函数对称性、周期性全解析
函数对称性周期性全解析及练习答案
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：
我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的
探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+
)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，
)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2
2)()(b a x b x a x +=-++=
对称
（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++
b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。
若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2
,2(
c b a + 对称
（3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，
都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆
04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。
4、 周期性：
（1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为
A 、)()(x f T x f -=+
B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=
+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)
(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形
（2）函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出
)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即
可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于
x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为
kT T x 22
+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ）
如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22
(kT T +)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）
（4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是
以4T 为周期的周期性函数。如果偶函数)(x f y =满足)
()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
二、 两个函数的图象对称性
1、 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2
b a x +=
对称。 熟悉并理解上述结论，可帮助我们快速完成下列习题。
⒈ 若)x 2(f y =的图象关于直线2a x =和)a b (2
b x >=对称，则)x (f 的一个周期为 A. 2b a + B. )a b (2- C. 2
a b - D. )a b (4- ⒉ 设函数)x (f y =是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知]2,2[x -∈时，函数1x )x (f 2+-=，则]2,6[x --∈时，=)x (f .
⒊ （2007天津，7）在R 上定义的函数)x (f 是偶函数，且)x 2(f )x (f -=，若)x (f 在 区间]2,1[上是减函数，则)x (f
A. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是增函数
B. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数
C. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数
D. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是减函数
⒋（2005天津，16）设)x (f 是定义在R 上的奇函数，且)x (f y =的图象关于直线21x = 对称，则=++++)5(f )4(f )3(f )2(f )1(f .
⒌（2006山东，6）已知定义在R 上的奇函数)x (f 满足)x (f )2x (f -=+，则)6(f 的值为
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
⒍ 已知偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+，且当]0,1[x -∈时，9
43)x (f x +=， 则)5log (f 3
1的值等于
A. 1-
B. 5029
C. 45
101 D. 1 ⒎（2006广东佛山）设)x (f 为R 上的奇函数，且0)3x (f )x (f =++-，若1)1(f -=-， 2l o g )2(f a <，则a 的取值范围是 .
⒏ 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)x (f 1)2x (f =
+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 A. 5 B. 5- C. 51 D. 5
1- ⒐（山东临沂）已知定义在R 上的函数)x (f y =满足下列三个条件：
① 对于任意的R x ∈，都有)x (f )4x (f =+；
② 对于任意的2x x 021≤<≤，都有)x (f )x (f 21<；
③ 函数)2x (f y +=的图象关于y 轴对称。
则下列结论正确的是
A. )5.15(f )5(f )5.6(f >>
B. )5.15(f )5.6(f )5(f >>
C. )5.6(f )5.15(f )5(f >>
D. )5.6(f )5(f )5.15(f >>
⒑（江苏盐城）定义在),(∞+∞-上的偶函数)x (f 满足)x (f )1x (f -=+，且在]0,1[- 上是增函数，下面是关于)x (f 的判断：
① )x (f 是周期函数；
② )x (f 的图象关于直线1x =对称；
③ )x (f 在]1,0[上是增函数；
④ ).0(f )2(f =
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。
⒒（2005广东，19，12分）设函数)x (f 在),(∞+∞-上满足)x 2(f )x 2(f +=-， )x 7(f )x 7(f +=-，且在闭区间]7,0[上只有.0)3(f )1(f ==
⑴ 试判断函数)x (f y =的奇偶性；
⑵ 试求方程0)x (f =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论。
⒓ 函数)x (f y =的图象为1C ，1C 关于直线1x =对称的图象为2C ，将2C 向左平移2个单位后得到图象3C ，则3C 对应函数为
A. )x (f y -=
B. )x 1(f y -=
C. )x 2(f y -=
D. )x 3(f y -= ⒔ 函数)R x ()x (f y ∈=满足)x (f 是偶函数，又2003)0(f =，)1x (f )x (g -=为奇函数，则
=)2004(f .
答案：⒈ D ；⒉ 1)4x ()x (f 2++-=；⒊ B ；⒋ 0；⒌ B ；⒍ D ；⒎ 1a >或21a 0<< ⒏ D ；⒐ A ；⒑ ①②④；⒒ ⑴ 非奇非偶函数；⑵ 802个根；⒓ A ；⒔ 2003.
1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2；
B ．3；
C ．4；
D ．5
（ ） 2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=
则=)5(f （ ） A ．0 B ．1 C ．25 D ．5
3．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )
A 、2005
B 、2
C 、1
D 、0
4． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直
线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）
(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；
(C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<
5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1
f x
g x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222
-x x C .122-x D.1
22-x x 6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x ) =1)1(),2
3(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）
A ．–2
B ．–1
C ．0
D ．1
7.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
(1)(1)(x f x x f x +=+，则5(())2
f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.52
8.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2
f ＝ ．
9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()
111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_
10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线
21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。
11：已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (1
2)=－1,当且仅当0 都有f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),试证明: (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减. 12. 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值5-. ①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式. 13．设x x e a a e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）证明f （x ）在（0，+∞）上是增函数． 14．设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ； (Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记n a ＝ｆ（２ｎ＋ n 21），求n a ． 答案 1\d 2\b 3\b 4\b 5\c 6\c 7\a 7.解析：令21-=x ，则0)2 1()21(21)21(21)21(21=?=-=-f f f f ；令0=x ，则0)0(=f 由(1)(1)()xf x x f x +=+得)(1)1(x f x x x f +=+，所以 0)0())2 5((0)21(2 123 35)23(35)23(2325)25(==?=?===f f f f f f f ，故选择A 。 8.－2 9. 11.证明: (1)由f (x )+f (y )=f (xy y x ++1)可令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (1x x x --)=f (0)=0. ∴f (x )=－f (－x ). ∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减. 令0 1121x x x x --) ∵0 2121x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<21121x x x x --<1,由题意知f (2 1121x x x x --)<0， 即 f (x 2) 12.解：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f += ②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->， 由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2()2(2)5(1f x x x =--≤≤ ③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =， 又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，f (x )=-3x ， 从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，f (x )= -3x ，. ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴0. 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=-- ∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤?=?--<≤? 13. （I ）解：依题意，对一切R x ∈有)()(x f x f -=，即,1x x x x ae ae e a a e +=+ 所以0)1)(1(=--x x e e a a 对一切R x ∈成立. 由此得到,01=-a a 即a 2=1. 又因为a ＞0，所以a=1. （II ）证明一：设0＜x 1＜x 2， )11)((11)()(2112212121--=-+ ---+x x x x x x x x e e e e e e e x f x f ,1)1(1212121x x x x x x x e e e e ++--?-= 由,0,0,0,0211221>+>->>x x x x x x 得.01,011212<->-+-x x x x e e ,0)()(21<-∴x f x f 即f （x ）在（0，+∞）上是增函数． 证明二：由x x e e x f -+=)(得).1()(2-=-='--x x x x e e e e x f 当),0(+∞∈x 时，有,01,02>->-x x e e 此时.0)(>'x f 所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数． 14.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０， 2 1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）, 所以 2 2)]4 1([)41()41()4141()21()]2 1([)21()21()2121()1(]1,0[,0)2 ()2()22()(f f f f f f f f f f x x f x f x x f x f =?=+==?=+=∈≥?=+= ｆ（１）＝ａ＞0， ∴4121)4 1(,)21(a f a f == (Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ， 将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ 这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵]21)1(21[)21()21 (n n n f n n f f ?-+=?= n n f n f n f n f n n f n f )]21([)21()21()21( ]21)1[()21( =???==?-?= 21 )2 1(a f = ∴n a n f 21)21(= ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2 ∴ｆ（２ｎ＋n 21）=ｆ（n 21）,因此a n =n a 21