第十二章 无穷级数复习题

一: 选择题

1.lim 0n n u →∞

=是级数1

n n u ∞

=∑收敛的 【 B 】

(A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件

2.若级数1

n n u ∞

=∑收敛于S ,则级数11

()n n n u u ∞

+=+∑ 【 C 】

(A)收敛于2S （B ）收敛于12S u + (C) 收敛于12S u - (D)发散 3.级数

111113

35

57

79

+

+

+

+???? 【 B 】

(A)发散 （B ）收敛且和为

12

(C) 收敛且和为2 (D) 收敛且和为1

4.设a 为非零常数,且级数1

n

n a r

∞

=∑

收敛,则 【 D 】

(A)1r < （B ）1r ≤ (C) r a ≤ (D) 1r >

5.部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞

=∑收敛的 【 C 】

(A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件

6.下列结论正确的是 【 A 】

(A)若2

1

n

n u ∞

=∑,21

n

n v ∞

=∑都收敛,则21

()n n n u v ∞

=+∑收敛

(B) 若1

n n n u v ∞

=∑收敛,则21

n

n u ∞

=∑,2

1

n n v ∞

=∑都收敛

(C) 若正项级数1

n n u ∞

=∑发散,则1n u n

≥

(D) 若1

n n u ∞

=∑收敛,且n n u v ≥,则1

n n v ∞

=∑发散

7.判别交错级数1111112221

2

123

3

3

n

n -

+

-

++

-

+-

-

-

的敛散性时下列说法中正确的

是 【 D 】 (A)因lim 0n n u →∞

=,故收敛

(B)因lim 0n n u →∞

=,且1n n u u +>,故由莱布尼兹判别法知级数收敛

(C)因为级数11123n n n ∞

=?? ?

- ? ?-?

?∑收敛,故原级数收敛

(D)以上三种做法都是错误的

8.设2

n n

n a a p +=

,2

n n

n a a q -=

,1,2,n = ,则下列命题正确的是 【 B 】

(A)若1

n n a ∞

=∑条件收敛,则1

n n p ∞

=∑与1

n n q ∞

=∑都收敛

(B) 若1

n n a ∞

=∑绝对收敛,则1

n n p ∞

=∑与1

n n q ∞

=∑都收敛

(C) 若1

n n a ∞

=∑条件收敛,则1

n n p ∞

=∑与1

n n q ∞

=∑敛散性不定

(D) 若1

n n a ∞

=∑绝对收敛,则1

n n p ∞

=∑与1

n n q ∞

=∑敛散性不定

9.设1

n n a ∞

=∑收敛,则1

1

n n n a a n

∞

+=∑

的敛散性是 【 D 】

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定 10.

)

1

sin n ∞

=∑的敛散情况是 【 A 】

(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛

(C)通项极限不为零,发散 (D) 通项极限为零,但发散

二: 填空题

1.级数0(ln 3)2

n

n

n ∞

=∑

的和为

22ln 3

-

2. 级数1

1

(1)(2)

n n n n ∞

=++∑

的和为

14

3.

幂级数0

n

n ∞

=∑

的收敛域是 [)1,1-

4. 幂级数1

112!n

n n n n x n ∞

=??-

???

∑

的收敛域是 22

[,)e e -

5.幂级数()

21

1

32

n n

n

n n

x

∞

-=-+∑

的收敛半径___________R

=6.幂级数()

21

19

n

n

n x n ∞

=-?∑

的收敛域是 (2,4)-

7.

函数项级数()

1

2n

n x ∞

=-∑

的收敛域是 1x < 或3x >

8.设幂级数0

n

n n a x ∞=∑的收敛半径是3,则幂级数()

1

1n n n na x ∞

+=-∑的收敛区间为

(2,4)- 9.2x

y =的麦克劳林公式中n

x 项的系数是 (l n 2)

!

n

n

10.函数2()ln(1)f x x x =++在0x =处的幂级数展开式是

3(1)1

1

1

1

1

n n n n x

x

n n -+∞

∞

==-+

++∑

∑

三；综合题:

1. 设级数1

n n a ∞

=∑,1

n n b ∞

=∑都收敛,且(1,2,)n n n a u b n ≤≤= ,求证级数1

n n u ∞

=∑收敛

证明: 由(1,2,)n n n a u b n ≤≤= 0(1,2,)n n n n u a b a n ?≤-≤-=

又因为级数1

n n a ∞

=∑,1

n n b ∞

=∑都收敛,所以由级数性质知1

()n n n b a ∞

=-∑也收敛,

再由比较判别法知, 级数1

()n n n u a ∞

=-∑收敛,

而级数1

1

1

()n n

n n n n n u u

a a ∞

∞

∞

====

-+∑∑∑,所以由级数性质知1

n n u ∞

=∑收敛.

2.设有方程10n

x nx +-=,其中n 为正整数,证明: (1)此方程存在唯一实根n x ;

(2)当1α>时,级数1

n n x α

∞

=∑收敛.

证明(1)取()10n n f x x nx =+-=,则()n f x 在[]0,1上连续,且(0)10n f =-<,

(1)0n f n =>,由零点存在定理可知存在()0,1n x ∈,使()0n n f x =,

又1()0n n f x nx n -'=+>,[)0,x ∈+∞?()n f x 在[)0,+∞上严格递增

?方程10n

x nx +-=存在唯一正实根()0,1n x ∈.

(2)由10n x nx +-=且()0,1n x ∈,有

11100(1)n

n

n n x x x n

n

n

α

α

α-<=

<

?<<

>

又1

1n n

α

∞

=∑

收敛?

1

n

n x

α

∞

=∑收敛.

3.设40

tan n

n a xdx π

=

?

,

(1)求()21

1n n n a a n

∞

+=+∑

的值,

(2)试证:对任意常数0λ>,级数1

n n a n

λ

∞

=∑

收敛.

解: (1) ()2

2

44420

tan tan

tan 1tan n

n n

n n a a xdx xdx x x dx π

π

π

+++=+

=

+??

?

4

2

1

440

11tan sec tan tan tan

1

1

n n

n x xdx xd x x

n n π

π

π

+=

=

=

=

++?

?

所以 ()21

1

111(1)

n n n n a a n

n n ∞

∞

+==+=

=+∑

∑

.

(2) 令tan t x =,arctan x t =

1142

110tan 11

n n

n

n t

a xdx dt t dt t

n n

π

<=

=

<

=

<

++?

?

?

,

对任意常数0λ>11λ?+>110n a n

n

λ

λ

+?<

<,

又11

1n n

λ

∞

+=∑

收敛,由比较判别法知, 级数1

n n a n

λ

∞

=∑

收敛.

4.判别级数2

1sin ln n n n π∞

=??

+

???

∑的敛散性.

解: ()11sin 1sin ln ln n

n n n π?

?+

=- ?

?

?, 当2n ≥时,10ln 2

n

π

<<

, 1sin

0ln n

>,故原级数是交错级数,又因为

11

sin

sin

ln ln ()11ln ln n n n n n n

n

=

?→+∞→∞ 故级数2

1sin

ln n n ∞

=∑发散,即原级数不绝对收敛.

设()1()sin

2ln f x x x

=≥,因10ln 2

x

π

<

<

,由2

111

()cos

0ln ln f x x x x

??'=-?< ???,因此()f x 单调减少, 当2n ≥时,(1)()f n f n +<,即

11sin sin ln(1)

ln n n

<+,且1lim sin

0ln n n

→∞

=

由莱布尼茨判别法知,原级数收敛,故原级数条件收敛. 5.设121a a ==,11(2,3,)n n n a a a n +-=+= ,证明当12

x <时,幂级数11

n n n a x ∞

-=∑收敛,并

求和函数.

证明:由题设可知0n a >(1,2,3,)n = ,且n a 单调增加,而

112n n n n a a a a +-=+< 即 1lim

2n n n

a a +→∞

≤

故级数的收敛半径12

R ≥,因而当12

x <

时,幂级数11

n n n a x ∞

-=∑收敛.

设 1

1

()n n n f x a x

∞

-==

∑

(12

x <

)

则1123

()n n n f x a a x a x ∞

-==++∑

1

1

2

2

2

11n

n

n

n n

n n n n x a

x x a

x a

x ∞

∞

∞

+-====++

=++

+

∑∑∑

1

2

2

1

2

2

1n n n n n n x x a x

x

a

x ∞

∞

---===+++∑∑

1

2

1

1

1

1n n n n

n n x a x

x

a

x

∞∞

--===++∑∑

2

1()()xf x x f x =++

故 2

1()1f x x x

=

-- (12

x <

)

6.求级数()2

1n n n x ∞

=+∑的和函数.

解: 因为

2

12

(2)1()(1)

n n

a n n a n ++=

→→∞+

当1x =±时,lim n n a →∞=∞,故级数发散.从而收敛区间为(1,1)-,令

()

2

()1(1)n

n f x n x

x ∞

==

+<∑

于是

()1

1

2

()1()1(1)x n n n n x x f x dx n x

x x

x x

x ∞∞

++=='??

'=

+===

?--??

∑∑?

, 两边求导得 3

1()(1)x f x x +=

-, (1)x <

7.求级数1

3n

n n x

n

∞=∑

的和函数,并求1

1

(1)

3n n

n n

+∞

=-∑

的和.

解: 因为

11

31()3

(1)

3

n

n n n

a n n a n ++=

→

→∞+

当3x =时,原级数为1

1n n

∞

=∑

,是调和级数,故级数发散;当3x =-时,原级数为1

(1)n

n n

∞

=-∑

,级

数收敛.从而收敛区间为[3,3)-,令

1

()(33)3

n

n

n x

f x x n ∞

==

-≤<∑

于是 111

1

1

11()3

3

3

3n n n

n n n x

x f x x

--∞

∞

-=='==

=

-∑

∑

两边积分得

13()()ln

33x x f x f x dx dx x

x

'=

=

=--?

?

, (33)

x -≤< 1

1

(1)

4(1)ln

33

n n

n f n

+∞

=-=--=∑

8.设级数

()4

6

8

24

246

2468

x

x

x

x +

+

+-∞<<+∞?????? 的和函数为()S x ,求:

(1) ()S x 所满足的一阶微分方程; (2) ()S x 的表达式.

解:(1) 4

6

8

()24

2462468

x

x

x

S x =

+

+

+?????? ,易见(0)0S =,

3

5

7

()2

24

246

x

x

x

S x '=

+

+

+???

246

224246x x x

x ??=+++

??????

2()2x x S x ??=+ ???

. 因此()S x 是初值问题3

2

x

y xy '=+

,(0)0y =的解.,

(2)方程3

2

x

y xy '=+

的通解为

2

32

2

122x

xdx

xdx x x

y e e C C e -???

?=+=--+????

?,

由初始条件(0)0y =,得1C =,

故2

2

2

12

x

x

y e

=-

+-,因此和函数2

22

()12

x

x

S x e

=-

+-.

9.将函数12()arctan

12x f x x

-=+展开成x 的幂级数,并求级数()

121

n

n n ∞

=-+∑

的和.

解:因为()22

2()21414n

n

n

n f x x

x

∞

='=-

=--+∑,11,22x ?

?

∈-

??

?

又(0)4

f π

=

,所以

()20

0()(0)()2144

x x n n n n f x f f t dt t dt π

∞=??

'=+

=

--????

∑?

?

()

21

14

24

21

n

n

n n x

n π

∞

+=-=

-+∑

, 11

,22

x ?

?∈-

??

? 因为级数()

121

n

n n ∞

=-+∑

收敛,函数()f x 在12

x =

处连续,所以

()

21

14

()2 4

21

n

n

n n f x x

n π

∞

+=-=

-+∑

,11,22x ??

∈- ???

令12

x =

,得 ()()

210

1411

1()2 =24212421

n n

n

n n n f n n π

π∞

∞

+==??--=-?-?

?++????

∑∑

,

再由1

()02

f =,得()

11()021

4244

n

n f n π

ππ

∞

=-=

-=-=

+∑

. 10.设函数2

1arctan ,0()1,0x x x f x x x ?+≠?

=??=?

,试将()f x 展开成x 的幂级数,并求级数

()

2

114n n n

∞

=--∑的和.

解:因为

()

22

111n

n

n x

x

∞

==

-+∑,()1,1x ∈-

故()()

()

221

00

1arctan arctan 121n

x x

n

n

n n n x x dx x dx x

n ∞

∞

+==-'

=

=-=

+∑∑??,()1,1x ∈-

于是()()

222

1011()121

21n

n

n

n n n f x x

x

n n ∞

∞

+==--=++

++∑

∑

()

()

1

2211

11121

21

n

n n

n

n n x

x

n n -∞

∞

==--=++

+-∑

∑

()

22

1

12

114n

n

n x

n

∞

=-=+-∑

,[]1,1x ∈-

因此

()

[]

2

111

(1)1

14242

n

n

f

n

π

∞

=

-

=-=-

-

∑.