

ydx xdy x y d x y

x y

--=-+

（ii ）曲线积分法

00(,)00(,)(,)(,)(,)(,)x y x y u x y u x y P x y dx Q x y dy =++?

0000(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y d y =+

+

?

?

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（iii ）不定积分法 （1）由

(,)(,)(,)()u P x y u x y P x y dx c y x

?==

+??得

（2）(,)u x y y 对求偏导，由

(,)(,)[(,)]

'()

u Q x y Q x y P x y d x c y y

y

??==

+???得，求出'()c y 后积分求出()c y 。

二、可降阶的高阶微分方程 "(,,')y f x y y = （一）形如：()()n y f x = 1.特点：右端不显含,'y y 。 2.解法：积分。

（二）形如："(,')y f x y = 1.特点：右端不显含y 。

2.解法：换元降阶 令',"'y p y p ==，原方程为'(,)p f x p = （三）形如："(,')y f y y = 1.特点：右端不显含x 。

2.解法：换元降阶 令',"dp y p y p dy

==，原方程为(,')dp p

f y y dy

=

三、线性微分方程解的性质与结构

设方程（1） "()'()0y p x y q x y ++= 二阶齐次线性微分方程 方程（2）"()'()()y p x y q x y f x ++= 二阶非齐次线性微分方程

1.若12(),()y x y x 为方程（1）的两个特解，则它们的线性组合1122()()y c y x c y x =+仍为同一个方程的解。特别地，当12()()y x y x λ≠（λ为常数）时，即12()()y x y x 与线性无关时，则方程（1）的通解1122()()Y c y x c y x =+。

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2.若*y 是方程（2）的一个特解，Y 是相应的方程（1）的通解，则方程（2）的通解*y Y y =+。

3.若12(),()y x y x 分别是方程1"()'()()y p x y q x y f x ++=与2"()'()()y p x y q x y f x ++= 的特解，则12()()y y x y x =+是方程12"()'()()()y p x y q x y f x f x ++=+的特解。 四、二阶常系数齐次线性微分方程

1.形如："'0,,y py qy p q ++=为常数，称20r pr q ++=为特征方程。

2.解法：（1）写出特征方程；

（2）求特征方程的根12,r r ；

（3）根据12r r 和写出通解。

（i ）121212(0),r x

r x

r r Y c e

c e

≠?>=+时， ；

（ii ）1212(0),()rx

r r r Y c c x e ≠=?==+时，

； （iii ）1,212(0),[cos sin ]x

r i Y e c x c x ααβββ=±?<=+时,

。 3.n 阶常系数齐次微分方程 形如：()

(1)

11'0n n n n y

p y

p y p y --++++=

特征方程 1

110n n n n r p r p r p --++++=

根据根的情况写出通解

（1）若特征方程有n 个不同实根12,,,n r r r ,则方程通解1212n r x

r x

r x

n Y c e

c e

c e

=+++

（2）若0r 是特征方程的k 重根（k n ≤），则方程通解中含有0

1

12()r x k k c c x c x e -+++ 。

（3）若i αβ+是特征方程的k 重共轭复根（2k n ≤），则方程通解中含有

1

1

1212[()cos ()sin ]x

k k k k e

c c x c x

x d d x d x

x αββ--+++++++ 。

五、二阶常系数非齐次线性微分方程 1.形如："'()y py qy f x ++=

2.解法：（1）求相应的齐次线性方程"'0y py qy ++=的通解Y ； （2）求"'()y py qy f x ++=的一个特解*y ；