2017年秋九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(第3课时)教案(新版)新人教版 (1)
实际问题与二次函数
教学内容
22.3 实际问题与二次函数(3).
教学目标
1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.
2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题.
教学重点
1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.
2.将实际问题转化成二次函数问题.
教学难点
将实际问题转化成二次函数问题.
教学过程
一、导入新课
复习二次函数y =ax 2
的性质和特点,导入新课的教学.
二、新课教学
探究3 下图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m 时,水面宽4 m .水面下降1 m ,水面宽度增加多少?
教师引导学生审题,然后根据条件建立直角坐标系.怎样建立直角坐标系呢? 因为二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系. 教师可让学生自己建立直角坐标系,然后求出二次函数的解析式.
设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2.由抛物线经过点(2,-2),可得这条抛物线表示的二次函数为y =-2
1x 2.
当水面下降1m 时,水面宽度就增加26-4 m .
三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形,它的截面如右图所示,现测得,当水面宽AB =1.6 m 时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m .这时,离开水面1.5 m 处,涵洞宽ED 是多少?是否会超过1 m ?
分析:根据已知条件,要求ED 的宽,只要求出FD 的长度.在
如右图的直角坐标系中,即只要求出D 点的横坐标.因为点D
在涵洞所成的抛物线上,又由已知条件可得到点D 的纵坐标,
所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标.
2.让学生完成解答,教师巡视指导.
3.教师分析存在的问题,书写解答过程.
解:以AB 的垂直平分线为y 轴,以过点O 的y 轴的垂线为x 轴,建立直角坐标系. 这时,涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为
y =ax 2 (a <0) ①
因为AB 与y 轴相交于C 点,所以CB =AB 2
=0.8(m ),又OC =2.4 m ,所以点B 的坐标是(0.8,-2.4).
因为点B 在抛物线上,将它的坐标代人①,得-2.4=a ×0.82
所以
a =-154
因此,函数关系式是 y =-154x 2 ②
∵OC =2.4 m ,FC =1.5 m ,∴OF =2.4―1.5=0.9(m ).
将y =-0.9代入②式得
-0.9=-154
x 2 解得 x 1=56,x 2=―5
6. 涵洞宽ED =2
56≈0.98<1.
人教版九年级数学上册二次函数教案
教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
初三数学上册《 二次函数》
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初中数学二次函数专题复习教案 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。 〖大纲要求〗 1.理解二次函数的概念; 2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象; 3.会平移二次函数y=a x2 (a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax +m)2 +k 的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想; 4.会用待定系数法求二次函数的解析式; 5.利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1)二次函数及其图象 如果y=ax 2+bx+c (a,b ,c 是常数,a ≠0),那么,y叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 (2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx +c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --,对称轴是a b x 2-=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。 抛物线y =a (x+h)2+k(a ≠0)的顶点是(-h ,k ),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y =(m-2)x2+m 2-m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数y =k x+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y =kx 2+bx -1的图像大致是( ) y 0 -1 x 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 【教学重点、 对二次函数概念的理解; 1)y=2x+1 (2)y=-x-4 (3)y= s=-2t-4 与半径之间的关系式是 。 y= ( 【巩固新知】 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=x 2 (2)y=2 1x - (3)y=x (1-x ) (4)y=(x-1)2-x 2 2、下列函数关系式中一定是二次函数的是( ) A 、y=2x B 、y=mx 2 C 、21x y = D 、y=(a 2+1)x 2 -ax+a (a 是常数) 3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个. y=(3x-1)2 -9x 2 y=(x+2)2 -4x y=x 2 x 1- y=ax 2 +bx+c x x y 3 = y=65121352-+-x x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5化成一般形式写出各项系数。 1、写出下列各问题中的函数关系式并指出自变量的取值范围: (1)正方形面积y 和边长x : ; (2)边长为3的正方形,边长增加x 时面积增加y ,则y 与x 关系: ; (3)等边三角形的面积S 与半径之间的函数关系: ; (4)圆心角120°扇形面积S 与半径r 之间的关系式: 练习、篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 2、已知二次函数y=-x 2 +bx+3当x=2时y=3.求二次函数的解析式 练习:已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式。 【拓展升华】 1. 关于x 的函数y=(m+1)m m x -2是二次函数,求m 的值. 如果它是二次函数,则m+1应该 0,m 2 -m= ,所以m= 注意:二次函数的二次项系数不能为零 2. 若函数2 31--+=m m 2)x (m y 为二次函数求m 的值。 个性化教学辅导 设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 1.抛物线y =x 2 +2x -2的顶点坐标是 ( ) A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c <0 C A E F B D 第2,3题图 第4题图 3.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >0 二次函数的图象与性质 (第一课时) 【教学目标】 知识与技能 通过复习,掌握二次函数 y=ax2+bx+c图象与性质;掌握二次函数解析式求解方法和思路,提高学生的思维能力。 过程与方法 通过二次函数的相关基础知识的复习,培养学生对知识的整合能力和分析问题的能力。 情感态度与价值观 通过复习,激发学生兴趣,感受数学之美。在教学中渗透美的教育,渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索与创造,体验成功的喜悦。 【教学重点】 掌握二次函数y=ax2+bx+c图象与性质。 【教学难点】 会利用二次函数的图象及性质解题,掌握数形结合的思想方法。 【教学方法】 提问法,练习法,总结法 【教学准备】多媒体课件、作图工具 【课型】复习课 【教学过程】 一、创设情境,引入新课 函数问题作为初中数学的重点和难点,在实际生活中有着广泛的应用。二次函数更是历年中考的必考题和压轴题,本节课我们就共同来复习一下二次函数的图像和性质。 二、自主探究,合作交流 第一关知识要点说一说 (一)二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 请你写一个二次函数的解析式。 学生口述教师板书解析式。 课件展示问题: 下列函数中,哪些是二次函数? 1.y=x2 2. 3.y=x-x2 4. 5.y=x2+2x-4 学生口述,教师及时总结归纳。 二次函数的图象是一条抛物线。 利用课件展示图象草图。 1 2- + =x x y x x y 1 2- = 2当x 时,y 随x 的增大而增大, 当x 时,y 随x 的增大而减小, 当x 时,y 有最大值。 (三)用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数解析式时,如果已知抛物线上三点,用 式;如果已知抛物线的顶点坐标,用式;如果已知抛物线与x 轴的交点,用式。 利用课件展示问题。介绍求二次函数解析式的方法。 第二关 基础题目轮一轮 1.二次函数y=x 2 +2x+1写成顶点式为: 对称轴为_____,顶点为______。 2.已知二次函数y= - x 2 +ax-5的图象的顶点在y 轴上,则a=___。 第三关 典型例题显一显 例1已知二次函数y =x 2-4x +3. (1) 用配方法求其图象的顶点C 的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的变化情况; (2)求函数图象与x 轴的交点A ,B 的坐标及△AB C 的面积. 学生小组交流统一答案,学习好的帮扶学习差的,组长安排好组员代表本组进行班级展示; 解:(1)y =x 2-4x +3=x 2-4x +4-1 =(x -2)2-1, ∴其图象的顶点C 的坐标为(2,-1), ∴当x≤2时,y 随x 的增大而减小;当x>2时,y 随x 的增大而增大. (2)令y =0,则x 2-4x +3=0,解得x 1=1,x 2=3. ∴当点A 在点B 左侧时,A(1,0),B(3,0); 当点A 在点B 右侧时,A(3,0),B(1,0). ∴AB =2,过点C 作CD ⊥x 轴于点D , 则△ABC 的面积=12AB ·CD =?1 2 ×2×1=1. 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0初中数学二次函数专题复习教案
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