6-2012级高数A(1)期末考试试题&&答案

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湖南大学课程考试试卷

6．曲线1ln (0)y x e x x ??

=+

> ??

?

的斜渐近线为 . 7. 设x e -是()f x 的一个原函数，则()f x dx '=?

.

8

．11

(x -+=? . 9.

1min ,2x e dx +∞-?

?= ??

??

.

10.曲线1()2

x x

y e e -=

+上相应于x 从1-到1的一段弧的长度s = . 11.已知一阶线性常微分方程()x y p x y e '+=有特解,x y xe = 则该微分方程

的通解为 .

二．计算题（每小题8分，共48分）

1．求101tan lim .1sin x x x x →+??

?+??

2．设2sin 1ln tan ,2cos 224x x y x π??

=

++ ?

??

求.dy dx

3.方程2

2tan()sec x y x x y t dt ---=?

确定隐函数(),y y x = 求22.d y

dx

湖南大学课程考试试卷

湖

南

大

学教务处考

试中

心

4

．求.dx ?

5. 设2

1

(),t x f t e dx -=?

求1

20

().t f t dt ?

6. 求微分方程2cos y y x ''+=的通解.

三. 应用题 (12分)

过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线

241y x x =-+-所围成的图形面积最小？

湖南

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试卷

湖

南大学教务

处考

试

中心

四．证明题( 7分)

设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且有 ()2

21(),

(),2

b a

f a a f x dx b a ==

-?

求证：在(,)a b 内至少存在一点,ξ 使得()() 1.f f ξξξ'=-+

高数A(1)(A 卷)期末考试题参考答案

一. 填空题(每小题3分，共33分)

(1) 1,;e (2) 0,1; (3) 0;

22111();28

x x o x =+-+ (5)

1;4 (6) 1;y x e =+ (7) ;x e C --+ (8) ;2π

(9) 1(ln 21);2

+ (10) 1;e e

- (11) ().x y x C e =+ 二. 计算题(每小题8分，共48分) 1. 解. 3

3

11

001tan tan sin lim lim 11sin 1sin x x x x x x x x x →→+-??

??=+ ? ?++??

?

? ()()

1()

tan sin lim 1(),()1sin x x x x x x

x x x ????→-?

?=+=

??+?

?

因为 ()1()

lim 1(),

x x x e ??→+=

3

30

0()

tan sin 1

lim

lim

,(1sin )2

x x x x x x x x ?→→-==+

所以

原式.= 解法二. 原式＝?

??

???

??? ??++→x x x x sin 1tan 1ln 1lim

exp 3

0 ?

??

?

??+-+=→30

)sin 1ln()tan 1ln(lim exp x x x x

??

?????

???????+-+=→2203sin 1cos tan 1sec lim exp x x x x x x ?

??

???+++-+=→)sin 1)(tan 1(3cos )tan 1(sec )sin 1(lim exp 220x x x x x x x x e = 解法三. 原式?

??

???

??? ??++=→x x x x sin 1tan 1ln 1lim

exp 3

0 ????

??+-?=→x x x x x sin 1sin tan 1lim exp 3

e =

解法四. 原式31

0sin 1sin tan 1lim x x x x x ??? ?

?

+-+=→ 3

1

0sin 1)cos 1(tan 1lim x x x x x ??

? ??+-+=→ 3

1

3

021lim x x x ???

? ??+

=→ e =

2. 解：3222

243

sin 2cos 4sin cos cos 2sin ,2cos 4cos 2cos x x x x x x

x x x '++??== ???

21111ln tan sec 2

242224tan 24x x x πππ'??????

+=???+ ? ? ?????????+ ???

1

2c o s

x =

31.cos dy dx x

=

3. 解法一. 方程两边同时对x 求导，得

222[sec ()](1)[sec ()](1)x y y x y y ''--?-=-?-

2sin ()y x y '=-

2sin()cos()(1)y x y x y y '''=---32sin()cos ().x y x y =--

解法二. 由所给方程可得

)tan(y x x -= 两边同时对x 求导，得

)(sec )1(12y x y -'-=

2sin ()y x y '=- 以下同解法一。 4．解法一.

12dx =-

?

212???

?

??

=--???

????

?

?

3

a r c s i n (21).2

x C =+-+ 解法二

.

dx =?

令1

1sin ,,2

2

2

2

x u u π

π

-=-

<<

则

31sin 22dx u du ??

==+ ????

? 31

cos 22u u C =

-+

3arcsin(21).2

x C =-- 解法三.

12dx =-

?

()()

?

?

-+---=2

2

2

132)

(x x d

x x x x d ()C x x x ++--=arcsin 32

5．解. 2

(1)0,()t f f t e -'==

()1123

01()()3t f t dt f t d t =?

?1

3130

1()()33t f t t f t dt '=-?

213013t t e dt -=-? ()

2

12016

t t d e

-=? 121.6e ??=- ???

6. 解. 齐次方程0y y ''+=的通解为

12cos sin .y C x C x =+

211cos cos222

x x =+ 非齐次方程12y y ''+=

的特解11.2

y *

= 设非齐次方程1cos22

y y x ''+=

的特解为2cos2sin2,y A x B x *=+ 代入计算得1

,0,6

A B =-= 于是得2

1cos2.6

y x *

=- 原方程的通解为

1211

cos sin cos2.26

y C x C x x =++

- 三．解. 抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为

22,y ax a =-

这条切线与抛物线241y x x =-+-的两个交点的横坐标记为1x 和2x (不

妨设21(),x x > 则1x 和2x 是方程

222(2)10x a x a +-+-=

的两个根，从而得

21212211,2(2),x x a x x a x x ?=-+=--=上述切线与抛物线 241y x x =-+-所围成的平面图形面积 21

22(412)x x S x x ax a dx =-+--+?

3

2

24(243)3

a a =-+

12

2

()8[2(1)1](1).S a a a '=-+-

令()0S a '=得唯一驻点1,a =当1a <时，()0;S a '< 当1a >时， ()0,S a '> 所以1a =为极小值点，即最小值点，也就是说，1a =时所围图形面

积最小。

四. 证

()221

()[()]0.2

b b a

a

f x dx b a f x x dx =-?

-=?

?

由积分中值定理知，存在点(,),c a b ∈ 使得().f c c =

构造函数

()(()),x F x e f x x -=-

对函数()F x 在区间[,]a c 上应用罗尔中值定理即可得证。