随机过程习题答案A
随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度
（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）
（b）由于：
因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；
（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：
（b）当的时候，和线性相关，即
3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为
，且是一个周期为T的函数，即，试求方差
函数。
解：由定义，有：
4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数，为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式：
我们有的联合分布密度为：
因此有：
且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且
所以。
（4）由于：
所以因此
当时，
当时，
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
当i =j 时；否则
令
，则有
第三讲作业：
P111/7．解：
（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：
P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：
（2）由齐次马氏链的性质，有：
（2）
，
因此：
P112/9．解：
（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：
；
计算有：
，递推得到
，因此有：
P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：
由此可得特征值为：
，及特征向量：
，
则有：
因此有：
（1）
令矩阵
P112/12．解：
设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：
第四讲作业：
P113/13．解：画出状态转移图，有：
P113/14. 解：画出状态转移图，有：
P113/16．解：画出状态转移图，有：
（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。
（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、
2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。
（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，
故2为常返态；，故3、4为非常返态。
第六讲作业：
P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：
（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：
解得极限分布即可。
P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，
因此可计算极限分布如下：
解以上方程，得极限分布：
P115/19．解：见课上讲稿。
P116/21．解：记，则有：
（1）因为：
(A)
当时，有：
由（A）可得：
当且时，有：
由（A）可得：
当且时，有：
由（A）可得：
另外：下列等式是明显的
因此我们有：
即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：
（2）画出转移矩阵图，可得：
由：及，并且取，由递归可得：
（3）由于：
因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。
（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T 就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：
随机过程习题解答（二）
P228/1。证明：由于t s <，有
{}{}{}
{}{}
n t N P k n s t N P k s N P n t N P n t N k s N P n t N k s N P =-=-?==
=
====
==)(})({)()()(,)()(/)(
其中
{})
()!
())((!)(})({)(s t k n s k e k n s t e k s k n s t N P k s N P ------?=-=-?=λλλλ
{}t
n e n t n t N P λλ-==!
)()(
所以
{}k
n k k n k n k k t
n s t k n s k k s k s k n k n k n t s t t s e n t e k n s t e k s n t N k s N P --------??? ?
?-??? ?????? ??=--=--?=
==1)!(!!
)(!)()!
())((!)()(/)()
(λλλλλλ
证毕。
P229/3. 解：（1）因为}0),({≥t t N 是一Poission 过程，由母函数的定义，有：
()(
)
()()
(
)()
)
()(})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({)()()(0
0000000)(s s s j t N P s
l t N P s l k t N P s
l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P l t N P s k t N P s t N t N j j
l l
l k l
k l l
l l
k l k l k k
l l k l k k k l k k
t t N ?∞
=∞
=∞
=-∞
=∞
=∞
=-∞
==-∞
==∞
=?+ψ?ψ=?=??==?-=??==??
?????-=???==???????-=???==???????-=??==?==ψ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）有上面（1）的结果，可得：
t
s s t s s s t
s s t
s t N t t N t N t N t N t t N t t N t t N ?-ψ?ψ=?ψ-ψ?ψ=?ψ-ψ=?ψ??→??→??+→?1
)()()
()()()
()(?)()(0
)()()()(0
)()(0
)(lim
lim
lim
（3）当t ?充分小时，由于：
[][]∑∑∞
=∞
=???+??+?+??+?-=?=?=ψ2
100
)()()()(1})({)(k k
k k
t N s t s t t s t t s s t N P s οολολ
因此，当1
)1()()(1
)(20)(0
lim lim
-=???+??+?+?-=?-ψ∑∞=→??→?s s t
t t t s t t t
s k
k t t N t λοολλ
由（2）的结果，我们有：
)()1()()()(s s t
s t N t N ψ-=?ψ?λ
P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：
t s t N N t N t N e s s s s t s )1()()0()()()(1)()()1()
(-=ψ???
?
?
?=ψψ-=?ψ?λλ （2）由于)()(s t N ψ是随机过程)(t N 的母函数，且t s t N e s )1()()(-=ψλ，将函数t s e )1(-λ关于)1(
∑∞
=--??==ψ0
)1()(!)()(k k
t k t
s t N s e k t e
s λλλ
由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：
2,1,0,!
)(})({=?==-k e k t k t N P t
k λλ
P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：
{}
{
}
[]
{}
{}()
n
Y u i n t
n Y Y Y u i n t
n t X u i n t X u i t X e E e n t e E e n t n t N e E n t N P e E u n 1
210
)(0)
()(!)(!)()(})({)(??=??==?===Φ∑∑∑∞
=-++∞
=-∞=λλλλ
令{}
)(11u e E Y Y u i φ=，则有：
[]{}
1)(exp !
))(()(110
)(-=?=Φ∑
∞
=-u t e n u t u Y n t n
Y t X φλφλλ （*）
若),2,1( =n Y n 的概率分布为：
2
122
11}1{,
}1{λλλλλλ+=
-=+=
=n n Y P Y P
则
{}u i u i Y u i Y e e e E u n
n
-?++
?+=
=2
122
11)(λλλλλλφ （**）
将（**）代入（*），我们有：
{}
t
e t e t e e t u u i u i u
i u i t X )(exp 1)(exp )(212121221121)(λλλλλλλλλλλλ+-+=??
??
????????-?++?++=Φ--
P230/7. 解：先求}0),({0≥t t N 的特征函数：
{}{}
{}{}
{}{
}{}
t e
t e t e e t e e t e m e t e n e t e
e m t e e n t e
E e
E e E e E u u
i u i t
u i t u i m t
m
u i n t n
u i m
u i m t m n u i n t n t N u i t N u i t N t N u i t N u i t N )(exp exp exp !)
(!)(!)(!)()(2
1
2
1
)(210
)
(201)(0201)
()()
())
()(()()(212121212100λλλλλλλλλλλλλλλλ+-+=???=???=?????=?===Φ----∞
=--∞
=--∞=-∞
=---∑∑
∑∑
由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知}0),({0≥t t N 是复合Poission 过程。
P231/10. 解：由于
{}{}{}
n t X t X t X P n t X t X t X j t X k t X P n t X t X t X j t X k t X P =++=++===
==++==)()()()()()(,)(,)()()()()(,)(3213212132121
因为)(t X i 的母函数为：
{}t s s i t N )1(ex p )()(-=ψλ，
由独立性，可知)()()(321t X t X t X ++的母函数为：
()(){}∏=-++=ψ=ψ3
1321)
()(1ex p )()(i t X
t X t s s s λλλ，
所以)()()()(321t X t X t X t X ++=是参数为321λλλ++的泊松过程，即
{}()()()t
n e
n t n t X t X t X P 3
21
!
)()()(3213
21λλ
λλλλ++-++==++
因此我们有：
{}()()()()()()n
j
k n j k t
n t
k
j n t
j
t
k
j k n j k n e
n t e
k j n t e
j t e
k t n t X t X t X j t X k t X P )()!(!!!
!
)!(!!
)()()()(,)(32132132111132121321321λλλλλλλλλλλλλλλλλλ++?
--=++--?
?
=
=
=++==--++------
P231/12. 解：（1）由
{}())
(}1)({1})({}1)(,1)({}0)(,)({)(t o t P k t X P t P k t X P t X k t X P t X k t X P k t t X P r r ?+?-=+?-==+=?-=+=?===
=?+λλ 令0→?t ，有
)()()
(1t P P t P P dt
t dP k r k r k -=+λλ 解得
{}t
P k r r e k t P k t X P λλ-==!
)()(
（2）由（1）知，)(t X 服从参数为r P λ的泊松分布。
P232/15. 解：（1）以)(t ξ表示t 时刻系统中不正常工作的信道数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：}2,1,0{=S ，Q 矩阵为：
???
?? ?
?-+--=μμλμλμ
λ
λ220)(022Q （2）令：
????
?
??=)()
()()()()
()()()
()(222120
121110020100t p t p t p t p t p t p t p t p t p t P 则前进方程为：
???
?
?==?3
3)0()()
(I P Q t P t d t P d （3）令：
})({)(j t P t p j ==ξ
)0,0,1()0(,))(),(),(()(210==p t p t p t p t p
写出福克－普朗克方程：
???
??==)
0,0,1()0()()(p Q t p t d t p d
即有：
????????
???===-=++-=+-=0
)0(,0)0(,1)0()(2)()
()
(2)()()(2)()()(2)
(2102122101100p p p t p t p t d t p d t p t p t p t
d t p d t p t p t d t p d μλμμλλμλ 做Laplac
e 变换，令：
2,1,0,))(()(==n t p L s n n π
则有：
???
??-=++-=+-=-)
(2)()()(2)()()(2)()()(21)(212
2101100s s s s s s s s s s s s s πμπλππμπμλπλππμπλπ 由上解得：
)
()(2)]()][(2[2)3()(220μλμλμλμλμλμπ++++++=+++++++=s C
s B s A s s s s s s
其中：
2
2222)(2,)(,)(μλμλμλλμλμ+=+=+=C B A
因此求
))(()(010s L t p π-=
即可。
（4）t t t B A B A e e e t T P t T P t T t T P λλλ2}{}{},{---==>>=>>
P233/16. 解：（1）令)(t ξ表示t 时刻系统中正在用电的焊工数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：},,2,1,0{m S =。 （2）Q 矩阵为：
???????
? ?
?---+---+--=μμ
λ
λμμλλμμλλ
m m m m m m m m Q 0
00)2(])2(2[20
00
)1(])1([000 （3）令：
})({)(j t P t p j ==ξ
)0,,0,0,1()0(,))(,),(),(),(()(210
==p t p t p t p t p t p m
写出福克－普朗克方程：
???
??==+?)
1(1)0,,0,0,1()0()()(m p Q t p t d t p d
（4）画出状态转移率图，可得∞→t 时的平衡方程：
?????
???
??
??
?==+++-=+-+=+-=∑=-+-1)1()1(])[(2])1[(0
1
1
12011
0m n n m
m n n n p p
m p p n p n m p n n m p
p m p m p p m μλμλμλμλμλμλ 由此可得：
)1()1()(1011=-=
=-+-=+---+p p m p n p n m p n p n m n n n n μλμλμλ
即有：
0)1()(1=+--+n n p n p n m μλ
m n p n n m p n n ,,2,1,0,)1()(1 =??+-=
+μ
λ
由此可以求得：
m n p C p m n n m n n m p n
n m n
n ,,1,0,11)()1(00 =???
? ??=????? ?????--?+-=μλμλ 由 10
=∑=m
n n p ，即可确定0p ，最终得到所要的结果。
P233/17. 解：（1）由于：)0,,(,>=+=a n a n n n μλμμλλ
可以得到此过程的Q 矩阵：
??????
??
??
?
?+++-+++-+++--=
a n a n n a
a a
a a a Q λμλμ
λμλμ
λμλμ]
)([02)
22(2000)
(0
00
令：
})({)(j t P t p j ==ξ
),)(,),(),(),(()(210
t p t p t p t p t p n =
写出福克－普朗克方程：
?
??????
?????
???+++++-+-=+++-+=+++-=+-=+- )()1()(])([)(])1[()
()
(3)(])(2[)()()
()
(2)(])[()()()()()
(1132122
101100t p n t p a n t p a n t d t p d t p t p a t p a t
d t p d t p t p a t p a t d t p d t p t p a t d t p d n n n n μμλλμμλλμμλμ 初始条件：)(0)0(,
1)0(00n j p p j n ≠==。
（2）由数学期望的定义：
∑∑∞
=∞
====1
)()()(?)}({n n n n t p n t p n t M t E ξξ
由此，我们有：
{}[]
[]
)
()()()()()1()()()()1()()()1()()()()1()()()()1()(])([)(])1[()()()(1
1
110
1
1111
11111
1t M a t p n a t p n t p n t p n n t p a t p n t p n t p n n t p na t p na t p n t p a n t p a n n t d t p d n t p n t d d t
d t M d n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ξξμλμλμμλλμμλλμμλλ-+=-+=+++--+=+++--++
-=++++-+-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞
=∞
=+-∞=∞
=+-∞
=∞
=-∞=+-∞
=∞
=
即可得到描写)(t M ξ的微分方程：
??
?
?
?=-+=0)0()()()
(n M t M a t d t M d ξξξμλ （3）解上面的微分方程，我们有：
[]
t t e a
e n t M )()(01)(μλμλξλ
μ----+
=
P233/19. 解（1）根据题意得到Q 矩阵为
??
?
???
???
?
?????
?????+-+-+--=
λλμμλλμμλλμμλλ)(0)
2(2000)(00
n n Q
由福克－普朗克方程得：
?????≥+++-=+-=+-)1()()1()()()()
()
()()
(11100n t p n t p n t p dt
t dp t p t p dt t dp n n n n μμλλμλ （2）
∑∑∑∑∑∞
=-∞=∞
=+∞
=+-∞
=++-==+++-+++-='=??0
1
1
11110
0)()()()()]()1()()()([)()()(),(n n n n n
n n n n n n n n n n n n
u t p n u t p n u
t p t p n t p n t p t p t p u t p t t u G μμλλμμλλμμλ
而
∑∞
=--=??-0
1)()1()
,()1(n n n u t np u u t u G u μμ
因此
左边=∑∑∞
=∞
=+-0
01
)()(n n n n n n u t p u
t p λλ
右边=∑∑∑∞
=∞
=+∞
=-=-=-0
1
)()()()1(),()1(n n n n n n n n
n u t p u
t p u t p u t u G u λλλλ
左边=右边，证毕。 （3）将)]1([),(-=-u e f e
t u G t u μμ
λ
代入左边。
右边
),()1()]1([)1())]1([)]1([()1()()1()]1([左边=-=-???-=?-'+-???-+?-?-?-'?=-----t u G u u e f e
u e u e f u e f e u e u u e f e
t u u t t u t
t u λλμ
λμμμμ
λμ
λ
μμμλ
μμμ
λ
（4）由1)0,(=u G ，有
1)1(=-u f e
u μ
λ
即
u e
u f μ
λ-
=-)1(
进而有
)
1()(+-=u e
u f μ
λ
所以
)1)(1())1((),(t e u t
u e
u e
f e
t u G μμ
λ
μμ
λ----=-=
（5）令
x e t =--)1(μμ
λ
，由(4)的结论 +-++-+-+==-!
)1(!2)1()1(1),(22)
1(n u x u x u x e
t u G n
n u x
其中n u 对应的系数为
()()
x n n n n n n e n x n x C n x C n x -++=++++-+!
)!2()!1(!22
11 所以
?
?????-=----n t e n e n e
t p t )]1([!1)()
1(μμ
λ
μλμ （6）
)1()1()]1([!1)1()]1([)!1(1)]1([!1)()()
1()
1(0)
1(1)1(1
)
1(1
t e t e n n t t
e n n t e n n t e n n e e e e e n e e e n e e n ne
t np t M t
t t t t μμλ
μμ
λμμμ
λμμ
λ
μμ
λξμ
λ
μ
λμλμλμ
λ
μλμμμμμ-----∞
=----∞=---∞
=---∞=-=
?-?=-?-?=--=?
?????-==-----∑∑∑∑ （7）由(5)的结论，知
μ
λμ
λμ-
--→∞
→∞
==-e
e
t p t e t t )
1(0lim )(lim
P236/24解：
(1) 根据题意得Q 矩阵
??
?
????
?
????????+-+--=
0)(000)
(000
λλμαμα
λ
λμαμαλ
λQ
由平衡方程，有
?????
????=++-=++-=+-+-
)(0
)(0
1
121010n n n p p p p p p p p αμαμλλαμαμλλαμλ 因此有 αμλ
=+i i p p 1，进而 ),2,1,0(0
=???
? ??=n p p n
n αμλ
因为
11000=???
?
???=∑∑∞
=∞
=n n
n n p p αμλ 所以，当
1<αμ
λ
时系统平稳。 ),2,1,0(1 =?
??
? ?????? ??-=n p n
n αμλαμλ
(2) λ
αμλ
μμ
μ
-?
=
=
=∑∑
∞
=∞
=11
n n n n Q np p n
W
(3) 前)1(-n 次以概率α-1重新排队，第n 次以概率α离开，所以()αα?--1
1n 即为所求。
(4) ()
()αμ
αμαααμ
11101
01
=-=?-=∑∑
∞=-∞
=-n n n n n n
T
26．解
(1) 设系统状态为不工作机器的数量，则{}3,2,1,0=S ，得Q 矩阵
?
?
???
?
???
???-+-+--=μμλλμμλλμμλ
λ3300
)2(2002)2(00
33Q
列出平衡方程
??????
?=-=-+-=++-=+-0
303)2(202)2(30
3323212
1010p p p p p p p p p p μλμμλλμμλλμλ 其中：8
110
1==μλ
解得
729
64,729
240
,729
300
,729
1253210=
=
=
=
p p p p 所以
729
972
)(3
0=
=∑=n n np t M ξ (2) 729
2432
)72964729240(8)(832=
+=+=p p T
P237/28. 解：（1）设泊松分布第1-n 个事件发生与第n 个事件发生的时间间隔n X 的特征函数为：)(u n X Φ，则有：
)}1(exp{)(-=Φu i X e u n μ
由于}{n X 是独立同分布的，根据 ∑==n
k k n X S 1 以及特征函数的性质可知：
[][]
)}1(exp{)}1(exp{)
()(-=-=Φ=Φu i n
u
i n
X S e n e
u u n n μμ
因此可知n S 是服从参数为μn 的泊松分布，即：
,2,1,0,!
)(}{===-k e k n k S P n k n μ
μ
（2）由：}{}{)})({1t S P t S P n t N P n n ≤-≤==+可知：
∑∑=+-=-+-==][0
)1(]
[0!])1[(!)(})({t k n k t k n k e k n e k n n t N P μ
μμμ
附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：
一阶拟线性方程的一般形式：
),,(),,(),,(u y x c u u y x b u u y x a y x =+
一阶线性方程的一般形式：
),(),(),(),(y x d u y x c u y x b u y x a y x +=+
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程习题答案A
随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2）
期末随机过程试题及标准答案
《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 第二章 随机过程分析 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程 (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程 (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5) =≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程 (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程 (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程 (t )在任意给定时刻t 的取值 (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==， 求： 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( · 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??= - 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F ] 解：（1）先求)21 ,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然???-=?? ?=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p ? 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 随机过程复习 一、回答： 1 、 什么是宽平稳随机过程？ 2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？ 3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？ 4 、 什么是白噪声？性质？ 二、计算： 1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中 是常数， A 、B 是相互独 立统计的高斯变量， 并且 E[A]=E[B]=0 ， A 2 ]=E[ B 2 ]= 2 。求： X (t) E[ 的数学期望和自相关函数？ 2 、判断随机过程 X (t ) A cos( t ) 是否平稳？其中 是常数，A 、 分 别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 a f ( ) 1 2 ； f A ( a) a 2 e 2 2 a 0 2 3 、求随机相位正弦函数 X (t) A cos( 0 t ) 的功率谱密度， 其中 A 、 0 是常数， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。 4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos( 0 t) 的自相关 函数及谱密度。 其中， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与 相互独立的随机过程。 5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y 是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利 分布，其概率密度为 x 2 x 2 e 2 2 x 0 f A (x) 0 x 0 试证明 X (t ) 为宽平稳过程。 解：（ 1） m X (t) E{ Acos( 0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )} x 2 x 2 2 e 2 2 dx y)dy 0 与 t 无关 2 cos( 0t 0 （ 2） X 2 (t) E{ X 2 (t )} E{ A cos( 0t Y)}2 E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 ) 3 x 2 t E( A 2 ) x 1 2 t 2 e 2 2 dt ， 2 e 2 2 dx 2 t t t te 2 2 |0 e 2 2 dt 2 2e 2 2 |0 22 所以 X 2 (t ) E{ X 2 (t )} （3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]} E[ A 2 ] E{cos( 0t 1 Y ) cos( 0t 2 Y)} 2 2 2 1 0t 1 0t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy [cos( 2 2 2 cos 0 (t 2 t 1 ) 只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。 6 、 设随机过程 X (t ) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0,1] 区间 上的均匀分布。 （ 1 ）求 （ 2 ）求 X (t ) X (t ) 的一维概率密度和一维分布函数； 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】随机过程习题和答案
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