微积分论文

班11级数学一班姓名：杨利芳学号：1130132

【摘要】微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它

是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微积分、积分学及其应用。微分学包括求导学的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

【关键词】微积分、微分、积分

【正文】微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”是微分；“无

限求和”就是积分。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等

微积分理论的精髓：增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以先行化的方法解决非线性问题。

微积分的基本方法：

微积分的基本原理告诉我们微分和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于化曲为直。

微积分的基本方法在于：先微分，后积分。

下面咱们就一起来研究一下求微积分的具体方法：

一：微分

（一）微分的定义：

若f(x)在x0处的函数改变量△y与自变量的改变量有如下关系：△y=A△x+0（△x）其中A是△x无关的常数，则称f（x）在x0处可A△x称为f'（x）在x0处的微分。

记作dy=A△x或df（x0）=A△X

A△x为△y=A△x+0（△x）的线性主要部分。

△y≈A△X △y≈dy dy= A△X=f'（x）·△x

函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫微商

（二）微分的运算法则：

若函数U(x)与v(x)可微，则：

（1）d[cu(x)]=cdu(x) （2）d[u(x)±v(x)]=du(x )±dv(x) (3)d[u(x )·v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x) (4)d[

)()(x v x u ]=2

)]

([)

()()()(x v x dv x u x du x v - 公式：

例1：求函数y=x 2

sinx 的微分。

解：y '=（2xsinx+x 2

cosx ）dx

（三）高阶微分：

函数y=f '（x ）dx 的微分，称为函数f （x ）的二阶微分，记为d 2

y 。

一般情况，函数f （x ）的n-1阶微分d

1

-n 的微分，称为函数f （x ）的n 阶微分，

记为d n y 。二阶以及二阶以上的微分，统称为高阶微分。

如函数y=f （x ）的各阶微分是: dy=f '（x ）dx

d 2y=d(dy)=d[f '（x ）dx] =])([''dx x f dx=f ''(x)dx 2 ……………… d n y=f )(n (x)dx n

例2：求y=sinax+cosbx 的二阶微分

解：y '=acosx-bsinx

y ''=－(a 2sinax+b 2cosbx)

二：积分

（一）不定积分

1. 定义：设函数f （x ）在I 上的所有原函数F (x)+c,称为f （x ）在I

上的不定积分。

记作：∫f （x ）dx=F (x)+c

其中f （x ）称为被积函数，f （x ）dx 称为被积表达式，c 称为积分常数。

2. 积分运算：{微分运算与积分运算互逆}

3. 不定积分的计算： （一）求不定积分的思想方法：

⑴．直接积分 观察所求积分的形式是否可用积分基本公式直接求解。

例：∫（4x 3

-2x 2

+5x+3）dx ∫2

2

1x x + dx

=4∫x 3

dx-2∫x 2

dx+5∫xdx+3∫dx =∫2

211

1x

x +-+dx =4·

41x 4 -2·31x 3 +5·21x 2

+3x + c =x-arctanx+c = x 4

-32 x 3+2

5 x 2+3x + c =x+arccotx+c

⑵．分部积分

分部积分的原则：

1. 用分部积分公式原则

①化简为繁 ∫vdu 比∫udv 更简单易积分 ②化不可能为可能 用积分公式

2. x k sinax(x k cosax) 令u= x k

x k ㏑x 令u=㏑x x k arctanx(x k arcsinx x k arccosx)

令u= arctanx (arcsinx arccosx) e

ax

cosax(e

ax

sinax) 令u= cosax （sinax ）

x k

e x

令u= x k

例：求（１）∫

21

x

㏑x （２）∫xarctanxdx 解：令ｕ=㏑x 21

x dx=dv 令ｕ=arctanxdx xdx=dv

则 du=x 1dx v= -x 1 du=2

11x +dx v=21x 2

∫21

x

㏑x=∫udv=uv-∫vdu ∫xarctanxdx=∫udv=uv -∫vdu =-x 1㏑x-∫（-x 1）x 1dx =21x 2arctanx -∫(21x 2211x +)dx

=-x 1㏑x -x 1+c =21x 2arctanx -21x +2

1

arctanx+c

⑶．换元积分

Ⅰ ① 第一换元积分法 (也称凑微分法)

设∫f(u)du=f(u)+c,则

∫f[φ(x)] ?'(x)dx=∫f[φ(x)]d φ(x)u x =）

（令? ∫f(u)du = f(u)+c )(x u ?=f[φ(x)]+c

② 第一类换元 （凑微分法） 的思想方法

1.被积函数有一个因式 主要是观察被积函数与积分基本公式中的哪一个公式

的被积函数相似 即所应用的基本积分公式 然后再根据与基本积分公式相似的形式进行凑微分 凑微分的目的是为了应用积分基本公式和性质求积分。

2.被积函数有两个因式时 先由一个因式找到与基本积分公式相似的公式余下一个因式与dx 结合凑微分 进而可由积分基本公式求出结果.

例：（1）求∫35+x dx

解：∫35+x dx=∫（x+5）3

1

d （x+5）5

+=x u ∫u 3

1du

=43u 34

+c 5+=x u 4

3

（x+5）34

+c （2）求∫sin （5x+8）dx

解：∫sin （5x+8）dx=5

1

∫sin （5x+8）d （5x+8）

u x =+8551∫sinudu=-51cosu+c 85+=x u -5

1

cos （5x+8）+c

（3）求∫21

x

e

x

1dx

解：∫21x

e x 1

dx=-∫e x 1

d （x 1）u x =1

-∫e u du

=- e u

+c x

u 1

= -e x 1

+c

③ 常用的凑微分形式：

（1）∫f （ax+b ）dx=

a b

＿＿d （ax+b ） （2）∫f （x n ）x 1-n dx=n

1＿＿d x n

（3）∫f （e x ）e x dx=＿＿d e x

（4）∫f （

x 1）x 1dx=-＿＿d （x

1） （5）∫f （㏑x ）x

1

dx=＿＿d ㏑x

（6）∫f （x ）

x

1dx=2＿＿d x

④ 复杂积分式的凑微分法：

这类题型的解法一般是将被积分式g(x)dx 写成f （x ）?（x ）dx 或

)

()

(x f x ?dx

其中f (x)较?(x )复杂.对f(x )或构成f(x )的主要部分求导,若其导数为?(x)的常数倍,则?(x)dx=kdf(x)或?(x)dx=kdf n (x).其中k 为常数,f(x)为f n (x)的主要部分.

例：(1)计算不定积分∫x e x x )(2+（x 2+3x+1）e x dx

解：∵])[(2'+x e x x =(2x+1) e x +( x 2+x) e x =（x 2+3x+1）e x

∴原式=∫x

e x x )(2

+d[( x 2+x) e x

] =3

2

[( x 2+x) e x ]23

+c

(2) 计算不定积分∫1

1

42++x x dx

解：原被积分式的分子分母同除以x 2

，则：

原式=∫222111x x x ++

dx=∫2

)1()1(2+--x x x x d =21arctan ?????

???????

-21x x +c

=21

arctan ??

?

???-x x 212+c

【这种题型一般做法是分子分母同乘（或除）以一个因子 再仿前法凑.】

Ⅱ 第二类换元积分

第二类换元的思想方法

主要可以分为以下三类

1.根式代换

2.三角代换

3.倒数代换 4指数代换

第二类换元积分法主要是通过x=?（t ）对所求积分进行化简。

(1) 根式代换：如果被积函数中，含有因子b ax +我们可以通过x=?（t ）去掉根式，以

便化简后的积分式能直接积分或使用简单的变形凑微分后可直接用积分基本公式，故选取x=?（t ）要保证去掉根式。

(2)三角代换法：如果被积函数中，含有因式22x a -，22a x -，22a x +时，我们

由根号下式子的特点，能够联想到三角公式的平方关系式，sin 2x+cos

2

x=1以及

1+tan 2x=sec 2

x 由此来选择x=?（t ）,以此来去掉根号。当遇到c bx ax ++2

时,先将

ax 2+bx+c 进行配方成22x a -，22a x -，2

2a x +三种形式中的一种,再用公式或利用三角代换积分。若果遇到

d

cx b

ax ++,我们对它先进行分母有理化,在对其分子进行配方就

可化简为22x a -，2

2

a x -，2

2

a x +三种形式中的一种,可根 据上述方法进行求解。

(3) 倒数代换:当积分表达式分母中自变量的幂较高于分子时,我们可以采用x=t

1

进行化简

求解

（4）指数代换：适用于被积函数f(x)由a x 所构成的代数式

例：（1）求∫

()

x x x +1arctan dx （跟式代换）

解：原式2t x =令∫

)1(arctan 2t t t +·2tdt=2∫2

1arctan t t

+dt=2∫arctantdarctant

=（arctant ）2+c=（arctan x ）2+c （2）求∫

2

2

1)1(x

x xdx -+ （三角代换）

解：因为被积函数f(x )中含有2

1x -所以应作变换x=sin t

dx=costdt 于是:

原式=∫

t t t t cos )1(sin cos sin 2+dt=-∫

t

t d 2cos 2)(cos -

= -

221∫(

t cos 21-+

t cos 21+)dcost

= -2

21㏑t

t cos 2cos 2-++c= -

2

21㏑

2

21212x

x ---++c

(3) ∫

2

22

x

a x

dx +(a ＞0) (倒数代换)

解： 令：x=t 1, 则dx=-21

t

dt. 于是

原式=∫t 2

2

211?

?

? ??+t a ·(-

21

t )dt =-∫1

22+t a tdt

= -2

1

a

∫

(

)1

21

2222++t a t a d =-

2221a t a ++c =-x

a a x 2

2

2++c （4）∫

x

x x dx

4212++

（指数代换）

解：令2x =t ，dx=-2

ln t dt

，则 原式=∫

t

dt t t t ?

?++2ln 112 = 2ln 1

∫43212+

??

? ??+t dt

=2ln 1∫???

? ??+??? ??++2321)21(2t t d =2ln 1·32arctan

23

21

+

t +c =2ln 1·32arctan 312+t +c=2ln 1

·3

2arctan 3121++x +c

不定积分的方法与归类

当我们在积分时，如果所求积分中含有如下特点，我们可以考虑一下其对应解

决方法。 含22x a -， 令x=asint 或 x=accost 三角代换

22a x -， 令x=asect 三角代换 22a x + 令x=atant 三角代换

1+x 令1+x =t 根式代换

d cx b ax ++ 令d

cx b

ax ++=t 根式代换 X 令x=t

1

倒数代换

Ⅲ 常见函数的积分类型

（1） 有理函数的积分

一般情况下，是把有理函数变形为有理整函数与真分式函数之和的形式，把真分式函数化成部分分式函数之和的形式，然后利用积分的一些方法将有理函数的积分积出

（2） 无理函数的积分

如果所求积分不能用直接积分法、换元法、分部积分法求解的话，可将无理函数通过一系列的变形化为有理三角函数或有理函数。 ①．含有1个根号，令n

=t

②．含有n 个根号 （取最小公倍数）

（3） 三角函数的积分

所求积分是三角函数的积分时，通常是运用三角等式进行变换。

① 万能公式：

令：tan 2x =t x=arctant dx=2

12

t

+dt Sinx=122+t t cosx=2211t t +- tanx=2

12t

t

- ②形如∫sinkxdx 和∫coskxdx 的积分，可直接利用第一类换元积分法进行计算

③若被积函数是关于cosx 的奇函数。 令t=sinx ④若被积函数是关于sinx 的奇函数。 令t=cosx

⑤被积函数既是关于cosx 的偶函数，又是关于sinx 的偶函数。 令t=tanx ⑥被积函数是sin m

xcos n

x

⒈若m ，n 有一个是奇数。 令t=sinx 或cosx 2.若m ，n 都是偶数。 利用2倍角公式：

)2cos 1(21sin 2

x x -?

??= ，cosx=21（1+cos2x ） ，sinxcosx=21sin2x

}

⑦．被积函数既是sinmxcosnx, sinmxsinnx, cosmxcosnx

积化和差公式：

Sinmxcosnx=

21

[sin(m+n)x+sin(m-n)x] Sinmxsinnx=21

[cos(m-n)x-cos(m+n)x]

Cosmxcosnx=2

1

[cos （m-n ）x+cos （m+n ）x]

(二).定积分

1. 定义：

设函数f(x)在[a,b]有定义。任给[a,b]一个分法T 和一组{}ξξk

=

，有积分和

()()x k

n

k k

f

?=T ∑=1

,ξξσ

若当L(T)0→时，积分和()ξσ,T 存在有限极限，设：

lim 0)(→T l ()ξσ,T =lim 0)(→T l ()x

k

n

k k

f ?∑=1

ξ

=I

且数I 与分法T 无关，也与

[]k k k

x x ,1-在ξ

的取法无关即：

(){},,:,0,0k l ξξδδε=??>?有

εξ

<-?∑=1)(1

k n

k k

x f

则称函数f （x ）在[a,b]可积，I 是函数f （x ）在[a,b]的定积分，亦称黎曼积分，记为：

()I x

f dx x f k

n

k k

T l b

a

=?=∑?

=→1

0)(lim

)(ξ

2. 定积分计算：

（1）定义法：

分割——近似代替——求和——取极限 （2） 微积分基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）

若函数f （x ）在区间[a,b]连续，且F （x ）是f （x ）的原函数，则：

()()()a F b F dx x f b

a

-=?

例：3

10

1

3

1

21

02==?x dx x

（3）定积分的换元积分：

函数f （x ）在区间[a ，b]连续，且函数x=?（t ）在[βα,]有连续导数，当()()()，则，，又时，有b a b t a ==≤≤≤≤β?α??βαt

()()[]()dt t t f dx x b ??β

α'=??a

f

例：dx x a a

?-022

解：x=asint,有dx=acostdt.当x=0时，t=0；当x=a ，t=

2

π

dx x a a

?

-0

2

2

=a

40

222sin 2

cos 2

2022

2

a t t a

tdt πππ

=

??? ?

?+=?

（4）定积分的分部积分

设函数u(x)，v(x)在[a ，b]有连续导数，由函数乘积的导数公式，有

()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ??-=

()()()()()()??-=b

a

b

a

x du x v a b x v x u x dv x u 例：求dx xe x ?-2

ln 0

解：dx xe x ?-2

ln 0=()?--2

ln 0x e xd =-x 0

2ln 0

2ln x

x

e e ---=-2

ln 2

112

12ln 2

1e =+-

重要结论：

（1）设f(x)在[-a,a]可积

若f(x)为偶函数，则??-=a

a

a

dx x f dx x f 0

)(2)(

若f （x ）为奇函数，则0)(=?-dx x f a

a

（2）若f （x ）是T 为周期的周期函数，则： 则?

?+=T a a

T

a

dx x f dx x f )()(

(3)偶函数的原函数之一为奇函数。

（4）奇函数的全部原函数都为偶函数。

（5）若f （x ）是周期为T 的周期函数，则f （x ）的原函数

=以T 为周期的函数+线性函数ax+b

3．定积分的应用

1.求极限

（1）用定义计算某些和式的极限

分割极限—近似代替—求和—取极限 （2）微分法 （化整为零—积零为整）

将求的定积分得到定积分局部微分积零为整化整为零

???→????→? 2.求平面区域的面积

例：求半径为r 的圆的面积。

解：以圆点为圆的方程 ： x 2+y 2=r 2 设：上半圆 f （x ）=22x r - 下半圆 g （x ）=22x r - A=r

r x r x r x dx x r dx x g x f r

r r

r

-+-=-=-??

--]2arcsin 22[22)]()([22

22

2

=πr 2

3.参数方程

例：求椭圆22a x +22

b

y =1的面积

解：参数方程：()π20sin cos ≤≤?

?

?==t t b y t

a x

A=-4()????-==?='

?20

20

2

2

20

2

2cos 14sin 4sin sin 4cos sin πππ

dt t

ab tdt ab tdt a t b dt t a t b x

=2ab ()?=??? ??-=-20

2

2sin 2122cos 1π

ππ

ab t t ab dt t 4.平面曲线的弧长 例：求半径为r 的圆的周长

解：圆心在原点半径为r 的圆的参数方程；

???==θ

θ

sin cos r y r x []πθ2,0∈

x '=-rsin θ y '=rcos θ

r d r

d r d r r l πθπθθθθπ

π

20

2cos sin 22

20

220

2

222===+=?

?

5.旋转体的侧面积和体积 例：求半径为r 的球的表面积

解：（1）圆的方程x 2+y 2=r 2 上半圆y= 2

2x r - 绕x 轴旋转一周得球体

A=2[]

dx x r x r b

a

2

2

2

2

2

)(1'-+?-?

π

()2

2

2

2

x

r x x

r

y --

='

-=

'

1+()

2

2

2

2222

1x

r r x r x y -=-+=' A=2??

--==-?

-r

r r

r

r dx r dx x r r x r 22

22242πππ

（3） 求圆（x-b ）2+y 2=a 2 （0

解：右半圆减去左半圆 右半圆221

y a b x

-+= 左半圆2

22y a b x --=

(

)b a a a a y a y a y b dy

y a b dy y a b y

a b v v v a

a

a a

a

a

2

222222222

2

2212arcsin 2244)(πππππ=-???? ?

?+-=-=--

--+=-=???

---

6.定积分在物理上的应用

变力作功 势能 动能 电能 热能

【参考文献】

1.刘玉莲 傅沛仁 林玎 苑德馨 刘宁.数学分析讲义第五版.高等教育出版社. 2． https://www.360docs.net/doc/0a12201544.html,/view/bd30a248852458fb770b56ef.html 之微积分教程 3.刘里鹏。《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》；长沙;湖南科学技术出版社，20092

方秋金.数学学习论选讲[M].北京师范大学出版社 1992.

4. <数学分析讲义>笔记本