素数与密码

本世纪七十年代，几位美国数学家提出一种编码方法，这种方法可以把通讯双方的约定公开，然而却无法破译密码，这种奇迹般的密码就与素数有关。

人们知道，任何一个自然数都可以分解为素数的乘积，如果不计因数的次序，分解形式是唯一的。这叫做算术基本定理，欧几里得早已证明了的。可是将一个大整数分解却没有一个简单通行的办法，只能用较小的素数一个一个去试除，耗时极大。如果用电子计算机来分解一个100位的数字，所花的时间要以万年计。可是将两个100位的数字相乘，对计算机却十分容易。美国数学家就利用了这一点发明了编制容易而破译难的密码方式。这种编码方式以三位发明者姓氏的首字母命名为RSA码。

例如，A、B两位通讯者约定两个数字N和e，A想要将数字M发给B，他不是直接将M发出，而是将M连乘e次，然后除以N，将余数K发给B。B有一个秘密的数字d，连A也不知道，他将K连乘d次，然后除以N，得到的余数就是原来的数M。

数字是这样选择的，N=p×q，p、q是选定的两个大的素数，选取e、d，使ed-1是(p-1)×(q-1)的倍数，而且使e和p-1、q-1没有公因数，这是容易做到的。根据这个方法，编码规则可以公开，可是由于N太大，分解得到p、q几乎是不可能的，他人也就无从知道d，不可能破译密码了。

RSA提出后，三位发明家曾经公布了一条密码，悬赏100美元破译，他们预言，人们至少需要20000年，才能破译，即使计算机性能提高百倍，也需要200年。但只过了不到18年，这个密码就被人破译，意思是：“The magic words are squeamish ossifrage”。这个密码如此快的破解，是因为全世界二十多个国家的六百多位工作者自发联合起来，利用计算机网络，同时进行因式分解，并不断交流信息，汇总计算结果，用了不到一年的时间，就将129位的N分解成64位和65位的两个素数的积。计算机网络将分解效率提高了近万倍，这是发明者当初没有预想到的。但是，如果提高位数到200或300位，工作量将会大的不可思议，即使计算机技术有重大突破，破译也几乎不可能。

(完整版)质数和合数_知识点整理

质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。（2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 ③20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） ④100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常见最大、最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是：

质数和合数,分解质因数_教案教学设计

质数和合数，分解质因数课题一：质数和合数教学要求①使学生掌握质数和合数的概念，知道它们之间的联系和区别。②能正确判断一个常见数是质数还是合数。③培养学生判断、推理的能力。教学重点质数和合数的概念。教学难点正确判断一个常见数是质数还是合数。教学过程一、创设情境 1．谁能说说什么是约数？ 2．请写出自己学号的所有约数。二、揭示课题我们学过求一个数的约数，那么每个数的约数的个数又有什么规律？下面我们一起来观察。三、探索研究 1．学习质数和合数。（1）请同学报出你们学号的所有约数？（根据学生的回答板书）（2）观察：①每个约数的个数是否完全相同？②按照每个数的约数的多少，可以分几种情况？（学生讨论后归纳）（3）可分为三种情况：（让学生填） ①有一个约数的数是：。这些数中②有两个约数的数是：。

③有两个以上约数的数是：。（4）再观察。 ①有两个约数的如：2、3、5、7、11、13、17、19等。这几个数的约数有什么特征？讲：一个数，如果只有1和它本身两个约数，我们把这样的数叫做质数（或素数）。 ②4、6、8、9、10、12、14、15……这些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？讲：一个数，如果除了1和它本身两个约数外还有别的约数，我们把这样的数叫做合数。（板书“合数”）请学号是合数的同学举手，点两名同学板演学号，大家检查。 ③请学号既不是合数也不是质数的同学举手并报出学号，大家检查。 ④学生看书第59页，读书上的小结语。 2、质数、合数的判断方法。（1）根据什么判断一个数是质数还是合数？（2）教学例2。让学生独立写出后讲所写的数为什么是质数（或合数）。四、课堂实践 1．做教材第60页的“做一做”。 2．做练习十三的第1题。（1）按要求去做后看剩下的数都是什么数？

小学五年级奥数知识点集锦质数合数和分解质因数

小学五年级奥数知识点集锦：质数、合数和分解质因数导语:下面是小编为您收集整理的小学五年级关于质数、合数和分解质因数的知识，欢迎阅读! 质数、合数和分解质因数的知识点 1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住:1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例:把30分解质因数。解:30=2×3×5。其中2、3、5叫做30的质因数。 1 又如12=2×2×3=22×3，2、3都叫做12的质因数。质数、合数和分解质因数的例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解:?210=2×3×5×7 ?可知这三个数是5、6和7。例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少? 解:把40表示为两个质数的和，共有三种形式: 40=17+23=11+29=3+37。 ?17×23=391>11×29=319>3×37=111。

?所求的最大值是391。答:这两个质数的最大乘积是391。例3 自然数123456789是质数，还是合数?为什么? 解:123456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。例4 连续九个自然数中至多有几个质数?为什么? 解:如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数(如:1,9中有4个质数2、3、5、7)。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数， 2 即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解:?5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 (=2×7)放在第一组，那么7和6(=2×3)只能放在第二组，继而15(=3×5)只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样14×15=210=5×6×7。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 [小学五年级奥数知识点集锦:质数、合数和分解质因数]相关文章: 1.四年级常考的奥数题:质数合数问题 2.小学奥数知识点总结:和差倍问题

市北资优六年级分册第01章 1.3 素数、合数与分解素因数+佳颖

1．3 素数、合数与分解素因数自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？分析可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111 =1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001 所以，3 333 334 111 111是合数．例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n = 上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．

1.4-素数、合数与分解素因数讲义

1. 4（1）素数、合数与分解素因数学习目标：1. 理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念，掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。 2. 通过学习，进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法的异同，体现分类思想。重点：分解素因数重点：素数与分数、合数与偶数概念的辨析新课预习一、创设情景，引入新课 1. 每位同学写两个整数，并写出它们的因数。 2. 提问：你写出的整数有几个因数？（教师在黑板上列一张表）因数个数确定吗？整数因数个数由此可以发现，有些整数只有一个因数，有些有2个因数，即1和本身，

有些有3个、4个…… 知识点一：素数、合数的概念一个正整数，如果只有1和它本身这两个因数，这样的数叫做素数，也叫作质数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。例如：2,3,5,7,11,13...都是素数；4,6,8,1,12,14...都是合数。 1既不是素数，也不是合数。这样，正整数又可以分为1，素数和合数三类。例1：判断27，29，35和37是素数还是合数？通过检查每个数的因数的个数，可以知道29，37是素数，27，35是合数。二、层层递进、探索新知 1. 讨论： 1）2是素数还是合数？ 2）是否存在这样的正整数，既是素数，又是合数？ 3）合数与偶数、素数与奇数相同吗？若不同，你能讲出区别吗？（举例说明）4）整数1到底是什么“身份”？你能讲清楚吗？ 2. 判断一个100以内的数是不是素数，还可以查以下的素数表： 2 3 5 7 11 13 17 19 23

1.4素数、合数和分解素因数讲义

1. 4（1）素数、合数与分解素因数学习目标：1. 理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念，掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。 2. 通过学习，进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法的异同，体现分类思想。重点：分解素因数重点：素数与分数、合数与偶数概念的辨析新课预习一、创设情景，引入新课 1. 每位同学写两个整数，并写出它们的因数。 2. 提问：你写出的整数有几个因数？（教师在黑板上列一张表）因数个数确定吗？由此可以发现，有些整数只有一个因数，有些有2个因数，即1和本身，有些有3个、4个…… 知识点一：素数、合数的概念一个正整数，如果只有1和它本身这两个因数，这样的数叫做素数，也叫作质数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

例如：2,3,5,7,11,13...都是素数；4,6,8,1,12,14...都是合数。 1既不是素数，也不是合数。这样，正整数又可以分为1，素数和合数三类。例1：判断27，29，35和37是素数还是合数？通过检查每个数的因数的个数，可以知道29，37是素数，27，35是合数。二、层层递进、探索新知 1. 讨论： 1） 2是素数还是合数？ 2）是否存在这样的正整数，既是素数，又是合数？ 3）合数与偶数、素数与奇数相同吗？若不同，你能讲出区别吗？（举例说明）4）整数1到底是什么“身份”？你能讲清楚吗？ 2. 判断一个100以内的数是不是素数，还可以查以下的素数表： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 三、巩固练习 1. 在自然数1到10中：奇数有哪些？ 1 3 5 7 9 偶数有哪些？ 2 4 6 8 10 素数有哪些？ 2 3 5 7 合数有哪些？ 4 6 8 9 10 2. 下面的说法对吗？ 1）一个合数至少有3个因数；对比如4 ，9 ，25 2）所有的奇数都是素数；错比如25， 9 ，49

四年级数学培优：质数、合数与因数分解

四年级数学培优:质数、合数与因数分解一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类: ?? ???合数质数单位正整数1 质数，合数有下面常用的性质: 1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数． 2．若质数p │ab ，则必有p │a 或p │b ． 3．若正整a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p ． 4．算术基本定理:任意一个大于l 的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式: k k p p p N α αα 2121= 其中k p p p <<21，i p 为质数，i a 为非负整数，(i ＝1，2，…k)．【例1】已知三个不同的质数a ，b ，c 满足ab b c+a=2000，那么a 十b 十c= ．思路点拨运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解人手，突破a 的值． +注: 对于研究者来说，寻找最大质数的精神，犹如物理学家在寻找比原子更懂小的粒子、或天文学家在不断追寻未为人所知的星体般，都须付出惊人的救力，正是这种单纯为满足求知欲的好奇心，正好是人类突破知识领域的动力． 18世纪，欧拉发现了当时最大的质数231一l ，20世纪末人类借助超级计算机，发现了最大的质数2859433—1．【例2】不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )． A ．3 B ．1 C ．7 D ．9 思路点拨从寻找适合题意的质数人手．

质数,合数与分解质因数

质数、合数与分解质因数一、教学建议【抛砖引玉】通过本段内容的教学使学生理解和掌握质数、合数、质因数和分解因数的概念，并能运用概念进行判断，会把自然数按约数个数分类，能正确地把一个合数分解质因数。培养学生观察、比较、抽象概括能力。 (一)教学质数与合数教学质数与合数要注意抓住以下四点 1.从把自然数按约数“个数”这个标准进行分类入手，引出质数和合数的概念。要注意给学生提供全面、充实、恰当的感性材料，使学生通过观察、比较、抽象、概括得到清晰、准确的质数与合数概念。例如：先说出下面各数的约数，再观察比较：哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？ 1、2、3、4、5、6、7、8…19、20 只有1个约数的自然数有1 有两个约数（1和它本身）自然数有2、3、5、7、11、13、17、19 有两个以上约数的自然数有4、6、8、9、12、14、15、16、18、20 通过只有两个约数的自然数观察比较概括出质数的概念。即一个数除了1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。通过只有两上以上约数的自然数观察、比较、抽象概括出合数概念。即一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 2.要明确“1”为什么既不是质数？也不是合数？

“1”不是合数，按合数定义去解释学生很快就能接受。“1”不是质数，按质数定义去解释有些学生想不通。原因是受“一个自然数的约数个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身”这句话的影响，认为1有两个约数其中最小的约数是1，最大的约数还是1，所以“1”有两个相同的约数。学生这样理解是有一定道理的。这时老师要指出，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数。 3.自然数的分类 (1)按自然数约数的“个数”这个标准分类，则自然数可分为三类。即质数、合数和1三类。自然数是无限的，所以质数和合数也是无限的。 (2)按每个自然能否被2整除分类，则把自然数分两类。即奇数和偶数。自然数是无限的。所以奇数和偶数的个数也是无限的。 4.运用质数、合数概念，判断一个数是质数还是合数。可以加深学生对质数、合数的理解。例如：下面哪些数是质数？哪些是合数？ 19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54 通过检查各数约数的个数，可以知道： 21、87、35、38、72、54是合数 19、43、67、89、97是质数判断一个数是质数还是合数，一般有三种方法： (1)如上述方法就是检查每个数约数的个数，根据质数、合数的定义进行判断； (2)查质数表；

14 素数合数与分解素因数讲义

1、4(1)素数、合数与分解素因数学习目标:1、理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念,掌握分解素因数的几种方法,熟练掌握用短除法分解素因数。 2、通过学习,进一步加深对整数的认识,理解整数的多种分类方法的异同,体现分类思想。重点:分解素因数重点:素数与分数、合数与偶数概念的辨析新课预习一、创设情景,引入新课 1、每位同学写两个整数,并写出它们的因数。 2、提问:您写出的整数有几个因数？(教师在黑板上列一张表)因数个数确定不？由此可以发现,有些整数只有一个因数,有些有2个因数,即1与本身,有些有3个、4个……

知识点一:素数、合数的概念一个正整数,如果只有1与它本身这两个因数,这样的数叫做素数,也叫作质数,如果除了1与它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数。例如:2,3,5,7,11,13、、、都就是素数;4,6,8,1,12,14、、、都就是合数。 1既不就是素数,也不就是合数。这样,正整数又可以分为1,素数与合数三类。例1:判断27,29,35与37就是素数还就是合数？通过检查每个数的因数的个数,可以知道29,37就是素数,27,35就是合数。二、层层递进、探索新知 1、讨论: 1) 2就是素数还就是合数？ 2) 就是否存在这样的正整数,既就是素数,又就是合数？ 3) 合数与偶数、素数与奇数相同不？若不同,您能讲出区别不？(举例说明) 4)整数1到底就是什么“身份”？您能讲清楚不？ 2、判断一个100以内的数就是不就是素数,还可以查以下的素数表: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61

质数和合数基础讲义

课题 5-3-1.质数与合数（一）一、基本概念和知识： 1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。解：30＝2×3×5。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。二、典例剖析：例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。例9 问360共有多少个约数？对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。例10 求240的约数的个数。模拟测试 1.边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？

五年级数学质数和合数分解质因数教案人教版

3、质数和合数，分解质因数课题一：质数和合数教学要求①使学生掌握质数和合数的概念，知道它们之间的联系和区别。②能正确判断一个常见数是质数还是合数。③培养学生判断、推理的能力。教学重点质数和合数的概念。教学难点正确判断一个常见数是质数还是合数。教学过程一、创设情境 1．谁能说说什么是约数？ 2．请写出自己学号的所有约数。二、揭示课题我们学过求一个数的约数，那么每个数的约数的个数又有什么规律？下面我们一起来观察。三、探索研究 1．学习质数和合数。（1）请同学报出你们学号的所有约数？（根据学生的回答板书）（2）观察：①每个约数的个数是否完全相同？②按照每个数的约数的多少，可以分几种情况？（学生讨论后归纳）（3）可分为三种情况：（让学生填） ①有一个约数的数是：。这些数中②有两个约数的数是：。 ③有两个以上约数的数是：。（4）再观察。 ①有两个约数的如：2、3、5、7、11、13、17、19等。这几个数的约数有什么特征？讲：一个数，如果只有1和它本身两个约数，我们把这样的数叫做质数（或素数）。 ②4、6、8、9、10、12、14、15……这些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？讲：一个数，如果除了1和它本身两个约数外还有别的约数，我们把这样的数叫做合数。（板书“合数”）请学号是合数的同学举手，点两名同学板演学号，大家检查。 ③请学号既不是合数也不是质数的同学举手并报出学号，大家检查。 ④学生看书第59页，读书上的小结语。 2、质数、合数的判断方法。（1）根据什么判断一个数是质数还是合数？（2）教学例2。让学生独立写出后讲所写的数为什么是质数（或合数）。四、课堂实践 1．做教材第60页的“做一做”。 2．做练习十三的第1题。（1）按要求去做后看剩下的数都是什么数？（2）讲：判断一个数是不是质数，除了用质数的定义进行判断外，还可以查质数表，如第59页的100以内的质数表。（或者看6的倍数的左右） 3、做练习十三的2、4题。五、课堂小结

五年级奥数竞赛试题-质数、合数和分解质因数

五年级奥数竞赛试题第二讲质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识 1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。解：30＝2×3×5。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。答：这两个质数的最大乘积是391。例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 （=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样14×15=210=5×6×7。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。解：42560=26×5×7×19 ＝25×（5×7）×（19×2）＝32×35×38（合题意）要求的三个自然数分别是32、35和38。例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15， a×c＝10.求a×b×c是多少？解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。（a×b）×（b×c）×（a×c）

1.4素数、合数与分解素因数

1.4素数、合数与分解素因数 ①一个正整数，如果只有和两个因数，这样的数叫做素数，也叫做_____; 如果___________________________，这样的数叫做合数。 ②___________既不是素数也不是合数。 ③按照能否被2整除，正整数可以分为：_____________________。 ④按照因数的个数来分，正整数可以分为：_______________________。课内练习 1.在正整数中，1是（） (A)最小的奇数（B）最小的素数（C）最小的素数（D）最小的合数 2.在正整数中，4是（） (A)最小的奇数（B）最小的素数（C）最小的素数（D）最小的合数 3.正整数按照所含因数的个数分类，可以分为。 4.最小的素数是，它是素数中唯一的数。 5.20以内的素数有。 6.18的因数有，其中素数有。 7.1,2,5,10这四个数中是的倍数，是的因数；素数有，合数有；奇数有，偶数有。 8.在1至30的正整数中，素数有个，合数有个。 9．两个素数的和是20，这两个素数为。 10.在正整数中，最小的素数与最小的合数，它们的和是。 11.100以内的素数共有个。 12.举例说明，一个素数减去另一个素数，它们的差是：（1）合数；（2）素数；（3）既不是素数也不是合数。 13.你能写出100以内的素数吗？

课后作业：一、填空题 1、最小的素数是________，最小的合数是_________； 2、既是奇数又是合数的最小的正整数是__________，最小的奇数素数是； 3、既是偶数又是素数的数________；最小的偶素数是，最小的偶合数是。 4、下列各数中：1、2、4、6、27、43、57、6 5、67、70、87、97 素数______________________________________; 合数______________________________________。 5、在正整数1到20中，奇数有_____个，偶数有_____个，素数有_____个，合数有______ 个。 6、既是60的因数，又是素数的有________________。 7、已知两个素数的和是8，那么这两个素数分别是 8、如果一个两位数的素数的个位数字是3，那么十位数字不可能是__________________。二、判断题 9、正整数中除了素数就是合数。………………………………（） 10、素数只有2个因数，合数至少有3个因数。………………（） 11、所有的偶数是合数。…………………………………………（） 12、所有的素数都是奇数。………………………………………（） 13、两个素数的乘积一定是合数。………………………………（） 14、两个素数的和一定是合数。………………………………（） 15、5的倍数一定是合数。………………………………（） 16、一个素数的因数都是素数。………………………………（）三、简答题 17、把正整数12分别写成两个素数之和？三个素数之和？四个素数之和？ 18、一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是最小的素数，个位上的数既不是素数也不是合数，这个数是几？五、拓展题

五年级培优奥数——质数、合数与分解质因数

质数、合数与分解质因数知识讲解：例题讲解：【例1】试写出1 --100中的所有质数，并将111111分解质因数．【例2] 2004个连续自然数的和是“a×b×c×d，若出a、b、c、d都是不同的质数，则a+b+c+d 最小值应是____ （全国第二届“创新杯”数学邀请赛试题）【例3】两个质数的和是39．这两个质数的积是多少？

【例4】在三张纸片上分别写上三个最小的奇质数，如果随意从其中至少取出一张组成一个数，其中有几个是质数，将它们写出来。【例5] 2002=2×7×11×13，其特点是4个不相等的质数之积．20世纪(1901—2000年)具有相同特点（即可以分解成4个小同质数的积）的所有年份为_______________。【例6】将2l、30、65、126、143、169、275分成两组，使两纽数的积相等。【例7】边长是自然数，面积是165的形状不同的长方形共有多少种？【例8】用216元去买一种钢笔，正好将钱用完，如果每支钢笔便宜1元．则可以多买3支钢笔，钱也正好用完．问共买了多少支钢笔？

【例9】小兰家的电话号码是个七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末4位数是前3位数的1 0倍，小兰家的电话号码是多少？【例10】一个自然数可以分解为3个质因数的积，如果这3个质因数的平方和为3 9 6 30，求这个自然数．【例1l】求3 6 0有多少个因数？其因数和是多少？【例12】问：100以内有6个因数的数有哪些？基础训练： 1. 165有多少个因数？这些因数的和是多少？

2．已知自然数a有两个因数，那么3a有几个因数？ 3．两个质数的和是1995，这两个质数的乘积是多少？ 4.两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少？ 5．两个相邻的自然数积是1980，求这两个相邻的自然数． 6．某四年级学生参加数学竞赛，他获得的名次，他的年龄，他得的分数的乘积是2910.这个学牛得第几名，成绩是多少分？ 7．有-个三位数，它的个位数和百位数之和是10，且个位既是偶数，又是质数，又知道这个三位数能被2l整除，求这个三位数．

素数、合数与分解素因数讲义

1、４(1)素数、合数与分解素因数学习目标:1、理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念,掌握分解素因数的几种方法,熟练掌握用短除法分解素因数、 2、通过学习,进一步加深对整数的认识,理解整数的多种分类方法的异同,体现分类思想、重点:分解素因数重点:素数与分数、合数与偶数概念的辨析新课预习一、创设情景,引入新课１、每位同学写两个整数,并写出它们的因数。 2、提问:您写出的整数有几个因数?(教师在黑板上列一张表)因数个数确定不？由此能够发现,有些整数只有一个因数,有些有２个因数,即1与本身,有些有3个、4个…… 知识点一:素数、合数的概念一个正整数,假如只有1与它本身这两个因数,如此的数叫做素数,也叫作质数,假如除了1与它本身以外还有不的因数,如此的数叫做合数。

例如:2,３,５,7,11,１３、、、都是素数;4,6,8,１,12,１4、、、都是合数、 1既不是素数,也不是合数。如此,正整数又能够分为1,素数与合数三类。例1:判断２7,２9,35与３7是素数依然合数? 通过检查每个数的因数的个数,能够明白29,３７是素数,2７,３５是合数。二、层层递进、探究新知 1、讨论: 1) 2是素数依然合数？２) 是否存在如此的正整数,既是素数,又是合数? 3) 合数与偶数、素数与奇数相同不?若不同,您能讲出区不不？(举例讲明) 4)整数1到底是什么“身份”?您能讲清楚不？ 2、判断一个100以内的数是不是素数,还能够查以下的素数表: 2 3 5 7 1１13 1７１9 23 2９31 37 4１43 ４7 ５3 59 ６1 67 71 ７3 79 8３８9 9７三、巩固练习 1、在自然数1到10中: