桥梁结构动力有限元模型修正方法的对比研究

1

李健

哈尔滨工业大学深圳研究生院，深圳 (518055)

E-mail：lijian.hit@https://www.360docs.net/doc/0e12995605.html,

摘要：本文针对当前三种典型的有限元模型修正方法，包括基于经典优化方法的修正方法、基于神经网络的修正方法以及基于遗传算法的修正方法，简要介绍了其原理和实现流程。基于一座三跨刚构－连续梁桥有限元模型，通过七种不同工况的模型修正计算，研究了这三种方法在不同模态信息量、不同误差参数以及不同噪声水平下的修正效果。其中，基于经典优化方法的修正方法采用了基于响应面模型(RSM)的改进可行方向法和序列二次规划法(SQP)结合的两步优化策略; 基于神经网络的修正方法采用RBF神经网络；基于遗传算法的修正方法采用多岛遗传算法。最后，通过对比分析，总结了三种方法在不同情况下的优缺点，为实际工程中模型修正提供参考。

关键词：模型修正，响应面模型，序列二次规划法，RBF神经网络，多岛遗传算法

中图分类号：TU311.3

1．引言

建立精确的基准有限元模型是桥梁结构健康监测系统中安全评定模块的重要内容。由于实际施工不可避免存在误差、材料参数的不确定性、边界条件的不恰当模拟或简化、有限元模型固有的离散误差等等，按照图纸最初建立的有限元模型和真实结构往往存在一定的差别[]1。结构动力有限元模型修正以试验得到的结构振动响应（振型和频率等）为基准，通过修改有限元模型的刚度、质量矩阵，从而使有限元模型和实际结构趋于一致，从而在一定程度上消除上述差别。按照修改对象的不同，模型修正方法分为矩阵型法和参数型法。矩阵型法是直接对有限元模型的刚度和质量矩阵的元素进行修改的方法，由于该方法使得模型修正的物理意义不明确，而且原有的带状矩阵会变为满阵[]2，加上现有的有限元商业软件没有提取模型刚度和质量矩阵的模块, 使得这种矩阵型法的应用难以实现, 因此, 实际工程中大多使用参数型法。参数型法通过修改结构模型的几何、物理等相关参数，利用结构参数和有限元质量、刚度矩阵之间的对应关系，达到模型修正的目的。这种方法不直接对物理矩阵操作，不改变原矩阵带状稀疏的特点，并且便于利用现有的有限元商业软件，操作较为方便，因而为工程界所广泛接受。

345。

近年来，基于经典优化方法的参数修改法在实际工程和研究中得到了广泛应用[][][]

随着神经网络、进化计算的发展，神经网络强大的非线性映射功能和遗传算法良好的全局寻

67。这些方法在不同的应用中均取得了一定的效果。优能力也逐渐被引入到模型修正中来[][]

为了进一步了解各种方法相互间性能的差异，为实际工程中选择模型修正方法提供一定的参考，本文针对这三种方法，分别为基于经典优化方法、基于神经网络和基于遗传算法的修正方法，通过一座三跨刚构－连续梁桥，研究了各方法在不同模态信息量、不同误差参数以及不同噪声水平下的修正效果。其中，基于经典优化方法的修正方法采用了基于响应面模型(RSM)的改进可行方向法和序列二次规划法(SQP)结合的两步优化策略; 基于神经网络的修

1本课题得到国家自然科学基金重点项目：重大工程结构健康监测及其集成系统的资助（项目编号：50538020）。

2．基于经典优化方法的模型修正

基于由粗到精(coarse-to-fine)的优化思想，本文提出一种两步优化策略：第一步采用基于响应面模型(RSM)的改进可行方向法，让迭代尽可能地避免陷入局部最优；第二步采用序列二次规划方法(SQP-NLPQL)，直接基于结构有限元参数模型和第一步得到的最优点，来精确地逼近整个参数设计空间的全局最优点。模型修正的优化迭代过程通过将ANSYS 集成到设计优化软件iSIGHT []8中实现。

2.1基于响应面模型的改进可行方向法和序列二次规划法(SQP-NLPQL)

在优化过程中使用近似模型能够简化优化运算，节约计算时间并能够改善优化方法的全局寻优能力。本文采用响应面模型通过低阶多项式方程来近似模拟结构参数和结构振动响应之间复杂的映射关系，即通过有限元分析对给定的设计点集合进行连续试验，然后求解线形方程组得到各参数变量的系数，最终建立响应和参数之间的多项式函数关系，在此基础上应用改进的可行方向法进行优化。响应面的一阶模型和二阶模型分别如式(1)和式(2)所示：

01N

i i i y a b x ε==+

+∑

(1)

211

N N

N

i i

ii i ij i j i i i j y a b x c x d x x ε==<=++++∑∑

∑∑ (2) 其中,,,为多项式系数，0a i b ii c ij d x 为设计参数，为设计参数的个数。迭代开始时，参数设计点离最优点较远，为了减少迭代初期的计算负担，使用一阶响应面模型。随着迭代的进行，参数点集合逐步增加，响应面模型逐渐过渡到二阶模型，新增加的点用于求解二阶模型中增加的多项式系数。

N 序列二次规划算法是求解中小规模光滑的非线性优化问题的优秀算法之一。它的核心思想是在当前的迭代点处，利用Lagrange 函数的二次近似得到的目标函数和约束函数的线形近似构造二次规划子问题，通过求解这个二次规划获得下一个迭代方向，然后通过线性搜索得到下一个迭代点。即对于约束最优化问题：

11min ()..

()0,1,2,,()0,1,,i j l u

F X s t g X i m h X j m m

X X X ≥=???==+???≤≤ (3)

构造如下二次规划子问题：

11min ..

()()0,1,2,,()()0,

1,,1()2

T

i i T

i i u T T k k k k k k l k k

s t g x d g x i m h x d h x j m m

d x d B d f x d

x x x ?+≥=????+==+???≤≤+??? (4)

其中正定矩阵k B 为拟牛顿算子，通过BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)算法更新。求解式(4)得解，然后通过线性搜索确定步长k d k α，则由1k k k x k x d α+=+得到下一个迭代

2.2 优化目标函数

测量信息包含模态频率和模态振型，因此在目标函数中构造有限元分析和实际结构相应量的残差，使优化迭代结束后，有限元模型和真实结构的差别尽可能最小。目标函数表达式如下：

(

2

2

111()ak ek ek k

f

s

m m k k f f F x f MA ==??=+??

?

??

?∑∑C (5)

2

()()(T ai ei i T T

ai ai ei

ei MAC φφ)φφφφ= (6) 其中MAC 为模态置信准则(Modal Assurance Criterion)。ai φ和ei φ分别为分析和测量振型，和分别为分析频率和测量频率值。

ak f ek f 3. 基于RBF 神经网络的模型修正

RBF 神经网络是以径向基函数为隐函数空间的一种具有前馈结构的神经网络。它通过高维的隐函数空间将低维输入空间中的线形不可分数据变换为简单的线性可分数据，因而具有表达线性不可分映射的能力[]9。模型修正就是利用RBF 神经网络的非线性映射能力来制造一个表达结构参数和模态响应之间复杂的映射关系的“黑箱”，然后通过这个“黑箱”和实测的模态信息来反推得到真实结构的参数值。因此，基于神经网络的模型修正包括以下步骤：一、在参数设计空间以某种规则生成N 组结构参数样本点；二、有限元分析得到N 组相应的模态频率和振型；三、结构参数样本和模态信息样本数据规格化；四、以模态参数为输、结构参数为输出训练神经网络；五、将规格化的实测结构模态信息输入神经网络，输出得到规格化的实际结构参数；六、利用结构参数规格化公式反求出结构参数的真实值。

本文计算中发现，利用参数设计空间内均匀分布的随机数作为样本点可以得到较为理想的结果，于是本文选取200个均匀随机分布的样本点，采用下式对结构参数样本和分析得到的频率样本进行规格化：

min

min max min

max min

??i i i i i

P P f f f

P P f f P ??==?? (7) 其中为规格化的结构参数值，?i

P ?f 为规格化的频率值。利用Matlab 中的newrb 命令创建和训练RBF 神经网络，训练开始时隐层RBF 神经元个数为零，newrb 命令每一次样本训练后增加一个神经元，通过检查每一次样本训练的误差，以误差最大的输入样本向量的转置为该神经元的权值，直到误差满足要求或神经元数目达到事先给定上限的为止。本文通过试算的方法来确定径向基函数的扩展系数SPREAD 和训练次数上限。

4．基于多岛遗传算法的模型修正

相对于经典优化算法，遗传算法(Genetic Algorithm)同时对搜索空间的多个解进行评估，具有更高的搜索效率并且更有可能收敛至全局最优点。但是，遗传算法的早熟现象仍然限制了它的应用效果，传统的遗传算法中，群体始终被作为一个整体不再被分割，所有的遗传操作（选择、交叉、变异）都作用在整个群体上，早熟一旦发生，搜索便停止在某一局部最优点。如果将整个群体分割成几个独立的子群体，每个子群体都相对独立地进行遗传进化，这

第一步

第二步

图2 基于多岛遗传算法的模型修正流程 Fig. 1 Flowchart of optimization based FEM Updating

Fig. 2 Flowchart of MIGA based FEM Updating

样便可将由于出现不适当的个体而产生的早熟现象局限在子群体这样的小范围内，从而达到抑制整体群体进化早熟的现象[]10。同时子群体间定期地交换一定量的个体，以维持各群体样本的多样性，避免早熟现象的发生。

多岛遗传算法(Multi-Island Genetic Algorithm -MIGA)就来源于这种思想，它采用岛屿模型作为子群体的信息交换模型，各岛屿之间的个体交换由“迁移间隔”和“迁移率”控制，前者控制两次信息交换所间隔的进化代数，后者决定每次参加迁移的个体占所在的子群体的百分比。MIGA 个体采用二进制编码，在选择、交叉和变异操作完成后，加入精英保留算子(elitism operation)，使得适应度最高的个体可以保留至子代中，这一操作保证了最优个体不被选择、交叉和变异操作破坏，从而提高遗传算法的全局收敛能力。基于多岛遗传算法的模型修正流程图如图2所示。

5．刚构-连续梁有限元模型修正以及结果对比分析

5.1 刚构-连续梁桥的参数化有限元模型

本文选取一座虚拟的刚构-连续梁桥进行模型修正的对比分析。该桥桥跨布置和箱梁截面如图3所示。桥墩1、2、3的高度分别为30m ，70m 和35m 。其中中间桥墩和箱梁刚接，两侧桥墩和箱梁铰接。采用ANSYS 的APDL 建立该桥的参数化有限元模型，如图4所示。上部箱形梁和下部空心桥墩采用Beam188单元模拟，同时采用Combin14单元模拟箱梁端部与支座之间伸缩缝产生的纵向约束作用。

(a) (b) (c)

图3 桥跨布置和箱梁截面：(a) 桥跨布置；(b) 支座处箱梁截面；(c) 跨中处箱梁截面

Fig. 3 Bridge Span Arrangement and Box Beam Cross Sections: (a) Bridge Span Arrangement; (b) Box Beam Cross

Section at Supports;(c) Box Beam Cross Section in the Middle of the Span.

严格来说，模型中凡是有可能与实际结构存在偏差的参数都应该修正，然而，过多的修

正参数往往会导致较大的计算负担，而且对修正目标参数(振型和频率)不敏感的参数会导致不理想的修正结果甚至优化迭代的不收敛，因此基于敏感性分析的参数选取成为通常的做法。

本文针对该桥选取了七个物理和几何参数作为待修正参数，参数初始值(理想值)和变化

范围如表1所示。采用下式对前12阶频率相对于各参数的敏感性进行分析：

()()j i

f f x a x f x x a

?1

+×?=

? (8)

其中为前差分步长，此处取为0.2。敏感性分析结果如图5所示。“真实结构”通过对各参数值的初始值进行人为摄动得到，各参数的“真实值”(目标值) 如表1所示。

a

特征值灵敏度

模态阶数

特征值灵敏度

模态阶数

图4 桥梁有限元模型 图5 模态频率相对于各参数的敏感度 Fig. 4 FE Model of the Bridge

Fig. 5 Sensitivity of Eigenfrequencies to Parameters

表1 待修正的结构参数

Table 1 Parameters Selected For Adjustment

参数 描述 初始值下限 上限 目标值 Eb (1010

Pa) 箱梁弹性模量

3.45 2.415(-30%)

4.485(30%) 2.76 Ep (1010

Pa) 桥墩弹性模量

3.0 2.1 (-30%) 3.9 (30%) 2.4 DENSb(103kg/m 3

) 箱梁混凝土质量密度

2.5 1.75 (-30%)

3.25 (30%) 3.0 (2.5)(1)DENSp(103kg/m 3

) 桥墩混凝土质量密度

2.5 1.75 (-30%)

3.25 (30%) 3.0 (2.5)(1)Hb(10-1

m) 箱梁顶板厚度 2.8 2.24 (-20%) 3.36 (20%) 2.52 Hp(10-1m) 空心桥墩壁厚

4.0 3.2 (-20%) 4.8 (20%) 3.6 Ka(106

N/m) 箱梁与地面伸缩缝纵向刚度 5.0 3.0 (-40%)7.0 (40%) 6.0

(1)：括号中2.5为参数DENSb 和DENSp 对应工况五的目标值。

5.3计算工况和修正效果的评价标准

为了综合考察模型修正方法各方面的性能，本文设计了七种计算工况来检验这三种方法在不同模态信息量、不同误差参数以及不同噪声水平下的修正效果，分别为：工况一：使用前10阶模态频率和前5阶模态振型信息(m f =10, m s =5)；

工况二：使用前10阶模态频率信息(m f =10, m s =0)；工况三：使用前5阶模态频率和前5阶模态振型信息(m f =5, m s =5)；工况四：使用前5阶模态频率信息(m f =5, m s =0)；工况五：

箱梁混凝土密度和桥墩混凝土密度(DENSb 和DENSp) 没有摄动，即这两个参数值在“真实结构”中和计算模型中没有偏差，但仍被 选为待修正参数；工况六：工况一的基础上，频率和振型均加入1%水平的高斯白噪声；工况七：工况一的基础上，频率和振型均加入5%水平的高斯白噪声。

采用三级标准评价模型修正的效果[]11：第一级，修正频段内的频率精度；第二级，修正频段外的频率精度；第三级，待修正参数的精度。这里，各项误差以5%为界限值，即相应的误差小于或等于5%时认为满足该级标准，否则认为不满足。

图6－图9所示的是三种方法在工况一下的优化迭代目标函数和神经网络训练误差收敛情况。由图8和图9可见，从总体上看，遗传算法具有随机搜索的特征，但每一代的进化过程基本是收敛的。三种方法修正后频率误差和参数误差如表2所示，修正后的参数值如表3所示。其中多岛遗传算法控制参数设置如下：染色体编码长度为16；岛屿数为2；子群体规模为10；工况一和五进化代数取30，其余工况取40；工况六交叉概率为0.6，其余为0.7；变异概率和迁移概率分别为0.05和0.5；迁移间隔取五代。

目标函数

计算次数

2.0x10

4.0x10

6.0x108.0x10

1.0x10

目标函数

计算次数

(a) 第一步优化 (b) 第二步优化

图6模型修正目标函数收敛过程

(工况一)

Fig. 6 Convergence of Objective Function During Model Updating (Case 1)

0100200

300400500600

0.0

0.20.40.60.81.01.21.4

1.6

1.8目标函数值

计算次数

工况一

图 7 工况一RBF 网络训练误差收敛图 图 8 多岛遗传算法目标函数值随计算次数变化情况Fig. 7 Convergence Diagram of RBF Networks

Training Errors for Case 1

Fig. 8 Change of Objection Function With Respect to

Calculation Times of MIGA

目标函数值

进化代数

0.0000

0.0001

0.00020.00030.00040.0005

0.0006目标函数值

进化代数 (a) 1~30代收敛情况 (b) 6~30代收敛情况

图 9 多岛遗传算法目标函数值随进化代数收敛情况

Fig. 9 Convergence of Objection Function with Respect to Generation of MIGA

如表2所示，各方法在工况一中的修正效果均达到了第三级标准，其中神经网络方法修正的参数值误差最小（RMS=0.957％）；工况二较工况一减少了五阶振型信息，各方法对参数值的修正精度均有所降低，基于经典优化的方法参数误差RMS 达到了9.554％，不满足

工况五由于参数误选，三种方法的结果均未能满足第三级标准，可见待修正参数选取的正确性对于修正效果的影响较大。这里，遗传算法得到的参数误差最低（RMS=6.421％）。对于噪声水平为1%的情况（工况六），基于经典优化的方法参数误差RMS 值达到了7.434％，故不满足第三级标准，神经网络和遗传算法均满足，参数误差RMS 值分别为2.618％和4.298％。可见在1％水平的噪声下，神经网络方法鲁棒性最好，遗传算法次之，基于经典优化的方法最差。

对于噪声水平为5%的情况（工况七），基于经典优化方法和多岛遗传算法修正频段内和修正频段外频率相对差RMS 最大分别为2.6943％和2.2231％，满足一、二级标准，但是参数相对误差RMS 值分别为14.189％和13.470％，不满足第三级标准。基于RBF 神经网络的修正方法则完全失效，各阶频率和参数的相对误差仍然维持在修正前的水平，可见在模态信息测量精度较低的情况下，RBF 神经网络方法不适于结构的动力模型修正。

遗传算法较其他两种方法最大的缺点是耗时长，由于只有一定规模的种群数量和进化代数才能保证最优值的逼近，适应度评价次数因此增多，计算时间增加。本文中将适应度评价次数控制在600~800次左右才能保证修正效果，每次修正需耗时3.5h 左右。基于经典优化的方法需要的迭代步在100～300，计算时间介于0.5~1.5h 之间。RBF 神经网络在训练样本生成完毕后，网络本身的训练时间在1分钟以内。

表2 三种方法相应工况的修正效果对比

Table 2 Comparison Between the Results of Three Methods in Each Case

相对误差RMS 值(%) 相对误差RMS 值(%) 工况 修正

方法 1～10 阶频率 11～20 阶频率

参数值

满足标准

工况修正方法

1～10阶频率11～20阶频率参数值 满足标准a 0.1028 1.0512 4.553 一、二、三 a 0.1182 1.398113.736 一、二 b

0.733 0.7948 0.957 一、二、三 b 0.79550.6728.127 一、二 一 c 0.1751 0.5046 3.702 一、二、三五 c 0.30820.4397 6.421 一、二 a 0.0454 0.0697 9.554

一、二

a 0.47840.56557.434

一、二

b

0.5813 0.794 1.909 一、二、三 b 1.26230.8429 2.618 一、二、三二 c 0.2987 0.7774 4.467 一、二、三六 c 0.53560.4965 4.298 一、二、三a 0.3703 0.566 8.629 一、二 a 2.6943 2.223114.189 一、二 b

3.2528 3.5596 7.084

一、二

b 21.40922.7616.691 无 三

c 0.5674 0.9512 4.419 一、二、三七

c 2.5962 2.01513.47

一、二

a 0.8172 0.7955 13.825 一、二 b

3.2923

4.0947 8.923

一、二

四 c

0.2851 0.6723 4.403 一、二、三

修正前

22.477

23.445

18.247

a: 基于经典优化方法的模型修正方法；b: 基于RBF 神经网络的模型修正方法；c: 基于多岛遗传算法的模型修正方法

本文总结和介绍了基于经典优化方法、基于神经网络和基于遗传算法的三种模型修正方法的原理和实现流程。分别以这三种方法对一座三跨刚构-连续梁桥进行了模型修正，通过对比分析，得到了以下结论：

(1) 无噪声影响的情况下，在测量模态信息量较充分时，神经网络能够得到优于另外两种方法的修正效果，在测量模态信息量较少时，遗传算法的修正效果最为理想，而基于经典优化的方法性能要低于另外两种；

(2) 三种方法中，基于经典优化方法的模型修正方法最容易陷入局部最优。该方法需要正确的选择待修正参数，较多的测量模态信息以及较高的模态测量精度才能保证参数集逼近全局最优点。

(3) 待修正参数选取的正确性对于修正效果的影响较大，参数误选时遗传算法的鲁棒性最强；

(4) 神经网络方法在低水平噪声下鲁棒性最好，然而当噪声水平较高时又容易失效，因此在模态信息测量精度比较低的情况下，RBF神经网络方法不适于结构的动力模型修正；

(5) 遗传算法最大的缺点是需要较多的适应度评价次数，对于实际复杂结构往往耗时量大。

表3 三种方法相应工况参数修正结果

Table 3 Updated Parameters of the seven cases with three methods

工况 修正

方法

Eb

(1010Pa)

Ep

(1010Pa)

DENSb

(103kg/m3)

DENSp

(103kg/m3)

Hb

(10-1m)

Hp

(10-1m)

Ka

(106N/m)

a 2.713 2.584 2.965 3.045 2.557 3.286 5.926

b 2.774 2.408 2.964 2.979 2.519 3.619 5.882

一

c 2.664 2.251 2.895 2.897 2.517 3.731 5.829

a 2.438 2.129 2.655 2.670 2.538 3.617 5.337

b 2.792 2.480 3.013 2.993 2.545 3.512 5.856 二

c 2.726 2.255 2.971 2.952 2.672 3.882 6.031

a 2.415 2.208 2.696 2.800 2.781 3.684 5.612

b 3.098 2.340 3.083 2.782 2.691 3.644 5.442 三

c 2.520 2.564 2.858 3.099 2.875 3.400 6.005

a 2.415 2.389 2.739 2.961 3.357 3.555 5.991

b 2.895 2.410 2.901 2.779 2.897 3.388 5.131 四

c 2.623 2.244 2.868 2.899 2.492 3.786 5.809

a 3.030 2.994 2.770 2.889 2.612 3.200 6.646

b 2.833 2.508 2.601 2.529 2.451 3.523 5.974 五

c 2.526 2.199 2.318 2.340 2.666 3.717 5.829

a 2.512 2.207 2.735 2.852 2.572 3.745 5.346

b 2.784 2.398 2.928 3.103 2.386 3.554 5.992 六

c 2.643 2.310 2.858 2.973 2.532 3.700 5.512

a 2.632 2.100 2.608 2.831 2.240 3.579 4.194

b 3.183 2.808 2.311 2.383 2.729 3.781 4.829 七

c 2.584 2.258 2.593 2.965 2.245 3.435 4.231

目标值 2.760 2.400 3.000 3.000 2.520 3.600 6.000

a: 基于经典优化方法的模型修正方法；b: 基于RBF神经网络的模型修正方法；c: 基于多岛遗传算法的模型修正方法

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Comparative Research on Dynamic Model Updating

Techniques Based on Bridge Structure

Li Jian

1 Harbin Institute of Technology Shenzhen Graduate School, Shenzhen, PRC, (518055)

Abstract

This paper firstly presents briefly the principles and steps of three typical model updating techniques, including classical optimization based method, neural network based method and genetic algorithm based method. Based on a FE model of a three-span continuous rigid frame bridge, the updating effects of the three techniques have been evaluated when different model information, different structural parameters and different level of noise are considered. In this paper, two-step optimization strategy including RSM-based modified method of feasible direction and sequential quadratic programming, RBF neural network and multi-island genetic algorithm have been utilized in the three methods, respectively. Finally, the advantages and shortcomings of the three techniques are summarized through comparative analysis, in order to provide some references for choosing model updating method in practical engineering.

Keywords:Model updating; Response surface model; Sequential quadratic programming; RBF neural networks; Multi-island genetic algorithm.

作者简介：李健，男，1985年生，硕士研究生（导师：欧进萍院士），主要研究方向是结构有限元模型修正。