细说矩形折叠题

细说矩形折叠题

为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力,近年来中考中出现众多的折叠问题。解决这类问题的关键是要根据轴对称图形的性质,弄清折叠前后哪些量变了,哪些量没变,折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略。

一、折叠后求长度

例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF .若AB =3,则BC 的长为( )

A .1

B .2

细说矩形折叠题

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C .2

D .3

解析:由对称的性质,易得BC=CO ,

则四边形AECF 为菱形,则AC=2CO ,所以AC=2BC ,又四边形ABCD 是矩形,所以∠B=90°,则在Rt △ABC 中,由勾股定理,得AC 2-BC 2=AB 2,所以3BC 2=9,则BC=3。所以边BC 的长是3厘米。

评注:本题在应用矩形和菱形的性质的同时,充分运用了对称的性质和勾股定理等知识,既考查了同学们的空间想象能力,同时考查同学们综合运用知识的能力。

二、折叠后求角度

例2、将矩形纸片ABCD (图3-1)按如下步骤操作:(1)以过点A 的直线为折痕折叠纸片,使点B 恰好落在AD 边上,折痕与BC 边交于点E (如图3-2);(2)以过点E 的直线为折痕折叠纸片,使点A 落在BC 边上,折痕EF 交AD 边于点F (如图3-3);(3)将纸片收展平,那么∠AFE 的度数为( )

细说矩形折叠题

图3-1 图3-2 图3-3

(A )60° (B )67.5° (C )72° (D )75°

解析:解决本题的关键是要能想象出折叠的整个过程,或动手操作展示折叠过程,

然后

图2

图1

利用轴对称的性质进行求解。如图3-2的虚线就是折叠的过程,在第一次折叠时,可得∠BAE=∠EAF=45°,

再由第二次折叠,可得∠EA 1F=∠EAF=45°,∠AFE=∠EFA 1=

2

1

∠AFA 1,又因为在矩形ABCD 中,因为AD ∥BC ,∠EA 1F+∠AFA 1=180°,所以∠AFA 1=135°,

所以∠AFE=67.5°。故选B 。

评注:本题对动手操作能力和空间想象能力要求较高,因为是连续折叠,所以想象有点困难,解决问题的最好办法就是动手操作后,再画出折痕,明确折叠前后的图形,找出它们之间的关系(如角之间的关系),然后充分利用这些关系求解。

三、折叠后判形状

细说矩形折叠题

例3、如图4,把一张长方形纸片对折,折痕为AB ,再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是

A .正三角形

B .正方形

C .正五边形

D .正六边形

解析:最简单的方法就是取一张纸动手操作一下,即拿一张纸片,按照已知的步骤折叠,然后剪出图形,展开后,就会发现图形是正六边形。其实也不难想象,首先对折一次,然后又分成三份折叠,显然是六份,所以选D 。

评注:“折纸判形状”一直是考试的热点,主要考查同学们的动手操作能力,和活跃考试气氛。通过实践获得知识比直接听讲获得知识的效果好,解决问题最可靠的方法就是动手操作。

四、折叠后探规律

例4、如图5,把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点B 落在边AD 上的点B '处,点A 落在点A '处.

(1)说明:B E BF '=;

图4

(2)设AE a AB b BF c ===,,,试猜想a b c ,,之间有何等量关系,并给予证明. 解析:由题意得B F BF '=,B FE BFE '∠=∠, 在矩形ABCD 中, AD BC ∥,

B EF BFE '∴∠=∠, B FE B EF ''∴∠=∠. B F B E ''∴=. B E BF '∴=.

(2)因为AE=a ,AB=b ,在Rt △ABE 中,在可猜想a b c ,,之间存在关系:

222a b c +=.下面只需说明BF=BE 即可。

由题意知,A E AE A B AB '''==,.由(1)知B E BF '=. 在Rt A EB ''△中,90A A E a A B b B E c '''''∠====

,,,,

∴222a b c +=。

评注:在折叠中,经常会出现角相等,而矩形中又有对边平行的条件,这两者结合就会出现等腰三角形,充分利用这一特征,可以帮助我们顺利解决问题。

折叠矩形中的计算

折叠矩形中这类计算,形式多样,新颖独特,有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。

解决这类问题应把握两点:①折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形;②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴)垂直平分。

解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。下面将有关的计算进行归纳整理,供同学们参考。 一、 角度的计算

例1、如图1,把矩形ABCD 沿EF 对折,若∠1=500,求∠AEF 的度数。 分析:因为EF 为折痕,所以它就是对称轴,由此可得,对应角∠BFE=∠2,

A

B

C

D

F A '

B '

E

图2

利用∠1的度数求出∠BFE 的度数,再利用AD ∥BC ,就可求出∠AEF 的度数。 解:由题意得,对应角∠BFE=∠2 ∵∠1=500

∴∠BFE=∠2=

0001

(18050)652

-= 又∵四边形ABCD 为矩形 ∴AD ∥BC ∴0

180AEF BFE ∠+∠=

00018065115AEF ∠=-=即

答:∠AEF 的度数为1150。 二、边长的计算

例2、如图2,沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边,使点D 落在BC 边上一点F 处。若AB=8,且⊿ABF 的面积为24,求EC 的长。

分析:因为折痕AE 是对称轴,所以⊿AEF ≌⊿AED ,此时AD=AF ,DE=FE 。 先利用⊿ABF 的面积求出BF 的长,再利用勾股定理求出AF 的长,然后在 Rt ⊿ECF 中,利用勾股定理就构建起方程,从而求出EC 的长。 解:由题意可得⊿AEF ≌⊿AED , ∴DE=FE ,AD=AF=BC ∵⊿ABF 的面积为24 ∴1242AB BF ?= 即1

8242

BF ?= 解得,BF=6

在Rt ⊿ABF 中,10AF == ∴CF=BC -BF=4

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设EC=x , 则DE=EF=DC -DE=8-x

在Rt ⊿EFC 中, ∴EF 2=FC 2+EC 2 即(8-x)2 = 42+x 2 解得x=3 答:EC 的长是3。

例3、如图3,是一矩形的纸片,其中AD=2.5,AB=1.5。按下列步骤折叠:将其对折,使AB 落在AD 上,折痕为AE ,再将⊿ABE 以BE 为折痕向右折叠,AE 与DC 交于点F ,则CF 的长是( )

A.0.5

B.0.75

C.1

D.1.25

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解析:第一次折叠,AE 为折痕,所以可得AB=BE=1.5, BD=CE=1,即⊿ABE 为等腰直角

三角形,得到∠AEB=450;第二次折叠,BE 为折痕,得到∠CEF=450,所以⊿CEF 为等腰直角三角形,于是可得CE=CF=1。 故选C

三、折痕的计算

例4、有一矩形纸片,其中宽AB=6cm ,长BC=8cm 。现按如图4所示的方法作折纸游戏,

将它折叠使B 点与D 点重合,求折痕EF 的长。

细说矩形折叠题

点拨:本题中折痕EF 为对称轴,点B 与点D 为对应点。若连结BD , 则BD 被EF 垂直平分,可得OB=OD ,进而证得OE=OF 。在Rt ⊿ABE 中,

利用勾股定理建立起方程,求出BE 的长,再在Rt ⊿BEO 中,利用勾股定 理就可求出OE 的长。

解:连结BD 交EF 于O 点,连结BE

∵EF 为对称轴,点B 与点D 为对应点 ∴EF 垂直平分BD ,∴OB=OD ,DE=BE , 由此可得, ⊿DOE ≌⊿BOF ∴OE=OF 设DE=xcm ,则AE=AD -DE=(8-x)cm

在Rt ⊿ABE 中,∵BE 2=AB 2+AE 2 ∴x 2=62+(8-x)2 解得,x=25

4

在Rt ⊿ABD 中, 10()BD cm ===,∴OB=1

5()2

BD cm =

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在Rt ⊿BEO 中, 15

()4

OE cm =

==

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∴EF=2OE=

15

()2

细说矩形折叠题

cm 答:折痕EF 的长是15

2

cm 。 四、面积的计算

例5、如图5,将矩形ABCD 沿着对角线BD 折叠,使点C 落在点'C 处,'

BC 交AD 于E 。已知AD=8,AB=4,求⊿BDE 的面积。 分析:因为∠A=900,所以⊿BDE 的面积=

1

2

DE AB ?,AB 的长已知,求DE 的长就是本题的突破口了。根据折叠的特性可得12∠=∠,进而可证得⊿BDE 为等腰三角形,得到BE=DE ,在Rt ⊿'

DEC 中,利用勾股定理建立方程,就可求出DE 的长。

解:由题意可知⊿BDC ≌⊿BD '

C

∴C ∠='C ∠=900 '8BC BC == '

4D C D C == 12∠=∠

又∵AD ∥BC ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 即EB=ED 在Rt ⊿D 'C E 中, 设DE=x, 则'

8EC x =-

∴2

'

2

'

2

DE C D C E =+ 即 222(8)4x x =-+ 解得x =5 ∴⊿BDE 的面积=

12DE AB ?=1

54102

??= 答:⊿BDE 的面积是10。

实战练习:

1、如图1,是一矩形纸片ABCD 中,AD=4cm ,AB=10cm ,现作折纸游戏,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,求DE 的长。

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2、在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,将矩形ABCD 沿CE 折叠,使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。

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①求EF 的长;②求梯形ABCE 的面积.

参考答案

1、5.8cm 。点拨:折痕EF 为对称轴,点B 与点D 是对应点,所以DE=BE 。在Rt ⊿ADE 中,设DE=x cm ,则AE=(10-x )cm ,根据勾股定理得,x 2=42+(10-x)2,解得x=5.8(cm);

2、①EF=3;②梯形ABCE 的面积是39。

提示:①设EF=x ,由题意得,∵⊿CDE ≌⊿CFE ,∴DE=EF=x ,CF=CD=6。在Rt ⊿ABC

中,10AC =

=,∴AF=AC -CF=4 AE=AD -DE=8-x

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在Rt ⊿AEF 中,∵AE 2=AF 2+EF 2 ∴ (8-x)2 = 42+x 2 解得x=3 ∴AE=8-3=5

1

2

S =?梯形ABCE (AE+BC )AB=39

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