2017年秋九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教案(新版)新人教版 (1)

2017年秋九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教案(新版)新人教版 (1)
2017年秋九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教案(新版)新人教版 (1)

实际问题与二次函数

教学内容

22.3 实际问题与二次函数(3).

教学目标

1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.

2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题.

教学重点

1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.

2.将实际问题转化成二次函数问题.

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题.

教学过程

一、导入新课

复习二次函数y =ax 2

的性质和特点,导入新课的教学.

二、新课教学

探究3 下图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m 时,水面宽4 m .水面下降1 m ,水面宽度增加多少?

教师引导学生审题,然后根据条件建立直角坐标系.怎样建立直角坐标系呢? 因为二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系. 教师可让学生自己建立直角坐标系,然后求出二次函数的解析式.

设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2.由抛物线经过点(2,-2),可得这条抛物线表示的二次函数为y =-2

1x 2.

当水面下降1m 时,水面宽度就增加26-4 m .

三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形,它的截面如右图所示,现测得,当水面宽AB =1.6 m 时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m .这时,离开水面1.5 m 处,涵洞宽ED 是多少?是否会超过1 m ?

分析:根据已知条件,要求ED 的宽,只要求出FD 的长度.在

如右图的直角坐标系中,即只要求出D 点的横坐标.因为点D

在涵洞所成的抛物线上,又由已知条件可得到点D 的纵坐标,

所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标.

2.让学生完成解答,教师巡视指导.

3.教师分析存在的问题,书写解答过程.

解:以AB 的垂直平分线为y 轴,以过点O 的y 轴的垂线为x 轴,建立直角坐标系. 这时,涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为

y =ax 2 (a <0) ①

因为AB 与y 轴相交于C 点,所以CB =AB 2

=0.8(m ),又OC =2.4 m ,所以点B 的坐标是(0.8,-2.4).

因为点B 在抛物线上,将它的坐标代人①,得-2.4=a ×0.82

所以

a =-154

因此,函数关系式是 y =-154x 2 ②

∵OC =2.4 m ,FC =1.5 m ,∴OF =2.4―1.5=0.9(m ).

将y =-0.9代入②式得

-0.9=-154

x 2 解得 x 1=56,x 2=―5

6. 涵洞宽ED =2

56≈0.98<1.

人教版九年级数学上册二次函数教案

教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.

初三数学上册《 二次函数》

21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)

3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0

初中数学二次函数专题复习教案

初中数学二次函数专题复习教案 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。 〖大纲要求〗 1.理解二次函数的概念; 2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象; 3.会平移二次函数y=a x2 (a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax +m)2 +k 的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想; 4.会用待定系数法求二次函数的解析式; 5.利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1)二次函数及其图象 如果y=ax 2+bx+c (a,b ,c 是常数,a ≠0),那么,y叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 (2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx +c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --,对称轴是a b x 2-=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。 抛物线y =a (x+h)2+k(a ≠0)的顶点是(-h ,k ),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y =(m-2)x2+m 2-m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数y =k x+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y =kx 2+bx -1的图像大致是( ) y 0 -1 x

(完整版)初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=

12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-m D . 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、(-1,1) B 、(1 ,1) C 、(0 , 1) D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = ( g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是( ) A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x = -+ D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++,若0a <,0c >,那么它的图象大致是( ) 21、根据所给条件求抛物线的解析式: (1)、抛物线过点(0,2)、(1,1)、(3,5) (2)、抛物线关于y 轴对称,且过点(1,-2)和(-2,0) 22.已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A (0,1),B (2,-1)两点. (1)求b 和c 的值; (2)试判断点P (-1,2)是否在此函数图像上? 23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边

九年级数学《二次函数的概念》教案 苏教版

【教学重点、 对二次函数概念的理解; 1)y=2x+1 (2)y=-x-4 (3)y= s=-2t-4 与半径之间的关系式是 。

y= ( 【巩固新知】 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=x 2 (2)y=2 1x - (3)y=x (1-x ) (4)y=(x-1)2-x 2 2、下列函数关系式中一定是二次函数的是( ) A 、y=2x B 、y=mx 2 C 、21x y = D 、y=(a 2+1)x 2 -ax+a (a 是常数) 3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个. y=(3x-1)2 -9x 2 y=(x+2)2 -4x y=x 2 x 1- y=ax 2 +bx+c x x y 3 = y=65121352-+-x x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5化成一般形式写出各项系数。 1、写出下列各问题中的函数关系式并指出自变量的取值范围: (1)正方形面积y 和边长x : ; (2)边长为3的正方形,边长增加x 时面积增加y ,则y 与x 关系: ; (3)等边三角形的面积S 与半径之间的函数关系: ;

(4)圆心角120°扇形面积S 与半径r 之间的关系式: 练习、篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 2、已知二次函数y=-x 2 +bx+3当x=2时y=3.求二次函数的解析式 练习:已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式。 【拓展升华】 1. 关于x 的函数y=(m+1)m m x -2是二次函数,求m 的值. 如果它是二次函数,则m+1应该 0,m 2 -m= ,所以m= 注意:二次函数的二次项系数不能为零 2. 若函数2 31--+=m m 2)x (m y 为二次函数求m 的值。

九年级数学一元二次函数教案

个性化教学辅导

设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 1.抛物线y =x 2 +2x -2的顶点坐标是 ( ) A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c <0 C A E F B D 第2,3题图 第4题图 3.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >0

九年级数学二次函数教学设计

二次函数的图象与性质 (第一课时) 【教学目标】 知识与技能 通过复习,掌握二次函数 y=ax2+bx+c图象与性质;掌握二次函数解析式求解方法和思路,提高学生的思维能力。 过程与方法 通过二次函数的相关基础知识的复习,培养学生对知识的整合能力和分析问题的能力。 情感态度与价值观 通过复习,激发学生兴趣,感受数学之美。在教学中渗透美的教育,渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索与创造,体验成功的喜悦。 【教学重点】 掌握二次函数y=ax2+bx+c图象与性质。 【教学难点】 会利用二次函数的图象及性质解题,掌握数形结合的思想方法。 【教学方法】 提问法,练习法,总结法 【教学准备】多媒体课件、作图工具 【课型】复习课 【教学过程】 一、创设情境,引入新课 函数问题作为初中数学的重点和难点,在实际生活中有着广泛的应用。二次函数更是历年中考的必考题和压轴题,本节课我们就共同来复习一下二次函数的图像和性质。 二、自主探究,合作交流 第一关知识要点说一说 (一)二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 请你写一个二次函数的解析式。 学生口述教师板书解析式。 课件展示问题: 下列函数中,哪些是二次函数? 1.y=x2 2. 3.y=x-x2 4. 5.y=x2+2x-4 学生口述,教师及时总结归纳。 二次函数的图象是一条抛物线。 利用课件展示图象草图。 1 2- + =x x y x x y 1 2- =

2当x 时,y 随x 的增大而增大, 当x 时,y 随x 的增大而减小, 当x 时,y 有最大值。 (三)用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数解析式时,如果已知抛物线上三点,用 式;如果已知抛物线的顶点坐标,用式;如果已知抛物线与x 轴的交点,用式。 利用课件展示问题。介绍求二次函数解析式的方法。 第二关 基础题目轮一轮 1.二次函数y=x 2 +2x+1写成顶点式为: 对称轴为_____,顶点为______。 2.已知二次函数y= - x 2 +ax-5的图象的顶点在y 轴上,则a=___。 第三关 典型例题显一显 例1已知二次函数y =x 2-4x +3. (1) 用配方法求其图象的顶点C 的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的变化情况; (2)求函数图象与x 轴的交点A ,B 的坐标及△AB C 的面积. 学生小组交流统一答案,学习好的帮扶学习差的,组长安排好组员代表本组进行班级展示; 解:(1)y =x 2-4x +3=x 2-4x +4-1 =(x -2)2-1, ∴其图象的顶点C 的坐标为(2,-1), ∴当x≤2时,y 随x 的增大而减小;当x>2时,y 随x 的增大而增大. (2)令y =0,则x 2-4x +3=0,解得x 1=1,x 2=3. ∴当点A 在点B 左侧时,A(1,0),B(3,0); 当点A 在点B 右侧时,A(3,0),B(1,0). ∴AB =2,过点C 作CD ⊥x 轴于点D , 则△ABC 的面积=12AB ·CD =?1 2 ×2×1=1.

最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线 h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0c ,与y 轴交于正半轴;③0

初三数学二次函数优秀教案

初三数学二次函数教案 二次函数在初三阶段会学习到,而且是数学学习重点,那么同学们应该如何掌握好二次函数的学习呢?教师又应该如何设计教案帮助同学们更好第学习二次函数呢? 教学目标: 1.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验。 2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。 3.能根据二次函数y=ax2的图象,探索二次函数的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标)。 教学重点:二次函数y=ax2的图象的作法和性质 教学难点:建立二次函数表达式与图象之间的联系 教学方法:自主探索,数形结合 教学建议: 利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时,应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,进行图象和图象之间的比较,表达式和表达式之间的比较,建立图象和表达式之间的联系,以达到学生对二次函数性质的真正理解。 教学过程: 一、认知准备: 1.正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么? 2.画函数图象的方法和步骤是什么?(学生口答)

你会作二次函数y=ax2的图象吗?你想直观地了解它的性质吗?本节课我们一起探索。 二、新授: (一)动手实践:作二次函数y=x2和y=-x2的图象 (同桌二人,南边作二次函数y=x2的图象,北边作二次函数y=-x2的图象,两名学生黑板完成) (二)对照黑板图象议一议:(先由学生独立思考,再小组交流) 1.你能描述该图象的形状吗? 2.该图象与x轴有公共点吗?如果有公共点坐标是什么? 3. 当x<0时,随着x的增大,y如何变化?当x>0时呢? 4.当x取什么值时,y值最小?最小值是什么?你是如何知道的? 5.该图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。 (三) 学生交流: 1.交流上面的五个问题(由问题1引出抛物线的概念,由问题2引出抛物线的顶点) 2.二次函数y=x2 和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点? 3.教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2 和y=-x2 图象,根据图象回答: (1)二次函数y=x2和y=-x2 的图象关于哪条直线对称? (2)两个图象关于哪个点对称? (3)由y=x2 的图象如何得到y=-x2 的图象? (四) 动手做一做:

初三二次函数复习教案.doc

名师精编优秀教案 龙文教育个性化辅导授课 教师:学生:时间:__2012_年__月日 内容二次函数 教学目的 1、理解二次函数及抛物线的有关概念 2、会根据图像上三点坐标或由图像的顶点坐标及另外一点的坐标确定二次函数解析式,会观察 图像,确定 a,b,c,的符号,能从图像上认识二次函数的性质 3、会求二次函数图像的顶点坐标、对称轴方程及其与x 轴的交点坐标,会借助平移理论知识来研究二次函数的最值问题 4、会构建二次函数模型解决以二次函数为基础的综合型题 重难点 二次函数图象及其性质,能把相关应用问题转化为数学问题,灵活运用二次函数分析和解决简单的 实际问题 教学过程 ①一般地,如果 y=ax2+bx+c( a, b, c 是常数且 a≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据. ②当 b=c=0 时,二次函数 y=ax2是最简单的二次函数. ③二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的三种表达形式分别为: 一般式: y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式; 顶点式: y=a(x-h)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式; 交点式: y=a( x- x1)( x- x2),通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标 x1,x2才能求出此解析式; 2 b ,4ac b2 2 对于 y=ax +bx+c 而言,其顶点坐标为(-2a 4a ).对于 y=a( x- h) +k 而言其顶点坐标为( h,k) 由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:开口方向,对称轴,顶点. 2 b ,最值为4ac b 2 ④二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴为 x=-2a 4a ,( k>0 时为最小值, k<0 时为最大值).由此可知 y=ax2的顶点在坐标原点上,且y 轴为对称轴即 x=0.

沪科版九年级数学上册《二次函数》教案

《二次函数》教案 教学目标 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系. 2、理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式. 3、会建立简单的二次函数的模型,并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 4、会用待定系数法求二次函数的解析式. 教学重点 二次函数的概念和解析式. 教学难点 利用条件构造二次函数. 教学设计 一、创设情境,导入新课. 问题1、现有一根12m长的绳子,用它围成一个矩形,如何围法,才能使矩形的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时,它的面积最大,他说的有道理吗? 问题2、很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 这些问题都可以通过学习二次函数来解决,今天我们学习“二次函数”(板书课题) 二、合作学习,探索新知. 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系: (1)面积y(cm2)与圆的半径x(cm). (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为x两年后王先生共得本息y元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形,周长为12cm,室内通道的尺寸如图,设一条边长为x(cm)种植面积为y(cm2). x

教师组织合作学习活动: 先个体探求,尝试写出y 与x 之间的函数解析式. 上述三个问题先易后难,在个体探求的基础上,小组进行合作交流,共同探讨. (1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000 (3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112 上述三个函数解析式具有哪些共同特征? 让学生充分发表意见,提出各自看法. 教师归纳总结:上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的形式. 板书:我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ,b ,c 是常数,a ≠0)的函数叫做二次函数. 称a 为二次项系数, b 为一次项系数,c 为常数项. 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项. 做一做 1、下列函数中,哪些是二次函数? (1)2x y =(2)21x y -=(3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项: (1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数,则m 的值为______________. 三、例题示范,了解规律. 例、已知二次函数q px x y ++=2 当x =1时,函数值是4;当x =2时,函数值是-5.求这个二次函数的解析式. 此题难度较小,但却反映了求二次函数解析式的一般方法,可让学生一边说,教师一边板书示范,强调书写格式和思考方法. 练习:已知二次函数c bx ax y ++=2,当x =2时,函数值是3;当x =-2时,函数值是2.求这个二次函数的解析式. 例、如图,一张正方形纸板的边长为2cm ,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm ),四边形EFGH 的面积为y (cm 2),求: (1)y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围. (2)当x 分别为0.25,0.5,1.5,1.75时,对应的四边形EFGH 的面积,并列表表示.

九年级数学二次函数教学案

第 14周第 1课时总第 43课时 课题:二次函数的定义 【学习目标】 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程,体会二次函数意义; 2.了解二次函数关系式,会确定二次函数关系式中各项的系数。 【学习重难点】 重点:二次函数的概念。 难点:确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习过程】 一、预习交流 1.思考: (1)已知圆的面积是Scm 2,圆的半径是Rcm ,写出圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式。 (2)已知一个矩形的周长是60m ,一边长是Lm ,写出这个矩形的面积S (m 2)与这个矩形的一边长L 之间的函数关系式。 (3)农机厂第一个月水泵的产量为50台,第三个月的产量y (台)与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示? 2.归纳: (1)函数解析式均为整式;(2)自变量的最高次数是2。 3.定义: 一般地,如果y=ax 2+bx+c (a ≠0),那么y 叫做x 的二次函数。 【注意】这里b ,c 没有限制,而a ≠0。 练习一:下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是二次函数?若是二次函数,指出a ,b ,c ? (1)y=2-3x 2; (2)y=x (x-4); (3)y= 2 1x 2-3x-1; (4)y= 4 1x 2+3x-8; (5)y=7x (1-x )+4x 2; (6)y=(x-6)(6+x )。 (7 ) y= 2 2561 x x - (8)y=(x-2)2 - x 2 ; 练习二:若函数( ) m m x m y --=2 12 是二次函数,则m 为 二、精讲点拨

例1.当k 为何值时,函数2 (1)1k k y k x +=-+为二次函数? 例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数. ⑴圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系; ⑵某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系; ⑶菱形的两条对角线的和为26cm ,求菱形的面积S (cm 2)与一对角线长x (cm )之间的函数关系. 例3.已知二次函数2y ax =,当3x =时,5y =-。当5x =-时,求y 的值. 三、拓展延伸 1.考察下列函数:①2 13y x =+,②2 251y x x =-+,③3(1)y x x =-, ④3y x =-, ⑤234v t t =-(t 是自变量)中,二次函数是: 。 2.若一个边长为x cm 的无盖..正方体形纸盒的表面积为y cm 2 ,则 ___________y =,其中x 的取值范围是 。 3.一矩形的长是宽的1.6倍,则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式:S = 。 4. 如图在长200米,宽80米的矩形广场内修建等宽的 十字形道路,请写出绿地面积y (㎡)与路宽x (m)之间 的函数关系式:y = 。 5. 如图,用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园,写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数 关系式:y = 。 6.已知函数2 7 (3)m y m x -=-是二次函数,求m 的值. 四、系统总结 学生谈谈自己的收获 五、限时作业

(完整)初三数学二次函数经典习题

初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 2 2 3x y -=

11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-m D . 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、(-1,1) B 、(1 ,1) C 、(0 , 1) D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = ( g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是( ) A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x =- + D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++,若0a <,0c >,那么它的图象大致是( ) 21、根据所给条件求抛物线的解析式: (1)、抛物线过点(0,2)、(1,1)、(3,5) (2)、抛物线关于y 轴对称,且过点(1,-2)和(-2,0) 22.已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A (0,1),B (2,-1)两点.

人教版九年级上册数学二次函数知识点总结

二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质:

1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

最新人教版初中九年级上册数学《二次函数》教案

第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 【知识与技能】 1.能结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】 通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式,在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】 在探究二次函数的学习活动中,体会通过探究发现的乐趣. 【教学重点】 结合具体情境体会二次函数的意义,掌握二次函数的有关概念. 【教学难点】 1.能通过生活中的实际问题情境,构建二次函数关系; 2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 一、情境导入,初步认识 问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体,它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为,y是x的函数吗? 问题2 n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n 有什么关系?这就是说,每个队要与其他个球队各比赛一场,整个比赛场次数应为,这里m是n的函数吗?

问题3 某种产品现在的年产量为20t ,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 值而确定,y 与x 之间的关系应怎样表示? 二、思考探究,获取新知 全班同学合作交流,共同完成上面三个问题,教师全场巡视,发现问题可给予个 别指导.在同学们基本完成情形下,教师再针对问题2,解释m=12 n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因;针对问题3,可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t ,第三年产量为20(1+x)(1+x)t ,得到y=20(1+x)2. 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式,体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一. 思考函数y=6x 2,m=12n 2-12 n,y=20x 2+40x+20有哪些共同点? 【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中,教师应关注:(1)语言是否规范;(2)是否抓住共同点;(3)针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导,让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习. 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的,从而引出二次函数定义.一般地,形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中x 是自变量,a 、b 、c 分别是二次项系数,一次项系数和常数项. 【教学说明】 针对上述定义,教师应强调以下几个问题:(1)关于自变量x 的二次式必须是二次整式,即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式;(2)二次项的系数a ≠0是定义中不可缺少的条件,若a=0,则它是一次函数;(3)二次项和二次项系数不同,二次项指ax 2,二次项系数则仅是指a 的值;同样,一次项与一次项系数也不同. 教师在学生理解的情况下,引导学生做课本P29练习. 三、运用新知,深化理解 1.下列函数中,哪些是二次函数,哪些不是?若是二次函数,指出它的二次项系数、一次项系数和常数项: (1)y=(x+2)(x-2); (2)y=3x(2-x)+3x 2; (3)y=2 1x -2x+1;

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