北师大版数学八下第五章《分式与分式方程》全章导学案

第五章 分式与分式方程

第一节 认识分式（一）

【学习目标】

1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；

2、能用分式表示简单问题数量之间的关系；

3、会判断一个分式何时有意义；

4、会根据已知条件求分式的值。

【学习重难点】重点：掌握分式的概念；

难点：正确区分整式与分式。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1、分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成A

B

的形式，如果 中含有字母，那么我们称

A

B

为__________ 2、分式与整式的区别：分式一定含有分母，且分母中一定含有 ；而整式不一定．．．含有分母，若含有分母，分母中一定不含有字母。 3、分式有意义、无意义或等于零的条件： （1）分式

A

B 有意义．．．

的条件：分式的 的值不等于零； （2）分式

A

B

无意义．．．的条件：分式的 的值等于零； （3）分式

A

B

的值为零的条件：分式的 的值等于零，且分式的 的值不等于零； 4、阅读教材：第一节《认识分式》 二、教材精读

5、理解分式的概念

2

53817233312y x x x xy y x y x y x x -++-，　

，　，－，－，　，　，　？

些是整式？哪些是分式 在下列式子中，哪例π

分析：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式。

提示：π是一个常数，而不是字母。

解：

注意：理解分式的概念，应把握以下三点：（1）分式

A

B

中，A 、B 是两个整式，它是两个整式相除的商，

分数线由括号和除号两个作用，如

n

m n

m -+可以表达成()()n m n m -÷+；（2）分式A B 中

B 一定含有字

母，而分子A 中可以含有字母，也可以不含字母；（3）分式中，分母的值是零，则分式没有意义，如分式

1

1

-y 中，

.1,01≠≠-y y 即

6、有意义？取何值时，

当例1

1

2-x x 分析：根据分式有意义的条件进行计算，此题即为求分母不等于零时x 的取值范围。

模块二 合作探究 7、 下列代数式：132m -

，31，x π

，1x ，1x

x -，32(1)x y x x --，其中是分式的有：

_________________________________ _________.

8、当x 取何值时，下列分式有意义？

()

x 211 ()3x 71x 32-- ()1x x 32+

9、当x 取何值时，下列分式无意义？

()2x

5x 1- ()5

x 61x 22-+ ()2

x 3x 3+-

10、当x 取何值时，下列分式的值为零？

()x

x +21 ()

x x 342- ()4

52

33-+x x

()

3

3

||4+-x x ()86452+-x x

模块三 形成提升

1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

①5x －7，②3x 2

－1，③123+-a b ，④7

)

(p n m +，⑤72，⑥1222-+-x y xy x ，⑦c b +54答：

______________________________.（填序号）

2、当x 取何值时，分式21

32

x x +-无意义？

3、当x 为何值时，分式 2

32

-+x x 的值为正？

4、若分式224

2

x x x ---的值为零,则x 的值是____________。

模块四 小结评价 一、本课知识点： 1、分式的概念：__________________________________________________________________ 2、分式有意义、无意义或等于零的条件： （1）分式

A

B

有意义．．．的条件：分式的 的值不等于零； （2）分式

A

B

无意义．．．的条件：分式的 的值等于零； （3）分式

A

B

的值为零的条件：分式的 的值等于零，且分式的 的值不等于零； 二、本课典型例题：

三、我的困惑：

第五章 分式与分式方程

第一节 分式（二）

【学习目标】1、让学生初步掌握分式的基本性质；

2、掌握分式约分方法，熟练进行约分；

3、了解什么是最简分式，能将分式化为最简分式；

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：掌握分式的概念及其基本性质；

难点：正确区分整式与分式，以及运用分式的基本性质来化简分式。

【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1．分式的基本性质：分式的 和 都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整．．．．．．．．．

式．

，分式的值不变。用字母表示为：A A M B B M ?=

?，A A M

B B M

÷=÷（M 是整式，且M ≠0）。 2．约分：

（1）概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为__________ （2）约分的关键．．

：找出分子分母的公因式； 约分的依据．．

：分式的基本性质； 约分的方法．．：先把分子、分母分解因式（分子、分母为多项式时），然后约去它们的公因式，约分的最后结果是将一个分式变为最简分式或整式。 3．最简分式：分子与分母没有____________的分式叫做最简分式。

二、教材精读

()()()() ； 质填空： 利用分式的基本性例y

x x xy x b a ab b a +=

+=+2

22211分析：解有关分式恒等变形的填空题，一般从分子或分母的已知项入手，观察变化方式，再把未知项作相应的变形。本题中0,0≠≠x a 是隐含条件。

注意：（1）要深刻理解“都”与“同”的含义，“都”的意思是分子与分母必须同时乘（或除以）同一个

整式，“同”说明分子与分母都乘（或除以）的整式必须是同一个整式。 （2）在分式的基本性质中，要重视0≠M

这个条件，如

y x

xy

=，隐含着0≠x 这个条件，所以等式是正确的，但

xy

y x =1，分子、分母同乘y ，由于没有说明0≠y 这个条件，所以这个等式变形不正确。 （3）若原分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子或分母用括号括上，再

乘或除以整式M ，如：

y x y x y x y x y x y x y x y

x 4015301260)3

4(60)2151(3421513421

2.0+-=

?+?-=+-=+-

。 （4）分式的分子、分母或分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，如：

B

A

B A B A B A --=--=--=;若只改变其中一个的符号或三个符号，则分式的值变成原分式的值的相反数，如B

A

B A B A B A B A -=---=--=-=-. 模块二 合作探究

4、填空：(1) x x x 3222+= ()3+x (2) 3

2

386b

b a =() 33a （3)

c a b ++1=()cn an +

(4) ()2

22y x y x +-=()

y x - 5、约分：（1）c ab b a 2263 （2）2

228mn

n

m （3）532164xyz yz x - （4）x y y x --3)(2

6、代数式①222

4(2)a b a b -+，②2

3ab b

-，③22x y x y ++，④2222x y x y -+中，是最简分式的是___________________ .（填序号） 模块三 形成提升

1、填空：

（1）()2a b ab a b += （2） ()

22

x xy x y

x ++= 2、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

(1) 233ab y x -- (2) 2317b a --- （3) 2

135x

a -- (4) m

b a 2)(-- 解：

3、判断下列约分是否正确： （1）

c b c a ++=b a （ ） （2）2

2y x y x --=y

x +1

（ ） （3）n m n m ++=0（ ） 4、把分式

2ab

a b

+中的,a b 都扩大为原来的3倍，则分式的值变为原来的 倍。 5、⑴化简分式2239m m m -- ⑵已知345

x y z

==

，求23x y x y z +-+的值。 模块四 小结评价

一、本课知识点： 二、本课典型例题：

第五章 分式与分式方程

第二节 分式的乘除法

【学习目标】

1、经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性；

2、会进行简单分式的乘除法计算，具有一定的化归能力；

3、在学知识的同时学到类比转化的思想方法，受到思维训练，能解决与分式有关的简单实际问题；

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】重点：掌握分式的乘除法法则；

难点：熟练地运用法则进行计算，提高运算能力。

【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1、分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相乘的积作为积的 ；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 。

2、分式乘除法运算步骤和运算顺序：

（1）步骤：对分式进行乘除运算时，先观察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，若能分解因式的应先分解因式。当分解因式完成以后，要进行____________，直到分子、分母没有______________时再进行乘除。

（2）顺序：分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同，一般从左向右，有除法的先把除法转化为乘法。 二、教材精读

3、()2

22244229164311y x x

y y xy x y x x y y x +-?

+--?２ ） 计算：（例 分析：（1）题中分子、分母都是单项式，可直接运用法则计算；（2）应先分解因式，然后约分，但需注意符号的变化。

模块二 合作探究 4、计算：

（1）222c a b ab c ? （2）223425n m m n -? （3）2222412144

a a a a a a --?-+++

（4）285y

xy x

-÷ (5) 27y x x ??÷- ??? (6) 269(3)2y y y y -+÷-+

5、计算：)22(22)1(11)1(1)1(22222a

b ab

b a a b ab ab a x x x x -÷-÷+--+?-÷--） （

模块三 形成提升

1、计算：（1）231x y x y ??

?- ???

（2）2510321b bc ac a ??÷- ??? （3）222432a b ab ab a b -?-

（4）x y y x x y y x -÷-?--9)()

()(34

3

2 （5）22222)(x y x xy y xy x x xy -?+-÷-

2、计算： (1))6(43826

4

2

z y

x y

x y x -÷?- (2)9323496222-?+-÷-+-a a b a b a a

(3)229612316244y y y y y y --÷+?-+- (4)xy

y xy

y x xy x xy x -÷+÷-+2

22)(

模块四 小结评价 一、本课知识点：

1、分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相乘的积作为积的 ；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 。 二、本课典型例题：

第五章 分式与分式方程

第三节 分式加减法（一）

【学习目标】

1、会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力；

2、能解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型作用；

3、结合已有数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气； 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】重点：分式的通分；

难点：如何确定最简公分母。

【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1、同分母分式相加减：

（1）法则：同分母的分式相加减， 不变，把 相加减。 （2）注意：①字母表示为：

a c a c

b b b

±±=

。 ②“分子相加减”是各个分式的“分子整体”相加减，即各个分子都应有括号。

当分子为单项式时，括号可以省略；当分子为多项式时，括号不能省略。

③分式加减运算的结果，必须化为最简分式或整式。 2、分式的通分： （1）概念：根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母分式的过程，叫分式的________。 （2）通分的方法：先求各分式的_____________-，然后用每一个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘相应分式的分子、分母； （3）通分的依据：________________________。 二、教材精读

3、进一步理解同分母的分式相加减的法则：

2

222246342239311x

y y

x y x x y x x x --+-----） （） 计算：（例 分析：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，结果要化成最简分式或整式；（2）因为

)4(42222y x x y --=-，把分式化成同分母后，依同分母分式加减法法则运算。

4、通分：

33,22,,2)1(x y b y x a ab x ab c b a --）　（　

模块二 合作探究

5、分式33x x y -，221x y -，y

x y

+的最简公分母是

6、计算：(1) 22233343365cba b a c ba a b bc a b a +--++ (2) 2

222224323a b b

a b a b a b a a b ----+---

模块三 形成提升 1、通分：（1）321ab 和c

b a 2

252 （2）xy a 2和23x b （3）223ab c 和28bc a -

2、计算：（1）9

6

312

-++a a （2）b a b a b a b a b a b a b a b a ---+-----+-87546563

（3）

12

2+++-+-b a a

b a b a b

模块四 小结评价 一、本课知识点：

1、同分母分式相加减：法则：同分母的分式相加减， 不变，把 相加减。

2、分式通分的概念：根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母分式的过程，叫分式的____________。

二、本课典型例题：

三、我的困惑：

第五章 分式与分式方程

第三节 分式加减法（二）

【学习目标】

1、会进行异分母分式的通分；

2、会进行异分母分式的加减运算；

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：掌握异分母分式的加减运算；

难点：分式的混合运算，异分母分式相加减要先通分，通分时注意分子和分母同乘以一个整式，避免出现分母乘分子不乘的错误；进行分式运算时要注意运算顺序。 【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备：

1、异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为______________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

2、分式的混合运算：

与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘除，后算加减，遇有括号，先算括号内的。

3、确定最简公分母的一般步骤：①取各分母的_________的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式都要取；

③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取__________________的； ④如果分母是多项式，一般应先__________________________________。 二、教材精读：

3、进一步理解异分母分式的加减法法则

a

ab ab a a a c a b cd d c -+

+-+1

3423121112222） （） （） （例分析：先找最简公分母，再通分把它们化成同分母分式，然后再相加减。

模块二 合作探究

4、11

)1(2

+-+y y y 计算： （2）4116142+---+-x x x x x

5、的值。

求2

22,2y x y y x y y x x y x --+--=

6、用两种不同的运算顺序计算x x x x x -???

? ??+--222x

7、计算： x x x x x x x x -÷??

? ??+----+444122

2

2

模块三 形成提升 1、计算：（1）1

1

1+-x （2）n m n n m n m ---+22 （3）13122--+-a a a a

2、计算：（1）2112++-++x x x x （2）a a a 111-+- （3）4

4

222

2-+--+a a a a a

3、计算： (1) )1)(1(y x x

y x y +--+ (2) 222

42)44122(a

a a a a a a a a a -÷-?+----+

模块四 小结评价 一、本课知识点：

异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为______________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 二、本课典型例题： 三、我的困惑：